6、
解得a<2,-20,y>0,x+2y=5,則(x+1)(2y+1)xy的最小值為 .?
答案 43
解析 (x+1)(2y+1)xy=2xy+x+2y+1xy
=2xy+6xy=2xy+6xy
≥2·2xy·6xy=43.
當(dāng)且僅當(dāng)xy=3xy,即xy=3時等號成立.
2.(2017江蘇·10)某公司一年購買某種貨物600噸,每次購買x噸,運費為6萬元/次,一年的總存儲費用為4x萬元.要使一年的總運費與總存儲費用之和最小,則x的
7、值是 .?
答案 30
解析 一年的總運費與總存儲費用之和為4x+600x×6=4x+900x≥4×2900=240,當(dāng)且僅當(dāng)x=900x,即x=30時等號成立.
典題演練提能·刷高分
1.已知首項與公比相等的等比數(shù)列{an}中,滿足aman2=a42(m,n∈N*),則2m+1n的最小值為( )
A.1 B.32 C.2 D.92
答案 A
解析 由題意可得a1=q,aman2=a42,
a1·qm-1·(a1·qn-1)2=(a1·q3)2,即qm·q2n=q8,所以m+2n=8.
2m+1n=(m+2n)2m+1n×18=2
8、+mn+4nm+2×18≥(4+24)×18=1.故選A.
2.函數(shù)f(x)=x2+4|x|的最小值為( )
A.3 B.4 C.6 D.8
答案 B
解析 f(x)=x2+4|x|=|x|+4|x|≥24=4,故選B.
3.已知三點A(1,-2),B(a,-1),C(-b,0)共線,則1+2aa+2+bb(a>0,b>0)的最小值為( )
A.11 B.10 C.6 D.4
答案 A
解析 由A(1,-2),B(a,-1),C(-b,0)共線得-21+b=-1+2a-1,∴2a+b=1,1+2aa+2+bb=4a+ba+4a+3bb=7+ba+4ab≥7+2ba·4ab=
9、11,當(dāng)且僅當(dāng)ba=4ab,2a+b=1?a=14,b=12時取等號,故選A.
4.已知函數(shù)f(x)=log3(x+2),x≤1,ex-1,x>1.若m>0,n>0,且m+n=f[f(2)],則1m+2n的最小值為 .?
答案 3+22
解析 函數(shù)f(x)=log3(x+2),x≤1,ex-1,x>1,m+n=f[f(2)]=f(eln2-1)=f(2-1)=log33=1,則1m+2n=(m+n)1m+2n=3+nm+2mn≥3+2nm·2mn=3+22,當(dāng)且僅當(dāng)n=2m時,取得最小值3+22.
5.要制作一個容積為4 m3,高為1 m 的無蓋長方體容器.已知該容器的底面造價是
10、每平方米200元,側(cè)面造價是每平方米100元,則該容器的最低總造價是 元.?
答案 1 600
解析 設(shè)長方體的底面的長為xm,則寬為4xm,總造價為y元,則y=4×200+2×100×x+4x≥800+400×x·4x=1600,當(dāng)且僅當(dāng)x=4x,即x=2時,等號成立,故答案為1600元.
6.已知正實數(shù)a,b滿足2a>b,且ab=12,則4a2+b2+12a-b的最小值為 .?
答案 23
解析 由題意得2a-b>0,4a2+b2+12a-b=4a2+b2-4ab+32a-b=(2a-b)2+32a-b=(2a-b)+32a-b≥23,當(dāng)且僅當(dāng)2a-b=32a-b時等
11、號成立.
命題角度3簡單的線性規(guī)劃問題
高考真題體驗·對方向
1.(2019北京·5)若x,y滿足|x|≤1-y,且y≥-1,則3x+y的最大值為( )
A.-7 B.1 C.5 D.7
答案 C
解析 由題意得-1≤y≤1,y-1≤x≤1-y,作出可行域如圖陰影部分所示.設(shè)z=3x+y,y=z-3x,當(dāng)直線l0:y=z-3x經(jīng)過點(2,-1)時,z取最大值5.故選C.
2.(2019天津·2)設(shè)變量x,y滿足約束條件x+y-2≤0,x-y+2≥0,x≥-1,y≥-1,則目標(biāo)函數(shù)z=-4x+y的最大值為( )
A.2 B.3 C.5 D.6
答案 C
解析 畫出可
12、行域如圖,平移目標(biāo)函數(shù)z=-4x+y可知過點A時取得最大值,
由x=-1,x-y+2=0,得A(-1,1).
∴zmax=-4×(-1)+1=5.故選C.
3.(2018全國Ⅰ·13)若x,y滿足約束條件x-2y-2≤0,x-y+1≥0,y≤0,則z=3x+2y的最大值為 .?
答案 6
解析 作出可行域,如圖陰影部分所示(包括邊界).
由z=3x+2y,得y=-32x+12z,
作直線y=-32x并向上平移,
顯然l過點B(2,0)時,z取最大值,zmax=3×2+0=6.
4.(2018全國Ⅱ·14)若x,y滿足約束條件x+2y-5≥0,x-2y+3≥0,
13、x-5≤0.則z=x+y的最大值為 .?
答案 9
解析 由題意,作出可行域如圖.要使z=x+y取得最大值,當(dāng)且僅當(dāng)過點(5,4)時,zmax=9.
5.(2017全國Ⅰ·14)設(shè)x,y滿足約束條件x+2y≤1,2x+y≥-1,x-y≤0,則z=3x-2y的最小值為 .?
答案 -5
解析 不等式組x+2y≤1,2x+y≥-1,x-y≤0表示的平面區(qū)域如圖所示.
由z=3x-2y,得y=32x-z2.求z的最小值,即求直線y=32x-z2的縱截距的最大值.
數(shù)形結(jié)合知當(dāng)直線y=32x-z2過圖中點A時,縱截距最大.由2x+y=-1,x+2y=1,解得A點坐
14、標(biāo)為(-1,1),此時z取得最小值為3×(-1)-2×1=-5.
6.(2019北京·10)若x,y滿足x≤2,y≥-1,4x-3y+1≥0,則y-x的最小值為 ,最大值為 .?
答案 -3 1
解析 作出可行域如圖陰影部分所示.設(shè)z=y-x,則y=x+z.當(dāng)直線l0:y=x+z經(jīng)過點A(2,-1)時,z取最小值-3,經(jīng)過點B(2,3)時,z取最大值1.
典題演練提能·刷高分
1.(2019四川成都七中高三模擬)設(shè)x,y滿足約束條件x-y+1≤0,x+y-1≤0,x+2y+1≥0,則z=2y-x的最小值為( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案 A
15、
解析 畫出約束條件所表示的可行域,如圖(陰影部分)所示.
目標(biāo)函數(shù)z=2y-x可化為直線y=12x+z2,結(jié)合圖象可得當(dāng)直線y=12x+z2過點A時,此時在y軸上的截距最小,此時目標(biāo)函數(shù)取得最小值,
又由x-y+1=0,x+2y+1=0,解得A(-1,0),所以目標(biāo)函數(shù)的最小值為zmin=2×0-(-1)=1.故選A.
2.(2019吉林長春實驗中學(xué)高三模擬)已知實數(shù)x,y滿足x+y≥1,x2+y2≤1,則2x+y的取值范圍是( )
A.[1,2] B.[1,+∞)
C.(0,5) D.[1,5]
答案 D
解析 設(shè)2x+y=b,則只需求直線2x+y=b在y軸上的截距范圍.
16、
畫出可行域如圖中弓形部分所示,
當(dāng)直線與圓相切時,截距最大,且為5,當(dāng)直線過點(0,1)時截距最小,且為1,所以2x+y的取值范圍是[1,5].故選D.
3.若實數(shù)x,y滿足2x-y+1≥0,x+y≥0,x≤0,則z=|x-y|的最大值是( )
A.0 B.1 C.23 D.13
答案 B
解析 作可行域如圖,
則|x-y|=y-x,
所以直線z=y-x過點A(0,1)時,z取最大值1,故選B.
4.已知向量a=(1,2),b=(x,y),且實數(shù)x,y滿足y≥0,y≤x,x+y-3≤0,則z=a·b的最大值為 .?
答案 92
解析 ∵a=(1,2),b=
17、(x,y),∴z=a·b=x+2y.
所以y=-12x+12z,作出不等式組y≥0,y≤x,x+y-3≤0所表示的平面區(qū)域.由y=x,x+y-3=0得x=y=32,結(jié)合圖形可知,當(dāng)直線經(jīng)過點A32,32時縱截距最大,
此時(x+2y)max=32+2×32=92.
5.若實數(shù)x,y滿足不等式組y≥0,2x-y+3≥0,x+y-1≤0,則z=2y-|x|的最小值是 .?
答案 -32
解析 畫出不等式組表示的可行域如圖陰影部分所示.
①當(dāng)x≥0時,z=2y-|x|=2y-x,可得y=x2+z2,平移直線y=x2+z2,結(jié)合圖形可得當(dāng)直線經(jīng)過可行域內(nèi)的點B(1,0)時,直線在
18、y軸上的截距最小,
此時z取得最小值,且zmin=-1.
②當(dāng)x<0時,z=2y-|x|=2y+x,可得y=-x2+z2,平移直線y=-x2+z2,結(jié)合圖形可得當(dāng)直線經(jīng)過可行域內(nèi)的點A-32,0時,直線在y軸上的截距最小,此時z取得最小值,且zmin=-32.綜上可得zmin=-32.
命題角度4非線性規(guī)劃問題
高考真題體驗·對方向
1.(2016山東·4)若變量x,y滿足x+y≤2,2x-3y≤9,x≥0,則x2+y2的最大值是( )
A.4 B.9 C.10 D.12
答案 C
解析 如圖,不等式組表示的可行域是以A(0,-3),B(0,2),C(3,-1)為頂點的三角
19、形區(qū)域,x2+y2表示點(x,y)到原點距離的平方,最大值必在頂點處取到,經(jīng)驗證最大值|OC|2=10,故選C.
2.(2015全國Ⅰ·15)若x,y滿足約束條件x-1≥0,x-y≤0,x+y-4≤0,則yx的最大值為 .?
答案 3
解析
畫出約束條件對應(yīng)的平面區(qū)域(如圖),點A為(1,3),要使yx最大,則y-0x-0最大,即過點(x,y),(0,0)兩點的直線斜率最大,由圖形知當(dāng)該直線過點A時,yxmax=3-01-0=3.
典題演練提能·刷高分
1.(2019四川綿陽三診)已知變量x,y滿足x≥0,|y|≤1,x+y-2≤0,則x2+y2的最大值為( )
20、
A.10 B.5 C.4 D.2
答案 A
解析 作出變量x,y滿足x≥0,|y|≤1,x+y-2≤0所對應(yīng)的可行域(如圖陰影部分),
由x+y-2=0,y=-1,解得A(3,-1).而z=x2+y2表示可行域內(nèi)的點到原點距離的平方,由數(shù)形結(jié)合可得最大距離為OA=32+(-1)2=10,即z=x2+y2的最大值為10.故選A.
2.已知實數(shù)x,y滿足x-y+1≥0,x+y-1≥0,3x-y-3≤0,則使不等式kx-y+k≤1恒成立的實數(shù)k的取值集合是( )
A.-∞,12 B.-∞,14
C.(-∞,1] D.(-∞,2]
答案 A
解析 作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如
21、圖,
由圖象知x≥0,
由不等式kx-y+k≤1恒成立,得k(x+1)≤1+y,即k≤y+1x+1,
設(shè)z=y+1x+1,則z的幾何意義是區(qū)域內(nèi)的點到定點D(-1,-1)的斜率,
由圖象知AD的斜率最小,由x+y-1=0,3x-y-3=0,得x=1,y=0,即A(1,0),
此時z的最小值為z=0+11+1=12,即k≤12,
即實數(shù)k的取值范圍是-∞,12.故選A.
3.(2019安徽江淮十校高三聯(lián)考)若實數(shù)x,y滿足x-y+1≤0,x+y-2≤0,x≥0,且2x+y-7≥c(x-3)恒成立,則c的取值范圍是( )
A.-∞,53 B.(-∞,2]
C.53,+∞ D
22、.[2,+∞)
答案 D
解析 作出不等式組x-y+1≤0,x+y-2≤0,x≥0,對應(yīng)的可行域為如圖所示的△ABC,且A12,32,B(0,2),C(0,1),則對于可行域內(nèi)每一點P(x,y),都有0≤x≤12,∴x-3<0,2x+y-7≥c(x-3),即為c≥2x+y-7x-3恒成立,轉(zhuǎn)化為z=2x+y-7x-3的最大值.
∵z=2(x-3)+(y-1)x-3=2+y-1x-3.又y-1x-3即為點P(x,y)和點M(3,1)連線的斜率,由圖可知kMB≤y-1x-3≤kMC,即z∈53,2,∴zmax=2.∴c≥2.故選D.
4.已知點A(4,0),B(0,4),點P(x,y)
23、的坐標(biāo)x,y滿足x≥0,y≥0,3x+4y-12≤0,則AP·BP的最小值為( )
A.-19625 B.0 C.254 D.-8
答案 A
解析 畫出可行域如圖所示,
∵AP·BP=(x-4,y)·(x,y-4)=x2-4x+y2-4y=(x-2)2+(y-2)2-8,表示點C(2,2)到可行域的距離的平方減去8的最小值,C(2,2)到可行域的最小距離即為到直線3x+4y-12=0的距離,則AP·BP的最小值為|3×2+4×2-12|32+422-8=-19625.故選A.
5.已知實數(shù)x,y滿足約束條件3x-y-1≥0,x+y-2≤0,3x-6y-4≤0,則z=x+y-1x
24、+1的最大值為 .?
答案 47
解析 作出不等式表示的平面區(qū)域(如圖所示的陰影部分).
其中C34,54,z=x+y-1x+1=1+y-2x+1,即m=y-2x+1表示可行域上的動點與定點P(-1,2)連線的斜率,最大值為kPC=-37.
∴x+y-1x+1的最大值為1-37=47,故答案為47.
命題角度5含參數(shù)的線性規(guī)劃問題
高考真題體驗·對方向
1.(2015山東·6)已知x,y滿足約束條件x-y≥0,x+y≤2,y≥0.若z=ax+y的最大值為4,則a=( )
A.3 B.2 C.-2 D.-3
答案 B
解析 由約束條件畫出可行域,如圖陰影部分所示
25、.
線性目標(biāo)函數(shù)z=ax+y,即y=-ax+z.
設(shè)直線l0:ax+y=0.
當(dāng)-a≥1,即a≤-1時,l0過O(0,0)時,z取得最大值,zmax=0+0=0,不合題意;
當(dāng)0≤-a<1,即-10,x,y滿足約束條
26、件x≥1,x+y≤3,y≥a(x-3).若z=2x+y的最小值為1,則a=( )
A.14 B.12 C.1 D.2
答案 B
解析
由題意作出x≥1,x+y≤3所表示的區(qū)域如圖陰影部分所示,
作直線2x+y=1,因為直線2x+y=1與直線x=1的交點坐標(biāo)為(1,-1),結(jié)合題意知直線y=a(x-3)過點(1,-1),代入得a=12,所以a=12.
典題演練提能·刷高分
1.已知實數(shù)x,y滿足約束條件2x-y+2≥0,x-2y-2≤0,x+y-2≤0,若z=x-ay(a>0)的最大值為4,則a=( )
A.2 B.32 C.3 D.4
答案 C
解析 作出可行域如
27、圖所示,由2x-y+2=0,x-2y-2=0,解得A(-2,-2).
由圖得B(2,0),化目標(biāo)函數(shù)z=x-ay(a>0)為y=1ax-1az,當(dāng)直線y=1ax-1az過A或B時,直線在y軸上的截距最小,z有最大值.
把A(-2,-2)代入z=x-ay,z=-2+2a=4,得a=3,符合題意;
把B(2,0)代入得z=2≠4.∴a=3,故選C.
2.已知實數(shù)x,y滿足約束條件x+y-1≥0,x-y+1≥0,2x-y-2≤0,若z=mx+y,z的取值范圍為集合A,且A?13,6,則實數(shù)m的取值范圍是( )
A.13,23 B.-119,23
C.-119,13 D.23,6
28、答案 A
解析 作出不等式組表示的平面區(qū)域,如圖中陰影部分所示,
其中A(1,0),B(0,1),C(3,4),不論m>0還是m<0,z=mx+y的最值一定在頂點處取得,
所以13≤m≤6,13≤3m+4≤6,解得m∈13,23,故選A.
3.實數(shù)x,y滿足x≤0,y≤0,x+y-c≥0,且x-y的最大值不小于1,則實數(shù)c的取值范圍是( )
A.c≤-1 B.c≥-1
C.c≤-2 D.c≥-2
答案 A
解析 作出可行域,如圖所示,
令z=x-y,則y=x-z,當(dāng)直線經(jīng)過B(0,c)時,z=x-y取到最大值,
∴0-c≥1,即c≤-1,故選A.
4.(2019
29、廣東廣州高三模擬)已知關(guān)于x,y的不等式組2x-y+1≥0,x+m≤0,y+2≥0,表示的平面區(qū)域內(nèi)存在點P(x0,y0),滿足x0-2y0=2,則m的取值范圍是 .?
答案 -∞,43
解析 作出x,y的不等式組2x-y+1≥0,x+m≤0,y+2≥0,對應(yīng)的可行域如圖所示.
交點C的坐標(biāo)為(-m,-2),直線x-2y=2的斜率為12,斜截式方程為y=12x-1.
要使平面區(qū)域內(nèi)存在點P(x0,y0)滿足x0-2y0=2,則點C(-m,-2)必在直線x-2y=2的下方,即-2≤-12m-1,解得m≤2,并且A在直線的上方,即A(-m,1-2m),可得1-2m≥-12m-1
30、,解得m≤43,故m的取值范圍是-∞,43.
命題角度6利用線性規(guī)劃解決實際問題
高考真題體驗·對方向
1.(2015陜西)某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品均需用A,B兩種原料,已知生產(chǎn)1噸每種產(chǎn)品所需原料及每天原料的可用限額如表所示.如果生產(chǎn)1噸甲、乙產(chǎn)品可獲利潤分別為3萬元、4萬元,則該企業(yè)每天可獲得最大利潤為( )
甲
乙
原料限額
A(噸)
3
2
12
B(噸)
1
2
8
A.12萬元 B.16萬元 C.17萬元 D.18萬元
答案 D
解析 設(shè)該企業(yè)每天生產(chǎn)甲產(chǎn)品x噸,乙產(chǎn)品y噸,獲利z元.
則由題意知3x+2y≤12,x+2y≤8,x≥0
31、,y≥0,利潤函數(shù)z=3x+4y.
畫出可行域如圖所示,當(dāng)直線3x+4y-z=0過點B時,目標(biāo)函數(shù)取得最大值.
由3x+2y=12,x+2y=8,解得x=2,y=3.
故利潤函數(shù)的最大值為z=3×2+4×3=18(萬元).故選D.
2.(2016全國Ⅰ·16)某高科技企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品A和產(chǎn)品B需要甲、乙兩種新型材料.生產(chǎn)一件產(chǎn)品A需要甲材料1.5 kg,乙材料1 kg,用5個工時;生產(chǎn)一件產(chǎn)品B需要甲材料0.5 kg,乙材料0.3 kg,用3個工時.生產(chǎn)一件產(chǎn)品A的利潤為2 100元,生產(chǎn)一件產(chǎn)品B的利潤為900元.該企業(yè)現(xiàn)有甲材料150 kg,乙材料90 kg,則在不超過600個工時
32、的條件下,生產(chǎn)產(chǎn)品A、產(chǎn)品B的利潤之和的最大值為 元.?
答案 216 000
解析 設(shè)生產(chǎn)產(chǎn)品Ax件,生產(chǎn)產(chǎn)品By件,
由題意得1.5x+0.5y≤150,x+0.3y≤90,5x+3y≤600,x,y∈N,即3x+y≤300,10x+3y≤900,5x+3y≤600,x,y∈N.
目標(biāo)函數(shù)z=2100x+900y,畫出約束條件對應(yīng)的可行域(如圖陰影部分中的整數(shù)點所示),
作直線y=-73x,當(dāng)直線過5x+3y=600與10x+3y=900的交點時,z取最大值,
由5x+3y=600,10x+3y=900,解得x=60,y=100,
所以zmax=2100×60+9
33、00×100=216000.
典題演練提能·刷高分
1.電視臺播放甲、乙兩套連續(xù)劇,每次播放連續(xù)劇時,需要播放廣告.已知每次播放甲、乙兩套連續(xù)劇時,連續(xù)劇播放時長、廣告播放時長、收視人次如下表所示:
連續(xù)劇
連續(xù)劇播放時長/min
廣告播放時長/min
收視人次/萬人
甲
70
5
60
乙
60
5
25
電視臺每周安排的甲、乙連續(xù)劇的總播放時長不多于600 min,廣告的總播放時長不少于30 min,且甲連續(xù)劇播放的次數(shù)不多于乙連續(xù)劇播放次數(shù)的2倍,分別用x,y表示每周計劃播出的甲、乙兩套連續(xù)劇的次數(shù),要使總收視人次最多,則電視臺每周播出甲、乙兩套連續(xù)劇的
34、次數(shù)分別為( )
A.6,3 B.5,2 C.4,5 D.2,7
答案 A
解析 依題意得70x+60y≤600,5x+5y≥30,x≤2y,x≥0,y≥0,
目標(biāo)函數(shù)為z=60x+25y,畫出可行域如下圖所示,
由圖可知,目標(biāo)函數(shù)在點(6,3)處取得最大值.故選A.
2.某貨運員擬運送甲、乙兩種貨物,每件貨物的體積、質(zhì)量、可獲利潤如下表所示:
體積(升/件)
質(zhì)量(千克/件)
利潤(元/件)
甲
20
10
8
乙
10
20
10
在一次運輸中,貨物總體積不超過110升,總質(zhì)量不超過100千克,那么在合理
35、的安排下,一次運輸獲得的最大利潤為 元.?
答案 62
解析 設(shè)運送甲種貨物x件,乙種貨物y件,利潤為z,
則由題意得20x+10y≤110,10x+20y≤100,x,y∈N,
即2x+y≤11,x+2y≤10,x,y∈N,且z=8x+10y,作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖所示,
由2x+y=11,x+2y=10,得x=4,y=3,即B(4,3),由z=8x+10y得y=-45x+z10,平移直線y=-45x+z10,由圖可知當(dāng)直線y=-45x+z10,經(jīng)過點B時,直線的截距最大,此時z最大,故zmax=8×4+10×3=62,一次運輸獲得的最大利潤為62元.
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（通用版）2020版高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 專題一 高頻客觀命題點 1.5 不等式與線性規(guī)劃練習(xí) 理
