《（名師導學）2020版高考數(shù)學總復習 第六章 數(shù)列 第37講 數(shù)列的綜合應用練習 理（含解析）新人教A版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（名師導學）2020版高考數(shù)學總復習 第六章 數(shù)列 第37講 數(shù)列的綜合應用練習 理（含解析）新人教A版（18頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第37講　數(shù)列的綜合應用 夯實基礎　【p78】 【學習目標】 1．會利用數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)解與方程、不等式、解析幾何相結(jié)合的數(shù)列綜合題． 2．掌握相關(guān)的數(shù)列模型以及建立模型解決實際問題的方法． 【基礎檢測】 1．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果輸入n＝3，則輸出的S＝(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A. B. C. D. 【解析】第一次循環(huán)后S＝＝，i＝2；第二次循環(huán)后S＝＋＝×＝，i＝3；第三次循環(huán)后S＝＋＋＝×＝，此時i＝4>3，退出循環(huán)，輸出結(jié)果S＝. 【答案】B 2．我國古代數(shù)學著作《九章算術(shù)》由如下問題：“今有金箠，長五尺，斬本一尺，重四

2、斤．斬末一尺，重二斤．問次一尺各重幾何？”意思是：“現(xiàn)有一根金杖，長5尺，一頭粗，一頭細，在粗的一端截下1尺，重4斤；在細的一端截下1尺，重2斤；問依次每一尺各重多少斤？”設該金杖由粗到細是均勻變化的，其重量為M，現(xiàn)將該金杖截成長度相等的10段，記第i段的重量為ai(i＝1，2，…，10)，且a1

3、i＝6， 【答案】A 3．小李年初向銀行貸款M萬元用于購房，購房貸款的年利率為p，按復利計算，并從借款后次年年初開始歸還，分10次等額還清，每年1次，問每年應還(　　)萬元．(　　) A.B. C.D. 【解析】設每年應還x萬元，則x＋x＋x＋…＋x＝M，＝M，得x＝. 【答案】B 4．設y＝f是一次函數(shù)，若f＝1，且f，f，f成等比數(shù)列，則f＋f＋…＋f＝________. 【解析】由題意可設f＝kx＋1， 則＝，解得k＝2， f＋f＋…＋f＝＋＋…＋＝2n2＋3n. 【答案】2n2＋3n 【知識要點】 1．數(shù)列綜合問題中應用的數(shù)學思想 (1)用函數(shù)的觀點與思想認

4、識數(shù)列，將數(shù)列的通項公式和求和公式視為定義在正整數(shù)集或其有限子集{1，2，…，n}上的函數(shù)． (2)用方程的思想處理數(shù)列問題，將問題轉(zhuǎn)化為數(shù)列基本量的方程． (3)用轉(zhuǎn)化化歸的思想探究數(shù)列問題，將問題轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列來研究． (4)數(shù)列綜合問題常常應用分類討論思想、特殊與一般思想、類比聯(lián)想思想、歸納猜想思想等． 2．解答數(shù)列應用題的步驟 (1)審題——仔細閱讀材料，認真理解題意． (2)建?！獙⒁阎獥l件翻譯成數(shù)學(數(shù)列)語言，將實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學問題，弄清該數(shù)列的特征、要求是什么． (3)求解——求出該問題的數(shù)學解． (4)還原——將所求結(jié)果還原到原實際問題中． 3．數(shù)

5、列應用題常見模型 (1)等差模型：如果增加(或減少)的量是一個固定量時，該模型是等差模型，增加(或減少)的量就是公差． (2)等比模型：如果后一個量與前一個量的比是一個固定的數(shù)時，該模型是等比模型，這個固定的數(shù)就是公比． (3)遞推數(shù)列模型：如果題目中給出的前后兩項之間的關(guān)系不固定，隨項的變化而變化時，應考慮是an與an＋1的遞推關(guān)系，還是Sn與Sn＋1之間的遞推關(guān)系． 典例剖析　【p78】 考點1　等差、等比數(shù)列的綜合問題 已知公比不為1的等比數(shù)列{an}的首項a1＝，前n項和為Sn，且a4＋S4，a5＋S5，a6＋S6成等差數(shù)列． (1)求等比數(shù)列{an}的通項公式； (2

6、)對n∈N*，在an與an＋1之間插入3n個數(shù)，使這3n＋2個數(shù)成等差數(shù)列，記插入的這3n個數(shù)的和為bn，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn. 【解析】(1)設等比數(shù)列{an}的公比為q， 因為a4＋S4，a5＋S5，a6＋S6成等差數(shù)列， 所以a5＋S5－a4－S4＝a6＋S6－a5－S5， 即2a6－3a5＋a4＝0，所以2q2－3q＋1＝0. 因為q≠1，所以q＝， 所以等比數(shù)列{an}的通項公式為an＝. (2)由題意得bn＝·3n＝·， Tn＝·＝. 【點評】等差數(shù)列、等比數(shù)列綜合問題的兩大解題策略 (1)設置中間問題：分析已知條件和求解目標，為最終解決問題設置中間問題

7、，例如求和需要先求出通項、求通項需要先求出首項和公差(公比)等，確定解題的順序． (2)注意解題細節(jié)：在等差數(shù)列與等比數(shù)列綜合問題中，如果等比數(shù)列的公比不能確定，則要看其是否有等于1的可能，在數(shù)列的通項問題中第一項和后面的項能否用同一個公式表示等，這些細節(jié)對解題的影響也是巨大的． 考點2　數(shù)列與不等式的綜合問題 已知數(shù)列中，a1＝1，an＋1＝. (1)求數(shù)列的通項公式； (2)數(shù)列滿足bn＝··an，數(shù)列的前n項和為Tn，若不等式λ

8、從而＋＝×3n－1an＝. (2)由(1)可知bn＝. Tn＝1×＋2×＋3×＋…＋×＋n×， ＝1×＋2×＋3×＋…＋×＋n×， 兩式相減得 ＝＋＋＋…＋－n×＝2－， ∴Tn＝4－， ∴λ<4－， 若n為偶數(shù)，則λ<4－，∴λ<3； 若n為奇數(shù)，則－λ<4－，∴－λ<2，∴λ>－2， ∴－2<λ<3. 考點3　數(shù)列與函數(shù)的綜合問題 設等差數(shù)列{an}的公差為d，點(an，bn)(n∈N*)在函數(shù)f(x)＝2x的圖象上． (1)若a1＝－2，點(a8，4b7)在函數(shù)f(x)的圖象上，求數(shù)列{an}的前n項和Sn； (2)若a1＝1，函數(shù)f(x)的圖象在點(a2，

9、b2)處的切線在x軸上的截距為2－，求數(shù)列的前n項和Tn. 【解析】(1)由已知得，b7＝2a7，b8＝2a8＝4b7， 所以2a8＝4×2a7＝2a7＋2，解得d＝a8－a7＝2， 所以Sn＝na1＋d＝－2n＋n(n－1)＝n2－3n. (2)函數(shù)f(x)＝2x在點(a2，b2)處的切線方程為y－2a2＝(2a2ln 2)(x－a2)， 其在x軸上的截距為a2－.由題意有a2－＝2－，解得a2＝2. 所以d＝a2－a1＝1.從而an＝n，bn＝2n， 所以數(shù)列的通項公式為＝， 所以Tn＝＋＋＋…＋＋， 2Tn＝＋＋＋…＋， 因此，2Tn－Tn＝1＋＋＋…＋－＝2－－＝.

10、 所以，Tn＝. 【點評】數(shù)列與函數(shù)的綜合的兩個方面 (1)以數(shù)列的特征量n，an，Sn等為坐標的點在函數(shù)圖象上，可以得到數(shù)列的遞推關(guān)系； (2)數(shù)列的項或前n項和可以看作關(guān)于n的函數(shù)，然后利用函數(shù)的性質(zhì)求解數(shù)列問題． 考點4　數(shù)列模型及應用 《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學名著，在其中有道“竹九問題”：“今有竹九節(jié)，下三節(jié)容量四升，上四節(jié)容量三升．問中間二節(jié)欲均容各多少？”意思為：今有竹九節(jié)，下三節(jié)容量之和為4升，上四節(jié)容量之和為3升，且每一節(jié)容量變化均勻(即每節(jié)容量成等差數(shù)列)．問每節(jié)容量各為多少？在這個問題中，中間一節(jié)的容量為(　　) A.B.C.D. 【解析】由題設則d＝，

11、故由等差數(shù)列的性質(zhì)可得a5＝a8－3d＝. 【答案】A 某企業(yè)的資金每一年都比上一年分紅后的資金增加一倍，并且每年年底固定給股東們分紅500萬元．該企業(yè)2016年年底分紅后的資金為1 000萬元． (1)求該企業(yè)2020年年底分紅后的資金； (2)求該企業(yè)從哪一年開始年底分紅后的資金超過32 500萬元． 【解析】設an為(2016＋n)年年底分紅后的資金，其中n∈N*， 則a1＝2×1 000－500＝1 500， a2＝2×1 500－500＝2 500，…，an＝2an－1－500(n≥2)． ∴an－500＝2(an－1－500)(n≥2)， 即數(shù)列{an－500}是

12、首項為a1－500＝1 000，公比為2的等比數(shù)列． ∴an－500＝1 000×2n－1， ∴an＝1 000×2n－1＋500. (1)a4＝1 000×24－1＋500＝8 500， ∴該企業(yè)2020年年底分紅后的資金為8 500萬元． (2)由an>32 500，即2n－1>32，得n>6， ∴該企業(yè)從2022年開始年底分紅后的資金超過32 500萬元． 【點評】解數(shù)列應用題的建模思路： 從實際出發(fā)，通過抽象概括建立數(shù)學模型，通過對模型的解析，再返回實際中去，其思路框圖為： 方法總結(jié)　　【p80】 1．數(shù)列模型應用問題的求解策略 (1)認真審題，準確理解題意．

13、 (2)依據(jù)問題情境，構(gòu)造等差、等比數(shù)列，然后應用通項公式、數(shù)列性質(zhì)和前n項和公式求解，或通過探索、歸納、構(gòu)造遞推數(shù)列求解． (3)驗證、反思結(jié)果與實際是否相符． 2．數(shù)列綜合問題的求解程序 (1)數(shù)列與函數(shù)綜合問題或應用函數(shù)思想解決數(shù)列問題，或以函數(shù)為載體構(gòu)造數(shù)列，應用數(shù)列理論求解． (2)數(shù)列的幾何型綜合問題，探究幾何性質(zhì)和規(guī)律特征，建立數(shù)列的遞推關(guān)系式，然后求解問題． 走進高考　　【p80】 1．(2017·全國卷Ⅱ)我國古代數(shù)學名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“遠望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中

14、的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈(　　) A．1盞B．3盞 C．5盞D．9盞 【解析】設塔的頂層共有燈x盞，則各層的燈數(shù)構(gòu)成一個首項為x，公比為2的等比數(shù)列，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式有：＝381，解得x＝3，即塔的頂層共有燈3盞． 【答案】B 2．(2017·山東)已知{xn}是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，且x1＋x2＝3，x3－x2＝2. (1)求數(shù)列{xn}的通項公式； (2)如圖，在平面直角坐標系xOy中，依次連接點P1(x1, 1)，P2(x2, 2)，…，Pn＋1(xn＋1, n＋1)得到折線P1P2…Pn＋1，求由該折線與直線y＝0，x＝x1，x＝xn＋1所

15、圍成的區(qū)域的面積T. 【解析】(1)設數(shù)列{xn}的公比為q，由已知q>0， 因為所以q＝2，x1＝1， 因此數(shù)列{xn}的通項公式為xn＝2n－1. (2)過P1，P2，P3，…，Pn＋1向x軸作垂線，垂足分別為Q1，Q2，Q3，…，Qn＋1， 由(1)得xn＋1－xn＝2n－2n－1＝2n－1. 記梯形PnPn＋1Qn＋1Qn的面積為bn. 由題意bn＝×2n－1＝(2n＋1)×2n－2， 所以Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn ＝3×2－1＋5×20＋7×21＋…＋(2n－1)×2n－3＋(2n＋1)×2n－2，① 又2Tn＝3×20＋5×21＋7×22＋…＋(2n

16、－1)×2n－2＋(2n＋1)×2n－1，② ①－②得 －Tn＝3×2－1＋(2＋22＋…＋2n－1)－(2n＋1)×2n－1 ＝＋－(2n＋1)×2n－1. 所以Tn＝. 考點集訓　　【p217】 A組題 1．已知a，b，c，d成等比數(shù)列，且曲線y＝x2－2x＋3的頂點是(b，c)，則ad等于(　　) A．3 B．2 C．1 D．－2 【解析】∵曲線的頂點是(1，2)，∴b＝1，c＝2，又∵a，b，c，d成等比數(shù)列，∴ad＝bc＝2. 【答案】B 2．某種細胞開始有2個，1小時后分裂成4個并死去1個，2小時后分裂成6個并死去1個，3小時后分裂成10個并死去1個，…

17、，按此規(guī)律進行下去，6小時后細胞存活的個數(shù)是(　　) A．33個B．65個C．66個D．129個 【解析】設開始的細胞數(shù)和每小時后的細胞數(shù)構(gòu)成的數(shù)量為{an}，則即＝2，∴數(shù)列{an－1}是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，∴an－1＝1×2n－1，an＝2n－1＋1，故6小時后細胞的存活數(shù)是a7＝27－1＋1＝65. 【答案】B 3．某公司為激勵創(chuàng)新，計劃逐年加大研發(fā)資金投入．若該公司2015年全年投入研發(fā)資金130萬元，在此基礎上，每年投入的研發(fā)資金比上一年增長12%，則該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元的年份是(參考數(shù)據(jù)：lg 1.12＝0.05，lg 1.3＝0.11，lg

18、 2＝0.30)(　　) A．2021年B．2020年 C．2019年D．2018年 【解析】設第n年開始超過200萬元，則130×>200，化為(n－2015)lg 1.12>lg 2－lg 1.3，n－2 015>＝3.8，取n＝2 019，因此開始超過200萬元的年份是2019年． 【答案】C 4．已知函數(shù)f(x)＝cos x，x∈有兩個不同的零點x1，x2，且方程f(x)＝m有兩個不同的實根x3，x4，若把這四個數(shù)按從小到大排列構(gòu)成等差數(shù)列，則實數(shù)m＝(　　) A.B．－C.D．－ 【解析】由題意可知：x1＝，x2＝，且x3，x4只能分布在x1，x2的中間或兩側(cè)， 若x

19、3，x4分布在x1，x2的中間，則公差d＝＝， 故x3，x4分別為、，此時可求得m＝cos ＝－； 若x3，x4分布在x1，x2的兩側(cè)，則公差d＝－＝π， 故x3，x4分別為－、，不合題意． 【答案】D 5. 《萊茵德紙草書》是世界上最古老的數(shù)學著作之一．書中有這樣一道題目：把100個面包分給5個人，使每人所得成等差數(shù)列，且使較大的三份之和的是較小的兩份之和，問最大的一份為__________． 【解析】設每人所得面包數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列{an} ，公差d<0.由題意得即解得a1＝ . 【答案】 6．設數(shù)列{an}中，a1＝2, an＋1＝，bn＝，n∈N*，則數(shù)列的通項公式為bn＝

20、__________． 【解析】因為＝＝＝＝2，所以數(shù)列為以b1＝＝4為首項，2為公比的等比數(shù)列，即bn＝b1·2n－1＝2n＋1. 【答案】2n＋1 7．已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝－n2＋kn(其中k∈N*)，且Sn的最大值為8. (1)確定常數(shù)k，并求an； (2)記數(shù)列的前n項和為Tn，求證：Tn<4. 【解析】(1)因為Sn＝－n2＋kn＝－(n－k)2＋，又因為k∈N*，所以當n＝k時，(Sn)max＝Sk＝＝8，解得k＝4，這時Sn＝－n2＋4n； 所以a1＝S1＝－×12＋4×1＝，當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝－n＋，又a1＝S1＝也適合這個公式， 所

21、以an＝－n＋. (2)設bn＝＝， 則Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝1＋＋＋…＋，① 所以Tn＝＋＋＋…＋，② ①－②得Tn＝1＋＋＋＋…＋－＝2－－＝2－，所以Tn＝4－. 8．設正數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且2＝an＋1. (1)求數(shù)列{an}的通項公式． (2)若數(shù)列bn＝，設Tn為數(shù)列的前n項的和，求Tn. (3)若Tn≤λbn＋1對一切n∈N*恒成立，求實數(shù)λ的最小值． 【解析】(1)∵正數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且2＝an＋1， ∴a1＝1，Sn＝Sn－1＋an＝Sn－1＋2－1， ∴Sn－1＝(－1)2， ∴－＝1， ∴＝1＋n－1＝n，∴Sn＝

22、n2， ∴an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1， 當n＝1時，2n－1＝1＝a1，∴an＝2n－1. (2)bn＝＝＝n＋1， ∴＝＝－， ∴Tn＝－＋－＋…＋－＝－＝. (3)Tn≤λbn＋1對一切n∈N*恒成立， ∴≤λ(n＋2)， ∴λ≥＝×恒成立， ∵×≤×＝， 當且僅當n＝2時取等號，故實數(shù)λ的最小值為. B組題 1．設曲線y＝xn＋1(n∈N*)在點(2，2n＋1)處的切線與x軸交點的橫坐標為an，則數(shù)列{(n＋1)an}的前n項和為(　　) A．n2－1 B．n2＋1 C．n2－nD．n2＋n 【解析】y＝xn＋1，則y′＝(n＋1)

23、xn，所以曲線y＝xn＋1(n∈N*)在點(2，2n＋1)處的切線斜率為(n＋1)2n，則切線方程為y＝(n＋1)2n(x－2)＋2n＋1，即y＝(n＋1)2nx－n·2n＋1.令y＝0，可得x＝，所以an＝，則(n＋1)an＝2n，所以數(shù)列{(n＋1)an}是以2為首項，2為公差的等差數(shù)列，則其前n項和為×n＝n2＋n. 【答案】D 2．設等比數(shù)列{an}滿足公比q∈N*，an∈N*，且{an}中的任意兩項之積也是該數(shù)列中的一項，若a1＝281，則q的所有可能取值的集合為________． 【解析】根據(jù)題意得對任意n1，n2∈N*有n∈N*，使an＝an1an2281qn－1＝281

24、qn1－1·281qn2－1，即q＝2，因為q∈N*，所以是正整數(shù)1、3、9、27、81，q的所有可能取值的集合為{2，23，29，227，281}． 【答案】{2，23，29，227，281} 3．已知正項等比數(shù)列{an}的公比q>1，且滿足a2＝6, a1a3＋2a2a4＋a3a5＝900，設數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若不等式λan≤1＋Sn對一切n∈N*恒成立，則實數(shù)λ的最大值為________． 【解析】由等比數(shù)列的性質(zhì)可得a＋2a2a4＋a＝900，即a2＋a4＝30，再結(jié)合a2＝6可得a4＝24，則公比q＝＝2，所以an＝6·2n－2＝3·2n－1，Sn＝＝3·2n－3，

25、故原不等式可化為3λ·2n－1≤3·2n－2，即λ≤2－，又因為F＝2－≥2－＝，所以λ≤. 【答案】 4．已知正項數(shù)列{an}的前n項和為Sn，對任意n∈N*，點都在函數(shù)f＝x2＋x的圖象上． (1)求數(shù)列{an}的首項a1和通項公式an； (2)若數(shù)列滿足log2bn＝n＋log2，求數(shù)列的前n項和Tn； (3)已知數(shù)列滿足cn＝－.若對任意n∈N*，存在x0∈，使得c1＋c2＋…＋cn≤f(x)－a成立，求實數(shù)a的取值范圍． 【解析】(1)由題知，當n＝1時，S1＝a＋a1，所以a1＝1. Sn＝a＋an，所以Sn＋1＝a＋an＋1，兩式相減得到 (an＋1＋an)(an

26、＋1－an－1)＝0， 因為正項數(shù)列{an}，所以an＋1－an＝1， 數(shù)列{an}是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，所以an＝n. (2)由(1)知an＝n，所以bn＝(2n－1)·2n，n∈N*， 因此Tn＝1×21＋3×22＋…＋(2n－1)×2n，① 2Tn＝1×22＋3×23＋…＋(2n－1)×2n＋1，② 由①－②得到－Tn＝1×2＋2×22＋2×23＋…＋2×2n－(2n－1)×2n＋1 ＝2＋2×－(2n－1)×2n＋1 ＝－6＋(3－2n)×2n＋1 所以Tn＝6＋(2n－3)×2n＋1. (3)由(2)知Tn＝6＋×2n＋1， 所以cn＝－＝－ ＝－. 令Mn為的前n項和，易得Mn＝－. 因為c1＝0，c2>0，c3>0，c4>0，當n≥5時， cn＝， 而－＝>0， 得到≤<1，所以當n≥5時，cn<0， 所以Mn≤M4＝－＝－. 又x∈，f－a＝x2＋x－a的最大值為－a. 因為對任意的n∈N*，存在x0∈， 使得Mn≤f－a成立． 所以－≤－a，由此a≤. 18