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1、第44講 直線與圓 圓與圓的位置關(guān)系 1.“-33

2、.過點P(3,1)的直線l與圓C:(x-2)2+(y-2)2=9相交于A,B兩點,當弦AB的長取得最小值時,直線l的傾斜角等于　　　　. ? 5.[2018·北京交大附中模擬] 已知圓C:x2+y2-4x=0與直線y=x+b相交于M,N兩點,且滿足CM⊥CN(C為圓心),則實數(shù)b的值為　　　　.? 6.若直線l:xsinθ+2ycosθ=1與圓C:x2+y2=1相切,則直線l的方程為 (　　) A.x=1 B.x=±1 C.y=1 D.y=±1 7.[2018·大同模擬] 若PQ是圓x2+y2=9的弦,且PQ的中點是(1,2),則直線PQ的方程是 (　　) A.x+2y-5

3、=0 B.x+2y-3=0 C.2x-y+4=0 D.2x-y=0 8.若直線2ax-by+2=0(a>0,b>0)被圓x2+y2+2x-4y+1=0截得的弦長為4,則a2+b2的最小值為 (　　) A.14 B.12 C.32 D.2 9.[2018·湖南十四校二聯(lián)] 已知直線x-2y+a=0與圓O:x2+y2=2相交于A,B兩點(O為坐標原點),且△AOB為等腰直角三角形,則實數(shù)a的值為 (　　) A.6或-6 B.5或-5 C.6 D.5 10.若圓(x-3)2+(y+5)2=r2上有且只有兩個點到直線4x-3y=2的距離等于1,則半徑r的取值范圍是 (　　

4、) A.(4,6) B.(4,6] C.[4,6) D.[4,6] 11.[2018·廣東茂名模擬] 從原點O向圓C:x2+y2-12y+27=0作兩條切線,則該圓被兩切點所分的劣弧與優(yōu)弧之比為　　　　.? 12.[2018·安徽淮南一模] 過動點P作圓(x-3)2+(y-4)2=1的切線PQ,其中Q為切點,若|PQ|=|PO|(O為坐標原點),則|PQ|的最小值是　　　　.? 13.[2018·山東鄒平模擬] 一個圓的圓心C在直線x-y-1=0上,圓C與直線4x+3y+14=0相切,且在直線3x+4y+10=0上截得的弦長為6. (1)求圓C的方程; (2)過點(7,7)作

5、圓C的切線,求切線的方程. 14.如圖K44-1所示,在平面直角坐標系xOy中,已知圓C:x2+y2-4x=0及點A(-1,0),B(1,2). (1)若直線l平行于AB,與圓C相交于M,N兩點,且|MN|=|AB|,求直線l的方程. (2)在圓C上是否存在點P,使得|PA|2+|PB|2=12?若存在,求出點P的個數(shù);若不存在,說明理由. 圖K44-1 15.[2018·四川綿陽三診] 已知圓C1:x2+y2=r2(r>0),圓C2:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)交于不同的A(x1,y1),B(x2,y2)兩點,給出下

6、列結(jié)論:①a(x1-x2)+b(y1-y2)=0;②2ax1+2by1=a2+b2;③x1+x2=a,y1+y2=b.其中正確結(jié)論的個數(shù)是 (　　) A.0 B.1 C.2 D.3 16.[2018·安徽合肥二模] 為保護環(huán)境,建設(shè)美麗鄉(xiāng)村,某鎮(zhèn)政府決定為A,B,C三個自然村建造一座垃圾處理站,集中處理A,B,C三個自然村的垃圾,受當?shù)貤l件限制,垃圾處理站M只能建在與A村相距5km,且與C村相距31km的地方.已知B村在A村的正東方向,相距3km,C村在B村的正北方向,相距33km,則垃圾處理站M與B村相距　　　　km.? 7 課時作業(yè)(四十四) 1.A　[解析]

7、圓x2+y2-2x=0的圓心坐標為(1,0),半徑r=1,若直線y=k(x+1)與圓x2+y2-2x=0有公共點,則圓心(1,0)到直線y=k(x+1)的距離d=|k-0+k|k2+1≤1,解得-33≤k≤33,所以“-33

8、為C2(2,-2),半徑r2=1,因為兩圓的圓心距d=|C1C2|=22+(-2)2=22,又r1+r2=2,所以d>r1+r2,所以兩圓的位置關(guān)系為相離,故選A. 4.π4　[解析] 易知當弦AB⊥PC(C為圓心)時,弦AB的長取得最小值.因為PC的斜率kCP=1-23-2=-1,所以直線l的斜率k=1,故直線l的傾斜角等于π4. 5.0或-4　[解析]x2+y2-4x=0可化為(x-2)2+y2=4,則圓心C的坐標為(2,0),半徑為2.∵CM⊥CN,∴圓心C到直線的距離d=|2+b|2=2,解得b=0或b=-4. 6.B　[解析] 由題知,圓心為C(0,0),半徑r=1,由直線l與

9、圓C相切,得圓心C到直線l的距離d=|-1|sin2θ+4cos2θ=1,解得cosθ=0,sinθ=±1,則直線l的方程為x=±1,故選B. 7.A　[解析] 方法一:設(shè)O(0,0),A(1,2),由題知,直線PQ與直線OA垂直,且過點A(1,2),故直線PQ的方程是y-2=-12(x-1),整理得x+2y-5=0. 方法二:易知直線PQ的斜率存在,設(shè)直線PQ的方程為y=kx+b,由x2+y2=9,y=kx+b,整理得(1+k2)x2+2kbx+b2-9=0,則Δ=(2kb)2-4(1+k2)(b2-9)=4(9k2+9-b2)>0.設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),則x1+x2=-

10、2kb1+k2=2,y1+y2=k(x1+x2)+2b=4,得k=-12,滿足條件.故直線PQ的方程是y-2=-12(x-1),即x+2y-5=0.故選A. 8.B　[解析] 圓x2+y2+2x-4y+1=0的標準方程為(x+1)2+(y-2)2=4,則圓心坐標為(-1,2),半徑r=2.由直線被圓截得的弦長為4,得直線2ax-by+2=0經(jīng)過圓心,則-2a-2b+2=0,即a+b=1(a>0,b>0),∴a2+b2=(a+b)2-2ab≥1-2a+b22=1-12=12,當且僅當a=b=12時,a2+b2取得最小值,最小值為12.故選B. 9.B　[解析]∵直線x-2y+a=0與圓O:x

11、2+y2=2相交于A,B兩點(O為坐標原點),且△AOB為等腰直角三角形,∴點O到直線AB的距離為|a|12+22=1,解得a=±5,故選B. 10.A　[解析] 由圓的標準方程得圓心坐標為(3,-5),則圓心到直線4x-3y=2的距離為|12-3×(-5)-2|16+9=255=5.若圓(x-3)2+(y+5)2=r2上有且只有兩個點到直線4x-3y=2的距離等于1,則|5-r|<1,解得 4

12、∠CBO=∠CAO=90°,且AC=BC=3,OC=6,則有∠ACB=∠ACO+∠BCO=60°+60°=120°,所以該圓被兩切點所分的劣弧與優(yōu)弧之比為1∶2. 12.125　[解析] 設(shè)點P(x,y),則x2+y2=(x-3)2+(y-4)2-1,即3x+4y=12,所以點P的運動軌跡是直線3x+4y=12,所以圓心(3,4)到該直線的最短距離為135,則|PQ|min=(135)?2-1=125. 13.解:(1)由圓心C在直線x-y-1=0上,可設(shè)圓心C的坐標為(a,a-1),半徑為r,由題意可得|4a+3(a-1)+14|5=r,r2=9+3a+4(a-1)+1052,解得a=2

13、,r=5, 所以圓C的方程為(x-2)2+(y-1)2=25. (2)由題知,點(7,7)在圓C的外部,∴x=7是一條切線,設(shè)另一條切線的方程為y-7=k(x-7),即kx-y+7-7k=0,∴5=|2k-1+7-7k|k2+1=|6-5k|k2+1,解得k=1160, ∴切線的方程為x=7或11x-60y+343=0. 14.解:(1)圓C的標準方程為(x-2)2+y2=4,所以圓心為C(2,0),半徑為2. 因為直線l∥AB,A(-1,0),B(1,2),所以直線l的斜率為2-01-(-1)=1, 設(shè)直線l的方程為x-y+m=0, 則圓心C到直線l的距離d=|2-0+m|2=

14、|2+m|2. 因為|MN|=|AB|=22+22=22, 又|CM|2=d2+|MN|22,所以4=(2+m)22+2,解得m=0或m=-4, 故直線l的方程為x-y=0或x-y-4=0. (2)假設(shè)圓C上存在滿足條件的點P,設(shè)P(x,y),則|PA|2+|PB|2=(x+1)2+(y-0)2+(x-1)2+(y-2)2=12, 化簡得x2+y2-2y-3=0,即x2+(y-1)2=4, 因為|2-2|<(2-0)2+(0-1)2<2+2, 所以圓(x-2)2+y2=4與圓x2+(y-1)2=4相交, 所以滿足條件的點P的個數(shù)為2. 15.D　[解析] 由題意得,兩圓的公共

15、弦所在直線的方程為2ax+2by-a2-b2=0,所以2ax1+2by1-a2-b2=0,②正確;又2ax2+2by2-a2-b2=0,所以a(x1-x2)+b(y1-y2)=0,①正確;線段AB的中點在直線C1C2上,直線AB:2ax+2by-a2-b2=0,C1C2:bx-ay=0,由2ax+2by-a2-b2=0,bx-ay=0,解得x=a2,y=b2,故有x1+x2=a,y1+y2=b,③正確.故選D. 16.2或7　[解析] 以A為坐標原點,AB所在直線為x軸建立平面直角坐標系,則A(0,0),B(3,0),C(3,33).由題意得,處理站M在以A(0,0)為圓心,半徑為5的圓A上,同時又在以C(3,33)為圓心,半徑為31的圓C上,兩圓的方程分別為x2+y2=25和(x-3)2+(y-33)2=31.由x2+y2=25,(x-3)2+(y-33)2=31,解得x=5,y=0或x=-52,y=532,∴垃圾處理站M的坐標為(5,0)或-52,532,∴|MB|=2或|MB|=(-52-3)?2+(532)?2=7,即垃圾處理站M與B村相距2km或7km.