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初中數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí) 二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

上傳人:go****ng 文檔編號(hào):119058486 上傳時(shí)間:2022-07-13 格式:DOC 頁(yè)數(shù):7 大小:883KB
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1、二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)20110311 二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn): 1.二次函數(shù)的概念:一般地,形如(是常數(shù),)的函數(shù),叫做二次函數(shù)。這里需要強(qiáng)調(diào):和一元二次方程類似,二次項(xiàng)系數(shù),而可以為零.二次函數(shù)的定義域是全體實(shí)數(shù). 2. 二次函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征:⑴ 等號(hào)左邊是函數(shù),右邊是關(guān)于自變量的二次式,的最高次數(shù)是2.⑵ 是常數(shù),是二次項(xiàng)系數(shù),是一次項(xiàng)系數(shù),是常數(shù)項(xiàng). 二次函數(shù)的基本形式 1. 二次函數(shù)基本形式:的性質(zhì):左圖畫(huà),右圖畫(huà) 結(jié)論:a 的絕對(duì)值越大,拋物線的開(kāi)口越小。 總結(jié): 的符號(hào) 開(kāi)口方向 頂點(diǎn)坐標(biāo) 對(duì)稱軸 性質(zhì) 向上 軸 時(shí),隨的增大而增大;時(shí),隨的增大而

2、減?。粫r(shí),有最小值. 向下 軸 時(shí),隨的增大而減??;時(shí),隨的增大而增大;時(shí),有最大值. 2. 的性質(zhì):左圖畫(huà),右圖畫(huà) 結(jié)論:上加下減。 總結(jié): 的符號(hào) 開(kāi)口方向 頂點(diǎn)坐標(biāo) 對(duì)稱軸 性質(zhì) 向上 軸 時(shí),隨的增大而增大;時(shí),隨的增大而減?。粫r(shí),有最小值. 向下 軸 時(shí),隨的增大而減??;時(shí),隨的增大而增大;時(shí),有最大值. 3. 的性質(zhì):左圖畫(huà),右圖畫(huà) 結(jié)論:左加右減。 總結(jié): 的符號(hào) 開(kāi)口方向 頂點(diǎn)坐標(biāo) 對(duì)稱軸 性質(zhì)

3、 向上 X=h 時(shí),隨的增大而增大;時(shí),隨的增大而減??;時(shí),有最小值. 向下 X=h 時(shí),隨的增大而減??;時(shí),隨的增大而增大;時(shí),有最大值. 4. 的性質(zhì):左圖畫(huà),右圖畫(huà) 總結(jié): 二次函數(shù)圖象的平移 的符號(hào) 開(kāi)口方向 頂點(diǎn)坐標(biāo) 對(duì)稱軸 性質(zhì) 向上 X=h 時(shí),隨的增大而增大;時(shí),隨的增大而減??;時(shí),有最小值. 向下 X=h 時(shí),隨的增大而減??;時(shí),隨的增大而增大;時(shí),有最大值. 1. 平移步驟: ⑴ 將拋物線解

4、析式轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式,確定其頂點(diǎn)坐標(biāo); ⑵ 保持拋物線的形狀不變,將其頂點(diǎn)平移到處,具體平移方法如下: 2. 平移規(guī)律 在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上“值正右移,負(fù)左移;值正上移,負(fù)下移”. 概括成八個(gè)字“左加右減,上加下減”. 三、二次函數(shù)與的比較 請(qǐng)將利用配方的形式配成頂點(diǎn)式。請(qǐng)將配成。 總結(jié): 從解析式上看,與是兩種不同的表達(dá)形式,后者通過(guò)配方可以得到前者,即,其中. 四、二次函數(shù)圖象的畫(huà)法 五點(diǎn)繪圖法:利用配方法將二次函數(shù)化為頂點(diǎn)式,確定其開(kāi)口方向、對(duì)稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo),然后在對(duì)稱軸兩側(cè),左右對(duì)稱地描點(diǎn)畫(huà)圖

5、.一般我們選取的五點(diǎn)為:頂點(diǎn)、與軸的交點(diǎn)、以及關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)、與軸的交點(diǎn),(若與軸沒(méi)有交點(diǎn),則取兩組關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)). 畫(huà)草圖時(shí)應(yīng)抓住以下幾點(diǎn):開(kāi)口方向,對(duì)稱軸,頂點(diǎn),與軸的交點(diǎn),與軸的交點(diǎn). 左圖畫(huà),右圖畫(huà) 五、二次函數(shù)的性質(zhì) 1. 當(dāng)時(shí),拋物線開(kāi)口向上,對(duì)稱軸為,頂點(diǎn)坐標(biāo)為. 當(dāng)時(shí),隨的增大而減小;當(dāng)時(shí),隨的增大而增大;當(dāng)時(shí),有最小值. 2. 當(dāng)時(shí),拋物線開(kāi)口向下,對(duì)稱軸為,頂點(diǎn)坐標(biāo)為.當(dāng)時(shí),隨的增大而增大;當(dāng)時(shí),隨的增大而減??;當(dāng)時(shí),有最大值. 六、二次函數(shù)解析式的表示方法 1. 一般式:(,,為常數(shù),); 2. 頂點(diǎn)式:(

6、,,為常數(shù),); 3. 兩根式:(,,是拋物線與軸兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)). 注意:任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點(diǎn)式,但并非所有的二次函數(shù)都可以寫(xiě)成交點(diǎn)式,只有拋物線與軸有交點(diǎn),即時(shí),拋物線的解析式才可以用交點(diǎn)式表示.二次函數(shù)解析式的這三種形式可以互化. 七、二次函數(shù)的圖象與各項(xiàng)系數(shù)之間的關(guān)系 1. 二次項(xiàng)系數(shù) 二次函數(shù)中,作為二次項(xiàng)系數(shù),顯然. ⑴ 當(dāng)時(shí),拋物線開(kāi)口向上,的值越大,開(kāi)口越小,反之的值越小,開(kāi)口越大; ⑵ 當(dāng)時(shí),拋物線開(kāi)口向下,的值越小,開(kāi)口越小,反之的值越大,開(kāi)口越大. 總結(jié)起來(lái),決定了拋物線開(kāi)口的大小和方向,的正負(fù)決定開(kāi)口方向

7、,的大小決定開(kāi)口的大小. 2. 一次項(xiàng)系數(shù) 在二次項(xiàng)系數(shù)確定的前提下,決定了拋物線的對(duì)稱軸. ⑴ 在的前提下, 當(dāng)時(shí),,即拋物線的對(duì)稱軸在軸左側(cè); 當(dāng)時(shí),,即拋物線的對(duì)稱軸就是軸; 當(dāng)時(shí),,即拋物線對(duì)稱軸在軸的右側(cè). ⑵ 在的前提下,結(jié)論剛好與上述相反,即 當(dāng)時(shí),,即拋物線的對(duì)稱軸在軸右側(cè); 當(dāng)時(shí),,即拋物線的對(duì)稱軸就是軸; 當(dāng)時(shí),,即拋物線對(duì)稱軸在軸的左側(cè). 總結(jié)起來(lái),在確定的前提下,決定了拋物線對(duì)稱軸的位置. 總結(jié): 3. 常數(shù)項(xiàng) ⑴ 當(dāng)時(shí),拋物線與軸的交點(diǎn)在軸上方,即拋物線與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為正; ⑵ 當(dāng)時(shí),拋物線與軸的交點(diǎn)

8、為坐標(biāo)原點(diǎn),即拋物線與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為; ⑶ 當(dāng)時(shí),拋物線與軸的交點(diǎn)在軸下方,即拋物線與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為負(fù). 總結(jié)起來(lái),決定了拋物線與軸交點(diǎn)的位置. 總之,只要都確定,那么這條拋物線就是唯一確定的. 二次函數(shù)解析式的確定: 根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)解析式,通常利用待定系數(shù)法.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式必須根據(jù)題目的特點(diǎn),選擇適當(dāng)?shù)男问剑拍苁菇忸}簡(jiǎn)便.一般來(lái)說(shuō),有如下幾種情況: 1. 已知拋物線上三點(diǎn)的坐標(biāo),一般選用一般式; 2. 已知拋物線頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸或最大(小)值,一般選用頂點(diǎn)式; 3. 已知拋物線與軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo),一般選用兩根式; 4.

9、已知拋物線上縱坐標(biāo)相同的兩點(diǎn),常選用頂點(diǎn)式. 二、二次函數(shù)圖象的對(duì)稱 二次函數(shù)圖象的對(duì)稱一般有五種情況,可以用一般式或頂點(diǎn)式表達(dá) 1. 關(guān)于軸對(duì)稱 關(guān)于軸對(duì)稱后,得到的解析式是; 關(guān)于軸對(duì)稱后,得到的解析式是; 2. 關(guān)于軸對(duì)稱 關(guān)于軸對(duì)稱后,得到的解析式是; 關(guān)于軸對(duì)稱后,得到的解析式是; 3. 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱后,得到的解析式是; 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱后,得到的解析式是; 4. 關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱 關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱后,得到的解析式是; 關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱后,得到的解析式是. 5. 關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱

10、關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱后,得到的解析式是 根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì),顯然無(wú)論作何種對(duì)稱變換,拋物線的形狀一定不會(huì)發(fā)生變化,因此永遠(yuǎn)不變.求拋物線的對(duì)稱拋物線的表達(dá)式時(shí),可以依據(jù)題意或方便運(yùn)算的原則,選擇合適的形式,習(xí)慣上是先確定原拋物線(或表達(dá)式已知的拋物線)的頂點(diǎn)坐標(biāo)及開(kāi)口方向,再確定其對(duì)稱拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)及開(kāi)口方向,然后再寫(xiě)出其對(duì)稱拋物線的表達(dá)式. 二次函數(shù)與一元二次方程: 1. 二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系(二次函數(shù)與軸交點(diǎn)情況): 一元二次方程是二次函數(shù)當(dāng)函數(shù)值時(shí)的特殊情況. 圖象與軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù): ① 當(dāng)時(shí),圖象與軸交于兩點(diǎn),其中的是一元二次方程的兩根.這兩點(diǎn)間的距離. ② 當(dāng)時(shí)

11、,圖象與軸只有一個(gè)交點(diǎn); ③ 當(dāng)時(shí),圖象與軸沒(méi)有交點(diǎn). 當(dāng)時(shí),圖象落在軸的上方,無(wú)論為任何實(shí)數(shù),都有; 當(dāng)時(shí),圖象落在軸的下方,無(wú)論為任何實(shí)數(shù),都有. 2. 拋物線的圖象與軸一定相交,交點(diǎn)坐標(biāo)為,; 3. 二次函數(shù)常用解題方法總結(jié): ⑴ 求二次函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)坐標(biāo),需轉(zhuǎn)化為一元二次方程; ⑵ 求二次函數(shù)的最大(?。┲敌枰门浞椒▽⒍魏瘮?shù)由一般式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式; ⑶ 根據(jù)圖象的位置判斷二次函數(shù)中,,的符號(hào),或由二次函數(shù)中,,的符號(hào)判斷圖象的位置,要數(shù)形結(jié)合; ⑷ 二次函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱,可利用這一性質(zhì),求和已知一點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)坐標(biāo),或已知與軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo),可由對(duì)稱性求出另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo).

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