第四章　三角函數(shù)、平面向量與復(fù)數(shù) 　【p46】 1．三角函數(shù) 2．平面向量 3．復(fù)數(shù) 第19講　任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù) 夯實(shí)基礎(chǔ)　【p47】 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】 1．了解任意角的概念、弧度制的概念，能進(jìn)行弧度與角度的互化． 2．理解任意角三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義． 【基礎(chǔ)檢測】 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．9°＝(　　) A. B. C. D. 【解析】由角度制與弧度制的轉(zhuǎn)化公式可知：9°＝π＝.故選B. 【答案】B 2．已知sin θ·tan θ<0，那么θ是(　　) A．第一或第二象限角 B．第二或第三象限角 C．第三或第四象限角 D．第一或第四象限角 【解析】由sin θ·tan θ＝<0，知sin θ≠0且cos θ＜0， 故θ為第二或第三象限角．故選B. 【答案】B 3．已知點(diǎn)P在角θ的終邊上，且θ∈[0，2π)，則θ的值為(　　) A. B. C. D. 【解析】因?yàn)辄c(diǎn)P在第四象限，根據(jù)三角函數(shù)的定義可知tan θ＝＝－，則θ＝π.C正確． 【答案】C 4．如果一扇形的弧長為2π cm，半徑等于2 cm，則扇形所對圓心角為(　　) A．2π B．π C. D. 【解析】由l＝α·r得，α＝＝π，故扇形所對的圓心角為π. 【答案】B 【知識要點(diǎn)】 1．角的概念 (1)正角、負(fù)角和零角 按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)而成的角叫作正角；按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)而成的角叫作負(fù)角；當(dāng)一條射線沒有作任何旋轉(zhuǎn)時(shí)所成的角叫作零角． (2)象限角 角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸正半軸重合，角的終邊落在第幾象限，就把這個(gè)角稱作第幾象限角． 角的終邊落在坐標(biāo)軸上，稱為軸線角，這個(gè)角不屬于任何象限． (3)終邊相同的角 所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)(而且只有這樣的角)，可以用式子k·360°＋α，k∈Z或2kπ＋α，k∈Z表示． 2．弧度制 (1)概念：把長度等于__半徑長__的弧所對的圓心角叫作1弧度的角，它的單位符號是rad，讀作弧度． (2)扇形的弧長與面積公式：半徑為r，中心角為α(rad)的扇形的弧長為l＝|α|r；面積為S＝lr＝|α|r2. (3)角度制與弧度制的關(guān)系 π rad＝__180°__； 1°＝ 弧度； 1弧度＝°≈57.30°＝57°18′. 3．任意角的三角函數(shù) (1)三角函數(shù)的定義 設(shè)P(x，y)是角α終邊上任一點(diǎn)，且|PO|＝r(r＞0)，則有sin α＝____；cos α＝____；tan α＝____．它們都是以__角__為自變量，以__比值__為因變量的函數(shù)． (2)三角函數(shù)在各象限內(nèi)的符號口訣是：__一全正、二正弦、三正切、四余弦__． (3)三角函數(shù)線 三角函數(shù)線是三角函數(shù)的一種幾何表示，即用如圖所示的有向線段MP，OM，AT分別表示角α的正弦、余弦、正切即正弦線、余弦線、正切線．要注意的是當(dāng)α在第二、三象限時(shí)，α角的終邊與過A的切線不相交，因而正切線中的T是其終邊的反向延長線與過A的切線的交點(diǎn)．　　(4)三角函數(shù)的定義域、值域 y＝sin α，y＝cos α的定義域是__R__，值域是__[－1，1]__． y＝tan α的定義域是____，值域是__R__． 典 例 剖 析　【p47】 考點(diǎn)1　任意角的三角函數(shù)定義 (1)若120°的終邊上有一點(diǎn)(－1，a)，則a＝(　　) A．－ B．－ C. D. 【解析】∵120°的終邊上有一點(diǎn)(－1，a)，tan 120°＝－， 根據(jù)三角函數(shù)定義，tan 120°＝， ∴a＝.故選D. 【答案】D (2)點(diǎn)P從(1，0)出發(fā)，沿單位圓逆時(shí)針方向運(yùn)動弧長到達(dá)Q點(diǎn)，則Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(　　) A. B. C. D. 【解析】由三角函數(shù)定義可知Q點(diǎn)的坐標(biāo)(x，y)滿足x＝cos ＝－，y＝sin ＝. 【答案】A 【小結(jié)】若角α終邊上的點(diǎn)P(x，y)在單位圓上，則sin α＝y(tǒng)，cos α＝x，tan α＝.若點(diǎn)P(x，y)不在單位圓上，則先求r＝(注意含參數(shù)的正負(fù)選取)，然后利用sin α＝，cos α＝，tan α＝求解． 考點(diǎn)2　利用三角函數(shù)線解題 已知sin α>sin β，那么下列命題成立的是(　　) A．若α、β是第一象限的角，則cos α>cos β B．若α、β是第二象限的角，則tan α>tan β C．若α、β是第三象限的角，則cos α>cos β D．若α、β是第四象限的角，則tan α>tan β 【解析】畫出單位圓及角α，β的正弦線、余弦線、正切線． 由圖①知，sin α＝MP>NQ＝sin β，cos α＝OM<ON＝cos β，排除A；由圖②知，sin α＝NQ>MP＝sin β，tan α＝－AT2<－AT1＝tan β，排除B；由圖③知，sin α＝－MP>－NQ＝sin β，cos α＝－OM<－ON＝cos β，排除C；由圖④知，sin α＝－MP>－NQ＝sin β，tan α＝－AT1>－AT2＝tan β，故選D. 【答案】D 【小結(jié)】本小題充分利用單位圓中三角函數(shù)線表示三角函數(shù)值的大小，觀察圖形得出結(jié)論，即用數(shù)形結(jié)合思想解題． 考點(diǎn)3　弧度制與扇形面積 已知扇形的圓心角為α，所在圓的半徑為r. (1)若α＝120°， r＝6，求扇形的弧長； (2)若扇形的周長為24，當(dāng)α為多少弧度時(shí)，該扇形面積S最大？并求出最大面積． 【解析】(1)∵α＝120°＝120×＝， r＝6， ∴l(xiāng)＝α·r＝×6＝4π. (2)設(shè)扇形的弧長為l，則l＋2r＝24，即l＝24－2r(0<r<12)，扇形的面積S＝l·r＝·r＝－r2＋12r＝－＋36，所以當(dāng)且僅當(dāng)r＝6時(shí)， S有最大值36，此時(shí)l＝24－2×6＝12，∴α＝＝＝2. 【小結(jié)】(1)利用扇形的弧長和面積公式解題時(shí)，要注意角的單位必須是弧度． (2)求扇形面積最大值的問題時(shí)，常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題，利用配方法使問題得到解決． (3)在解決弧長問題和扇形面積問題時(shí)，要合理地利用圓心角所在的三角形． 【能力提升】 (1)如圖，設(shè)點(diǎn)A是單位圓上的一定點(diǎn)，動點(diǎn)P從A出發(fā)在圓上按逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)一周，點(diǎn)P所旋轉(zhuǎn)過的弧的長為l，弦AP的長為d，則函數(shù)d＝f(l)的圖象大致為(　　) 【解析】如圖，取AP的中點(diǎn)為D，連接OD.設(shè)∠DOA＝θ，則d＝2sin θ，l＝2θ，故d＝2sin . 【答案】C (2)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一單位圓的圓心的初始位置在(0，1)，此時(shí)圓上一點(diǎn)P的位置在(0，0)，圓在x軸上沿正向滾動．當(dāng)圓滾動到圓心位于C(2，1)時(shí)，的坐標(biāo)為______________． 【解析】如圖所示， 過圓心C作x軸的垂線，垂足為A，過P作x軸的垂線與過C作y軸的垂線交于點(diǎn)B.因?yàn)閳A心移動的距離為2，所以劣弧＝2，即圓心角∠PCA＝2，則∠PCB＝2－，所以|PB|＝sin＝－cos 2，|CB|＝cos＝sin 2，所以xP＝2－|CB|＝2－sin 2，yP＝1＋|PB|＝1－cos 2，所以＝(2－sin 2，1－cos 2)． 【答案】(2－sin 2，1－cos 2) 【小結(jié)】1.本小題主要考查了三角函數(shù)的定義． 2．把距離轉(zhuǎn)化成角度與弧長的函數(shù)關(guān)系． 3．解決和旋轉(zhuǎn)有關(guān)的問題要抓住旋轉(zhuǎn)過程中角的變化，結(jié)合弧長公式、三角函數(shù)定義尋找關(guān)系． 4．利用三角函數(shù)線解三角不等式要在單位圓中先作出臨界情況，然后觀察適合條件的角的位置． 方 法 總 結(jié)　【p48】 1．在利用三角函數(shù)定義時(shí)，點(diǎn)P可取終邊上任一點(diǎn)，如有可能則取終邊與單位圓的交點(diǎn)．|OP|＝r一定是正值． 2．三角函數(shù)符號是重點(diǎn)，也是難點(diǎn)，在理解的基礎(chǔ)上可借助口訣：一全正，二正弦，三正切，四余弦． 3．在解簡單的三角不等式時(shí)，利用單位圓及三角函數(shù)線是一個(gè)小技巧． 走 進(jìn) 高 考　　【p48】 1．(2018·北京)在平面直角坐標(biāo)系中，，，，是圓x2＋y2＝1上的四段弧(如圖)，點(diǎn)P在其中一段上，角α以O(shè)x為始邊，OP為終邊．若tan α<cos α<sin α，則點(diǎn)P所在的圓弧是(　　) A. B. C. D. 【解析】題中的問題等價(jià)于在區(qū)間[0，2π]上確定tan x<cos x<sin x的角x終邊的范圍，在同一個(gè)直角坐標(biāo)系中繪制函數(shù)y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的函數(shù)圖象如圖所示， 觀察可得，滿足題意的x的取值范圍是<x<， 則其對應(yīng)的點(diǎn)P所在的圓弧是. 故選C. 【答案】C - 7 -