《(魯京津瓊專用)2020版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第十二章 概率、隨機(jī)變量及其分布 第8講 二項(xiàng)分布與正態(tài)分布練習(xí)(含解析)》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《(魯京津瓊專用)2020版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第十二章 概率、隨機(jī)變量及其分布 第8講 二項(xiàng)分布與正態(tài)分布練習(xí)(含解析)(7頁珍藏版)》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、第8講 二項(xiàng)分布與正態(tài)分布
一、選擇題
1.(2014·全國Ⅱ卷)某地區(qū)空氣質(zhì)量監(jiān)測資料表明,一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是0.75,連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率是0.6,已知某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良,則隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是( )
A.0.8 B.0.75 C.0.6 D.0.45
解析 記事件A表示“一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良”,事件B表示“隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良”,P(A)=0.75,P(AB)=0.6.由條件概率,得P(B|A)===0.8.
答案 A
2.(2017·衡水模擬)先后拋擲硬幣三次,則至少一次正面朝上的概率是( )
A. B. C. D.
2、
解析 三次均反面朝上的概率是=,所以至少一次正面朝上的概率是1-=.
答案 D
3.(2016·青島一模)設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(1,σ2),則函數(shù)f(x)=x2+2x+X不存在零點(diǎn)的概率為( )
A. B. C. D.
解析 ∵函數(shù)f(x)=x2+2x+X不存在零點(diǎn),∴Δ=4-4X<0,∴X>1,∵X~N(1,σ2),∴P(X>1)=,故選C.
答案 C
4.(2017·武昌區(qū)模擬)某居民小區(qū)有兩個(gè)相互獨(dú)立的安全防范系統(tǒng)A和B,系統(tǒng)A和系統(tǒng)B在任意時(shí)刻發(fā)生故障的概率分別為和p,若在任意時(shí)刻恰有一個(gè)系統(tǒng)不發(fā)生故障的概率為,則p=( )
A. B.
3、C. D.
解析 由題意得(1-p)+p=,∴p=,故選B.
答案 B
5.(2016·天津南開調(diào)研)一袋中有5個(gè)白球,3個(gè)紅球,現(xiàn)從袋中往外取球,每次任取一個(gè)記下顏色后放回,直到紅球出現(xiàn)10次時(shí)停止,設(shè)停止時(shí)共取了X次球,則P(X=12)等于( )
A.C B.C
C.C D.C
解析 由題意知第12次取到紅球,前11次中恰有9次紅球2次白球,由于每次取到紅球的概率為,
所以P(X=12)=C××.
答案 D
二、填空題
6.有一批種子的發(fā)芽率為0.9,出芽后的幼苗成活率為0.8,在這批種子中,隨機(jī)抽取一粒,則這粒種子能成長為幼苗的概率為________
4、.
解析 設(shè)種子發(fā)芽為事件A,種子成長為幼苗為事件B(發(fā)芽又成活為幼苗).
依題意P(B|A)=0.8,P(A)=0.9.
根據(jù)條件概率公式P(AB)=P(B|A)·P(A)=0.8×0.9=0.72,即這粒種子能成長為幼苗的概率為0.72.
答案 0.72
7.假設(shè)每天從甲地去乙地的旅客人數(shù)X是服從正態(tài)分布N(800,502)的隨機(jī)變量,記一天中從甲地去乙地的旅客人數(shù)800<X≤900的概率為p0,則p0=________.
解析 由X~N(800,502),知μ=800,σ=50,
又P(700<X≤900)=0.954 4,
則P(800<X≤900)=×0.954 4=
5、0.477 2.
答案 0.477 2
8.設(shè)隨機(jī)變量X~B(2,p),隨機(jī)變量Y~B(3,p),若P(X≥1)=,則P(Y≥1)=________.
解析 ∵X~B(2,p),∴P(X≥1)=1-P(X=0)=1-C(1-p)2=,解得p=.又Y~B(3,p),∴P(Y≥1)=1-P(Y=0)=1-C(1-p)3=.
答案
三、解答題
9.(2015·湖南卷)某商場舉行有獎促銷活動,顧客購買一定金額的商品后即可抽獎,每次抽獎都是從裝有4個(gè)紅球、6個(gè)白球的甲箱和裝有5個(gè)紅球、5個(gè)白球的乙箱中,各隨機(jī)摸出1個(gè)球,在摸出的2個(gè)球中,若都是紅球,則獲一等獎;若只有1個(gè)紅球,則獲二等獎;
6、若沒有紅球,則不獲獎.
(1)求顧客抽獎1次能獲獎的概率;
(2)若某顧客有3次抽獎機(jī)會,記該顧客在3次抽獎中獲一等獎的次數(shù)為X,求X的分布列.
解 (1)記事件A1為“從甲箱中摸出的1個(gè)球是紅球”,
A2為“從乙箱中摸出的1個(gè)球是紅球”,
B為“顧客抽獎1次能獲獎”,
則表示“顧客抽獎1次沒有獲獎”.
由題意A1與A2相互獨(dú)立,則1與2相互獨(dú)立,且=1·2,
因?yàn)镻(A1)==,P(A2)==,
所以P()=P(1·2)=·=,
故所求事件的概率P(B)=1-P()=1-=.
(2)設(shè)“顧客抽獎一次獲得一等獎”為事件C,
由P(C)=P(A1·A2) =P(A1)·
7、P(A2)=,
顧客抽獎3次可視為3次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn),則X~B,
于是P(X=0)=C=,
P(X=1)=C=,
P(X=2)=C=,
P(X=3)=C=.
故X的分布列為
X
0
1
2
3
P
10.挑選空軍飛行員可以說是“萬里挑一”,要想通過需要五關(guān):目測、初檢、復(fù)檢、文考(文化考試)、政審.若某校甲、乙、丙三位同學(xué)都順利通過了前兩關(guān),根據(jù)分析甲、乙、丙三位同學(xué)通過復(fù)檢關(guān)的概率分別是0.5,0.6,0.75,能通過文考關(guān)的概率分別是0.6,0.5,0.4,由于他們平時(shí)表現(xiàn)較好,都能通過政審關(guān),若后三關(guān)之間通過與否沒有影響.
(1)求甲、乙、丙三位
8、同學(xué)中恰好有一人通過復(fù)檢的概率;
(2)設(shè)只要通過后三關(guān)就可以被錄取,求錄取人數(shù)X的分布列.
解 (1)設(shè)A,B,C分別表示事件“甲、乙、丙通過復(fù)檢”,則所求概率P=P(A )+P(B)+P( C)=0.5×(1-0.6)×(1-0.75)+(1-0.5)×0.6×(1-0.75)+(1-0.5)×(1-0.6)×0.75=0.275.
(2)甲被錄取的概率為P甲=0.5×0.6=0.3,同理P乙=0.6×0.5=0.3,P丙=0.75×0.4=0.3.
∴甲、乙、丙每位同學(xué)被錄取的概率均為0.3,故可看成是獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn),即X~B(3,0.3),X的可能取值為0,1,2,3,其中P
9、(X=k)=C(0.3)k·(1-0.3)3-k.
故P(X=0)=C×0.30×(1-0.3)3=0.343,
P(X=1)=C×0.3×(1-0.3)2=0.441,
P(X=2)=C×0.32×(1-0.3)=0.189,
P(X=3)=C×0.33=0.027,
故X的分布列為
X
0
1
2
3
P
0.343
0.441
0.189
0.027
11.(2016·鄭州二模)先后擲骰子兩次,落在水平桌面后,記正面朝上的點(diǎn)數(shù)分別為x,y,設(shè)事件A為“x+y為偶數(shù)”,事件B為“x≠y”,則概率P(B|A)=( )
A. B. C. D.
10、解析 若x+y為偶數(shù),則x,y兩數(shù)均為奇數(shù)或均為偶數(shù).故P(A)==,又A,B同時(shí)發(fā)生,基本事件一共有2×3×3-6=12個(gè),∴P(AB)==,∴P(B|A)===.
答案 D
12.(2017·長沙模擬)排球比賽的規(guī)則是5局3勝制(無平局),甲在每局比賽獲勝的概率都為,前2局中乙隊(duì)以2∶0領(lǐng)先,則最后乙隊(duì)獲勝的概率是( )
A. B. C. D.
解析 乙隊(duì)3∶0獲勝的概率為,乙隊(duì)3∶1獲勝的概率為×=,乙隊(duì)3∶2獲勝的概率為×=.∴最后乙隊(duì)獲勝的概率為P=++=,故選C.
答案 C
13.某一部件由三個(gè)電子元件按如圖所示方式連接而成,元件1或元件2正常工作,且元件
11、3正常工作,則部件正常工作.設(shè)三個(gè)電子元件的使用壽命(單位:小時(shí))均服從正態(tài)分布N(1 000,502),且各個(gè)元件能否正常工作相互獨(dú)立,那么該部件的使用壽命超過1 000小時(shí)的概率為________.
解析 設(shè)元件1,2,3的使用壽命超過1 000小時(shí)的事件分別記為A,B,C,顯然P(A)=P(B)=P(C)=,∴該部件的使用壽命超過1 000小時(shí)的事件為(AB+AB+AB)C,
∴該部件的使用壽命超過1 000小時(shí)的概率
P=×=.
答案
14.(2016·山東卷節(jié)選)甲、乙兩人組成“星隊(duì)”參加猜成語活動,每輪活動由甲、乙各猜一個(gè)成語,在一輪活動中,如果兩人都猜對,則“星對
12、”得3分;如果只有一人猜對,則“星對”得1分;如果兩人都沒猜對,則“星對”得0分.已知甲每輪猜對的概率是,乙每輪猜對的概率是;每輪活動中甲、乙猜對與否互不影響,各輪結(jié)果亦互不影響.假設(shè)“星隊(duì)”參加兩輪活動,求:
(1)“星隊(duì)”至少猜對3個(gè)成語的概率;
(2)“星隊(duì)”兩輪得分之和X的分布列.
解 (1)記事件A:“甲第一輪猜對”,記事件B:“乙第一輪猜對”,
記事件C:“甲第二輪猜對”,記事件D:“乙第二輪猜對”,
記事件E:“‘星隊(duì)’至少猜對3個(gè)成語”.
由題意,E=ABCD+BCD+ACD+ABD+ABC.
由事件的獨(dú)立性與互斥性,得
P(E)=P(ABCD)+P(BCD)+
13、P(ACD)+P(ABD)+P(ABC)
=P(A)P(B)P(C)P(D)+P()P(B)P(C)P(D)+
P(A)P()P(C)P(D)+P(A)P(B)P()P(D)+
P(A)P(B)P(C)P()=×××+2×=.
所以“星隊(duì)”至少猜對3個(gè)成語的概率為.
(2)由題意,隨機(jī)變量X可能的取值為0,1,2,3,4,6.
由事件的獨(dú)立性與互斥性,得
P(X=0)=×××=,
P(X=1)=2×==,
P(X=2)=×××+×××+×××+×××=,
P(X=3)=×××+×××==,
P(X=4)=2×==,
P(X=6)=×××==.
可得隨機(jī)變量X的分布列為
X
0
1
2
3
4
6
P
7