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第十六章　二次根式 16．1　二次根式 第1課時　二次根式的概念和性質(zhì) 1．二次根式的概念和應(yīng)用． 2．二次根式的非負(fù)性． 重點(diǎn) 二次根式的概念． 難點(diǎn) 二次根式的非負(fù)性． 一、情景導(dǎo)入 師：(多媒體展示)請同學(xué)們看屏幕，這是東方明珠電視塔． 電視節(jié)目信號的傳播半徑r/km與電視塔高h(yuǎn)/km之間有近似關(guān)系r＝(R為地球半徑)．如果兩個電視塔的高分別為h1 km，h2 km，那么它們的傳播半徑之比為多少？同學(xué)們能化簡這個式子嗎？ 由學(xué)生計算、討論后得出結(jié)果，并提問． 生：半徑之比為，暫時我們還不會對它進(jìn)行化簡． 師：那么怎么去化簡它呢？這要用到二次根式的運(yùn)算和化簡．如何進(jìn)行二次根式的運(yùn)算？如何進(jìn)行二次根式的化簡？這將是本章所學(xué)的主要內(nèi)容． 二、新課教授 活動1：知識遷移，歸納概念 (多媒體演示)用含根號的式子填空． (1)17的算術(shù)平方根是________； (2)如圖，要做一個兩條直角邊長分別為7 cm和4 cm的三角形，斜邊長應(yīng)為________cm； (3)一個長方形的圍欄，長是寬的2倍，面積為130 m2，則它的寬為________m； (4)面積為3的正方形的邊長為________，面積為a的正方形的邊長為____________； (5)一個物體從高處自由落下，落到地面所用的時間t(單位：s)與開始落下時的高度h(單位：m)滿足關(guān)系h＝5t2.如果用含有h的式子表示t，則t＝________． 【答案】(1)　(2)　(3)　(4)　 (5) 活動2：二次根式的非負(fù)性 (多媒體展示) (1)式子表示的實(shí)際意義是什么？被開方數(shù)a滿足什么條件時，式子才有意義？ (2)當(dāng)a＞0時，________0；當(dāng)a＝0時，________0；二次根式是一個________． 【答案】(1)a的算術(shù)平方根，被開方數(shù)a必須是非負(fù)數(shù)　(2)＞　＝　非負(fù)數(shù) 老師結(jié)合學(xué)生的回答，強(qiáng)調(diào)二次根式的非負(fù)性． 當(dāng)a＞0時，表示a的算術(shù)平方根，因此＞0； 當(dāng)a＝0時，表示0的算術(shù)平方根，因此＝0. 也就是說，當(dāng)a≥0時，≥0. 三、例題講解 【例】當(dāng)x是怎樣的實(shí)數(shù)時，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？ 解：由x－2≥0，得x≥2. 所以當(dāng)x≥2時，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義． 四、鞏固練習(xí) 1．已知＋＝0，求－a2b的值． 【答案】≥0，≥0，又∵它們的和為0，∴a－2＝0且b＋＝0，解得a＝2，b＝－. ∴－a2b＝－22(－)＝2. 2．若x，y使＋－y＝3有意義，求2x＋y的值． 【答案】－1 五、課堂小結(jié) 1．本節(jié)課主要學(xué)習(xí)了二次根式的概念．形如(a≥0)的式子叫做二次根式，“”稱為二次根號． 2．二次根式的被開方數(shù)必須是什么數(shù)才有意義？(a≥0)又是什么數(shù)？ 1．本節(jié)課的教學(xué)過程中，通過創(chuàng)設(shè)情境，給出實(shí)例，學(xué)生積極主動探索，教師引導(dǎo)與啟發(fā)，師生互動，體現(xiàn)教師的組織者、引導(dǎo)者與合作者地位． 2．注重知識之間的銜接，在溫故知新的過程中引出新知，講練結(jié)合旨在鞏固學(xué)生對新知的理解．　　　　　　　　　　 第2課時　二次根式的化簡 1．理解()2＝a(a≥0)，并能利用它進(jìn)行計算和化簡． 2．通過具體數(shù)據(jù)的解答，探究＝a(a≥0)，并利用這個結(jié)論解決具體問題． 重點(diǎn) 理解并掌握()2＝a(a≥0)，＝a(a≥0)以及它們的運(yùn)用． 難點(diǎn) 探究結(jié)論． 一、復(fù)習(xí)導(dǎo)入 教師復(fù)習(xí)口述上節(jié)課的重要內(nèi)容，并板書： 1．形如(a≥0)的式子叫做二次根式． 2.(a≥0)是一個非負(fù)數(shù)． 那么，當(dāng)a≥0時，()2等于什么呢？下面我們一起來探究這個問題． 二、新課教授 活動1： (多媒體演示)根據(jù)算術(shù)平方根的意義填空： ()2＝________；()2＝________； ()2＝________；()2＝________； ()2＝________；()2＝________． 由學(xué)生計算、討論得出結(jié)果，并提問部分過程，教師進(jìn)行點(diǎn)評． 老師點(diǎn)評： 是4的算術(shù)平方根，根據(jù)算術(shù)平方根的意義，是一個平方等于4的非負(fù)數(shù)，因此()2＝4. 同理：()2＝2；()2＝；()2＝；()2＝0.01；()2＝0. 所以歸納出：()2＝a(a≥0)． 【例1】教材第3頁例2 活動2： (多媒體展示)填空： ＝________；＝________； ＝________；＝________； ＝________；＝________． 教師點(diǎn)評： 根據(jù)算術(shù)平方根的意義，我們可以得到： ＝2；＝0.1；＝； ＝；＝2；＝0. 所以歸納出：＝a(a≥0)． 【例2】教材第4頁例3 教師點(diǎn)評： 當(dāng)a≥0時，＝a； 當(dāng)a≤0時，＝－a. 三、課堂小結(jié) 本節(jié)課應(yīng)理解并掌握()2＝a(a≥0)和＝a(a≥0)及其運(yùn)用，同時應(yīng)理解＝－a(a≤0)． 1．注意前后知識之間的聯(lián)系，在復(fù)習(xí)舊知的過程中導(dǎo)入本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容．按照由特殊到一般的規(guī)律，降低學(xué)生理解的難度． 2．在總結(jié)二次根式性質(zhì)的過程中，由學(xué)生經(jīng)過觀察、分析的過程，讓學(xué)生在交流活動中體會成功． 　　　　　　　　　　　　　　　　16.2　二次根式的乘除 第1課時　二次根式的乘法 理解并掌握＝(a≥0，b≥0)，＝(a≥0，b≥0)，會利用它們進(jìn)行計算和化簡． 重點(diǎn) ＝(a≥0，b≥0)，＝(a≥0，b≥0)及它們的運(yùn)用． 難點(diǎn) 利用逆向思維，導(dǎo)出＝(a≥0，b≥0)． 一、創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課 活動1：發(fā)現(xiàn)探究 (多媒體展示)填空： (1)＝________________________________________________________________________， ＝________________________________________________________________________； (2)＝________________________________________________________________________， ＝________________________________________________________________________； (3)＝________________________________________________________________________， ＝________________________________________________________________________； (4)＝________________________________________________________________________， ＝________________________________________________________________________. 生：(1)＝6，＝6；(2)＝20，＝20；(3)＝2，＝2；(4)＝0，＝0. 試一試，參考上面的結(jié)果，比較四組等式的大小關(guān)系． 生：上面各組中兩個算式的結(jié)果相等． 二、新課教授 活動2：總結(jié)規(guī)律 結(jié)合剛才的計算，學(xué)生分組討論，教師提問部分學(xué)生，最后教師綜合學(xué)生的答案，加以點(diǎn)評，歸納出二次根式的乘法法則． 教師點(diǎn)評： 1．被開方數(shù)都是非負(fù)數(shù)． 2．兩個非負(fù)數(shù)算術(shù)平方根的積等于它們積的算術(shù)平方根． 一般地，二次根式的乘法法則為： ＝(a≥0，b≥0) 由等式的對稱性，反過來： ＝(a≥0，b≥0) 活動3：講練結(jié)合 教材第6～7頁例題 三、鞏固練習(xí) 完成課本第7頁的練習(xí)． 【答案】 課本練習(xí)第1題：(1)；(2)6；(3)2；(4)2. 第2題：(1)77；(2)15；(3)2；(4)4bc. 第3題：4. 四、課堂小結(jié) 本節(jié)課應(yīng)掌握：＝(a≥0，b≥0)，＝(a≥0，b≥0)及其應(yīng)用． 1．創(chuàng)設(shè)情境，給出實(shí)例．學(xué)生積極主動探索，教師引導(dǎo)啟發(fā)，按照由特殊到一般的規(guī)律，降低學(xué)生理解的難度． 2．在二次根式乘法法則的形成過程中，由學(xué)生大膽猜測，經(jīng)過思考、分析、討論的過程，讓學(xué)生在交流中體會成功．　　　　　　　　　　　　　　　　　　第2課時　二次根式的除法 理解＝(a≥0，b＞0)和＝(a≥0，b＞0)，會利用它們進(jìn)行計算和化簡． 重點(diǎn) 理解并掌握＝(a≥0，b＞0)，＝(a≥0，b＞0)，利用它們進(jìn)行計算和化簡． 難點(diǎn) 歸納二次根式的除法法則． 一、復(fù)習(xí)導(dǎo)入 活動1： 1．由學(xué)生回答二次根式的乘法法則及逆向等式． 2．填空(多媒體展示)． (1)＝________，＝________； (2)＝________，＝________； (3)＝________，＝________； (4)＝________，＝________． 二、新課教授 活動2： 先由學(xué)生對上面的結(jié)果進(jìn)行比較，觀察每組兩個算式結(jié)果的大小關(guān)系，并總結(jié)規(guī)律． 教師點(diǎn)評： 一個非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根除以一個正數(shù)的算術(shù)平方根，等于它們商的算術(shù)平方根． 一般地，二次根式的除法法則是： ＝(a≥0，b＞0) 由等式的對稱性，反過來： ＝(a≥0，b＞0) 【例】教材第8～9頁例題 三、鞏固練習(xí) 課本第10頁練習(xí)第1題． 【答案】(1)3　(2)2　(3)　(4)2a 四、課堂小結(jié) 本節(jié)課應(yīng)掌握＝(a≥0，b＞0)和＝ (a≥0，b＞0)及其應(yīng)用． 1．創(chuàng)設(shè)情境，復(fù)習(xí)二次根式的乘法，旨在類比學(xué)習(xí)二次根式的除法，培養(yǎng)學(xué)生繼續(xù)探究的興趣． 2．二次根式除法的學(xué)習(xí)過程，按照由特殊到一般的規(guī)律，由學(xué)生經(jīng)歷思考、討論、分析的過程，讓學(xué)生大膽猜測，使學(xué)生在交流中體會成功． 　　　　　　　　　　　　　　　　第3課時　最簡二次根式 最簡二次根式的概念、利用最簡二次根式的概念和性質(zhì)進(jìn)行二次根式的化簡和運(yùn)算． 重點(diǎn) 最簡二次根式的運(yùn)用． 難點(diǎn) 會判斷這個二次根式是否是最簡二次根式． 一、復(fù)習(xí)導(dǎo)入 (學(xué)習(xí)活動)請同學(xué)們完成下列各題．(請四位同學(xué)上臺板書) 計算：(1)；(2)；(3)；(4). 教師點(diǎn)評： (1)＝；(2)＝；(3)＝；(4)＝. 二、新課教授 教師點(diǎn)評：上面這些式子的結(jié)果具有如下兩個特點(diǎn)： 1．被開方數(shù)不含分母． 2．被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式． 師：我們把滿足上述兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式．(教師板書) 教師強(qiáng)調(diào)：在二次根式的運(yùn)算中，一般要把最后結(jié)果化為最簡二次根式． 【例1】判斷下列式子是不是最簡二次根式，為什么？ (1)3xy；(2)25a；(3)；(4). 解：(1)被開方數(shù)中有因數(shù)，因此它不是最簡二次根式；(2)被開方數(shù)中有開得盡方的因式a2，因此它不是最簡二次根式；(3)被開方數(shù)中有分母，因此它不是最簡二次根式；(4)被開方數(shù)中有因數(shù)0.2，它不是整數(shù)，所以它不是最簡二次根式． 【例2】化簡： (1)；(2)(x≥0)；(3)(ab≥0)． 解：(1)＝＝＝； (2)＝＝2xy； (3)＝＝ab. 【例3】教材第9頁例7 三、課堂小結(jié) 1．本節(jié)課應(yīng)掌握最簡二次根式的特點(diǎn)及其運(yùn)用． 2．二次根式的運(yùn)算結(jié)果要化為最簡二次根式． 1．注重知識的前后聯(lián)系，溫故而知新．讓學(xué)生積極主動地探索，教師引導(dǎo)和啟發(fā)，使學(xué)生在經(jīng)過思考、討論和分析的過程后，獲得新知，體會學(xué)習(xí)的樂趣． 2．前兩個例題旨在加強(qiáng)對最簡二次根式的理解，第三個例題讓學(xué)生靈活運(yùn)用二次根式解決實(shí)際問題． 　　　　　　　　　　　　　　　　16.3　二次根式的加減 第1課時　二次根式的加減 理解并掌握二次根式加減的方法，并能用二次根式加減法法則進(jìn)行二次根式的加減運(yùn)算． 重點(diǎn) 理解并掌握二次根式加減計算的方法． 難點(diǎn) 二次根式的化簡、合并被開方數(shù)相同的最簡二次根式． 一、復(fù)習(xí)導(dǎo)入 (學(xué)生活動) 1．計算： (1)x＋2x；(2)3a－2a＋4a；(3)2x2－3x2＋5x2；(4)2a2－4a2＋3a. 2．教師點(diǎn)評：上面的運(yùn)算實(shí)際上就是以前所學(xué)習(xí)的合并同類項(xiàng)，合并同類項(xiàng)就是字母連同指數(shù)不變，系數(shù)相加減． 二、新課教授 (學(xué)生活動) 1．類比計算，說明理由． (1)＋2；(2)3－2＋4； (3)3＋；(4)2－3＋. 2．教師點(diǎn)評： (1)＋2＝(1＋2)＝3； (2)3－2＋4＝(3－2＋4)＝5＝10； (3)雖然表面上與的被開方數(shù)不同，不能當(dāng)作被開方數(shù)相同，但可化為2，3＋＝3＋2＝(3＋2)＝5； (4)同樣可化為2， 2－3＋＝2－3＋2＝(2－3＋2)＝. 所以在用二次根式進(jìn)行加減運(yùn)算時，如果被開方數(shù)相同則可以進(jìn)行合并，因此可將二次根式先化為最簡二次根式，比較被開方數(shù)是否相同． 因此可得：二次根式加減時，可以先將二次根式化成最簡二次根式，再將被開方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合并． 【例1】教材第13頁例1 【例2】教材第13頁例2 三、鞏固練習(xí) 教材第13頁練習(xí)第1，2題． 【答案】第1題：(1)不正確，兩邊不相等；(2)不正確，兩邊不相等；(3)正確． 第2題：(1)－4；(2)3；(3)10－3；(4)3＋. 四、課堂小結(jié) 本節(jié)課應(yīng)掌握進(jìn)行二次根式加減運(yùn)算時，先把不是最簡二次根式的化成最簡二次根式，再把相同被開方數(shù)的最簡二次根式進(jìn)行合并． 1．創(chuàng)設(shè)情境，給出實(shí)例．由學(xué)生主動參與，經(jīng)過思考、討論、分析的過程，老師加以啟發(fā)和引導(dǎo)，類比得出二次根式的加減運(yùn)算法則． 2．兩個例題，旨在幫助學(xué)生理解并掌握二次根式的加減運(yùn)算法則．尤其是例2，要按照兩個步驟進(jìn)行計算，培養(yǎng)了學(xué)生利用概念、法則進(jìn)行計算和化簡的嚴(yán)謹(jǐn)態(tài)度和科學(xué)精神． 　　　　　　　　　　　　　　　　第2課時　二次根式的加減乘除混合運(yùn)算 含有二次根式的式子進(jìn)行加減乘除混合運(yùn)算和含有二次根式的多項(xiàng)式乘法公式的應(yīng)用． 重點(diǎn) 二次根式的加減乘除混合運(yùn)算． 難點(diǎn) 由整式運(yùn)算知識遷移到含二次根式的運(yùn)算． 一、復(fù)習(xí)導(dǎo)入 (學(xué)生活動)：請同學(xué)們完成下列各題． 計算： (1)(3x2＋2x＋2)4x； (2)(4x2－2xy)(－2xy)； (3)(3a＋2b)(3a－2b)； (4)(2x＋1)2＋(2x－1)2. 二、新課教授 由于整式運(yùn)算中的x，y，a，b是字母，它的意義十分廣泛，可以代表一切，當(dāng)然也可以代表二次根式，因此整式中的運(yùn)算規(guī)律也適用于二次根式，下面我們就使用這些規(guī)律來進(jìn)行計算． 【例1】計算： (1)(＋)； (2)(4－3)2. 分析：二次根式仍然滿足整式的運(yùn)算規(guī)律，所以可直接用整式的運(yùn)算規(guī)律． 解：(1)(＋)＝＋ ＝＋＝4＋3； (2)(4－3)2 ＝42－32＝2－. 【例2】計算： (1)(＋3)(－5)； (2)(＋)(－)； (3)(－)2. 分析：第(1)題可類比多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則來計算，第(2)題把當(dāng)作a，當(dāng)作b，就可以類比(a＋b)(a－b)＝a2－b2，第(3)題可類比(a－b)2＝a2－2ab＋b2來計算． 解：(1)(＋3)(－5) ＝()2＋3－5－15 ＝2＋3－5－15 ＝－13－2； (2)(＋)(－) ＝()2－()2＝5－3＝2； (3)(－)2 ＝()2－2＋()2 ＝5－2. 三、鞏固練習(xí) 教材第14頁練習(xí)第1，2題． 【答案】第1題：(1)＋；(2)4＋2；(3)11＋5；(4)4.第2題：(1)9；(2)a－b；(3)7＋4；(4)22－4. 四、課堂小結(jié) 本節(jié)課應(yīng)掌握利用整式運(yùn)算的規(guī)律進(jìn)行二次根式的乘除、乘方等運(yùn)算． 1．情境引入，復(fù)習(xí)整式運(yùn)算的知識，旨在遷移到利用乘法公式進(jìn)行含二次根式算式的運(yùn)算，培養(yǎng)學(xué)生繼續(xù)探究的興趣． 2．例題的設(shè)計，旨在幫助學(xué)生理解乘法公式在二次根式運(yùn)算中的應(yīng)用．