《（浙江專用）2020版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第八章 立體幾何 考點(diǎn)規(guī)范練40 空間向量及其運(yùn)算》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（浙江專用）2020版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第八章 立體幾何 考點(diǎn)規(guī)范練40 空間向量及其運(yùn)算（7頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、考點(diǎn)規(guī)范練40　空間向量及其運(yùn)算 基礎(chǔ)鞏固組 1.在下列命題中: ①若向量a,b共線,則向量a,b所在的直線平行; ②若向量a,b所在的直線為異面直線,則向量a,b一定不共面; ③若三個(gè)向量a,b,c兩兩共面,則向量a,b,c共面; ④已知空間的三個(gè)向量a,b,c,則對(duì)于空間的任意一個(gè)向量p總存在實(shí)數(shù)x,y,z,使得p=xa+yb+zc. 其中正確命題的個(gè)數(shù)是(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.0 B.1 C.2 D.3 答案A 解析a與b共線,a,b所在直線也可能重合,故①不正確;根據(jù)自由向量的意義知,空間任意兩向量a,b都共面,故②錯(cuò)誤;三個(gè)向量a,

2、b,c中的任兩個(gè)一定共面,但它們?nèi)齻€(gè)卻不一定共面,故③不正確;只有當(dāng)a,b,c不共面時(shí),空間任意一向量p才能表示為p=xa+yb+zc,故④不正確.綜上可知四個(gè)命題中正確的個(gè)數(shù)為0,故選A. 2.(2017浙江臺(tái)州統(tǒng)考)已知向量a=(2m+1,3,m-1),b=(2,m,-m),且a∥b,則實(shí)數(shù)m的值等于(　　) A.32 B.-2 C.0 D.32或-2 答案B 解析∵a∥b,∴2m+12=3m=m-1-m,解得m=-2. 3.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別為棱AA1和BB1的中點(diǎn),則sin的值為(　　) A.19 B.459 C.259 D.

3、23 答案B 解析如圖,設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2,則易得CM=(2,-2,1),D1N=(2,2,-1), ∴cos=CM·D1N|CM||D1N|　=-19,∴sin=1--192 =459. 4.已知在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中,A(1,0,1),B(4,4,6),C(2,2,3),D(10,14,17),則這四個(gè)點(diǎn)(　　) A.共線 B.共面 C.不共面 D.不能確定 答案B 解析易知AB=(3,4,5),AC=(1,2,2),AD=(9,14,16),設(shè)AD=xAB+yAC,則(9,14,16)=(3x+y,4x+2y,5x+2y), 即

4、9=3x+y,14=4x+2y,16=5x+2y,解得x=2,y=3, 即AD=2AB+3AC,從而A,B,C,D四點(diǎn)共面. 5.在四面體O-ABC中,點(diǎn)M在OA上,且OM=2MA,N為BC的中點(diǎn),若OG=13OA+x4OB+x4OC,則使點(diǎn)G與點(diǎn)M,N共線的x的值為(　　) A.1 B.2 C.23 D.43 答案A 解析ON=12(OB+OC),OM=23OA. 假設(shè)點(diǎn)G與點(diǎn)M,N共線,則存在實(shí)數(shù)λ使得OG=λON+(1-λ)OM=λ2(OB+OC)+2(1-λ)3OA, 與OG=13OA+x4OB+x4OC比較可得2(1-λ)3=13,λ2=x4,解得x=1.故選A. 6

5、. 如圖,在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,O為AC的中點(diǎn). 化簡(jiǎn)A1O-12AB-12AD=　　　　　.? 答案A1A 解析A1O-12AB-12AD=A1O-12(AB+AD)=A1O-AO=A1O+OA=A1A. 7.已知向量a=(2,4,x),b=(2,y,2),|a|=6,且a⊥b,則x+y=　　　　　.? 答案1或-3 解析∵a⊥b,∴a·b=4+4y+2x=0. 又|a|=6=4+16+x2, ∴x=4,y=-3,或x=-4,y=1. 故x+y=1或x+y=-3. 8.已知點(diǎn)O為空間直角坐標(biāo)系的原點(diǎn),向量OA=(1,2,3),OB=(2,1,2),O

6、P=(1,1,2),且點(diǎn)Q在直線OP上運(yùn)動(dòng),當(dāng)QA·QB取得最小值時(shí),OQ的坐標(biāo)是　　　　　.? 答案43,43,83 解析∵點(diǎn)Q在直線OP上,∴設(shè)點(diǎn)Q(λ,λ,2λ), 則QA=(1-λ,2-λ,3-2λ),QB=(2-λ,1-λ,2-2λ), QA·QB=(1-λ)(2-λ)+(2-λ)(1-λ)+(3-2λ)(2-2λ)=6λ2-16λ+10=6λ-432-23.即當(dāng)λ=43時(shí),QA·QB取得最小值-23.此時(shí)OQ=43,43,83. 能力提升組 9.已知向量a=(1-t,2t-1,0),b=(2,t,t),則|b-a|的最小值為(　　) A.5 B.6 C.2 D.3

7、答案C 解析∵a=(1-t,2t-1,0),b=(2,t,t), ∴|b-a|=(-1-t)2+(t-1)2+t2=3t2+2, 當(dāng)t=0時(shí),|b-a|取得最小值2.故選C. 10.已知空間四邊形ABCD的每條邊和對(duì)角線的長(zhǎng)都等于a,點(diǎn)E,F分別是BC,AD的中點(diǎn),則AE·AF的值為(　　) A.a2 B.12a2 C.14a2 D.34a2 答案 C 解析設(shè)AB=a,AC=b,AD=c, 則|a|=|b|=|c|=a,且a,b,c三向量?jī)蓛蓨A角為60°. AE=12(a+b),AF=12c, ∴AE·AF=12(a+b)·12c =14(a·c+b·c)=14(a

8、2cos60°+a2cos60°)=14a2. 11.正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2,O是底面ABCD的中心,E,F分別是CC1,AD的中點(diǎn),則異面直線OE與FD1所成角的余弦值為(　　) A.105 B.155 C.45 D.23 答案B 解析∵OE=12AC1=12(AB+AD+AA1),FD1=12AD+AA1,∴OE·FD1=12(AB+AD+AA1)·12AD+AA1 =1212AB·AD+AB·AA1+12AD2+AD·AA1+12AA1·AD+AA12=12(2+4)=3. 而|OE|=1222+22+22=3,|FD1|=5, ∴cos

9、1>=315=155.故選B. 12.若{a,b,c}是空間的一個(gè)基底,且向量p=xa+yb+zc,則(x,y,z)叫向量p在基底{a,b,c}下的坐標(biāo).已知{a,b,c}是空間的一個(gè)基底,{a+b,a-b,c}是空間的另一個(gè)基底,一向量p在基底{a,b,c}下的坐標(biāo)為(4,2,3),則向量p在基底{a+b,a-b,c}下的坐標(biāo)是(　　) A.(4,0,3) B.(3,1,3) C.(1,2,3) D.(2,1,3) 答案B 解析設(shè)p在基底{a+b,a-b,c}下的坐標(biāo)為x,y,z,則 p=x(a+b)+y(a-b)+zc=(x+y)a+(x-y)b+zc,① ∵p在{a,b,c

10、}下的坐標(biāo)為(4,2,3), ∴p=4a+2b+3c,② 由①②得x+y=4,x-y=2,z=3,∴x=3,y=1,z=3, 即p在{a+b,a-b,c}下的坐標(biāo)為(3,1,3). 13.已知e1,e2是空間單位向量,e1·e2=12.若空間向量b滿足b·e1=2,b·e2=52,且對(duì)于任意x,y∈R,|b-(xe1+ye2)|≥|b-(x0e1+y0e2)|=1(x0,y0∈R),則|b|為(　　) A.2 B.8 C.2 D.22 答案D 解析設(shè)e3為空間單位向量,且滿足e3⊥e2,e3⊥e1, ∵|b-(x0e1+y0e2)|=1,故設(shè)b=x0e1+y0e2+e3, ∵

11、b·e1=2,即(x0e1+y0e2+e3)·e1=2, 得x0+12y0=2.又∵b·e2=52,即(x0e1+y0e2+e3)·e2=52,得12x0+y0=52,解2x0+y0=4,x0+2y0=5得x0=1,y0=2,此時(shí),b=e1+2e2+e3,|b|=e12+4e22+e32+4e1·e2+2e2·e3+4e2·e3= 1+4+1+4×12+0+0=8=22. 14.如圖,在平行六面體ABCD-EFGH中,棱AB,AD,AE的長(zhǎng)分別為3,4,5,且∠EAD=∠EAB=∠DAB=120°,設(shè)AB=a,AD=b,AE=c,則用a,b,c表示AG=　　　　　;BH的長(zhǎng)為　　　　　.

12、? 答案a+b+c　57 解析因?yàn)锳G=AB+AD+AE=a+b+c, BH=AH-AB=AD+AE-AB=b+c-a, 所以|BH|=(b+c-a)2=57. 15.已知OA,OB,OC是空間兩兩垂直的單位向量,OP=xOA+yOB+zOC,且x+2y+4z=1,則|OP-OA-OB|的最小值為　　　　　.? 答案22121 解析根據(jù)題意可得 |OP-OA-OB|=(x-1)2+(y-1)2+z2=(2y+4z)2+(y-1)2+z2=5y2+17z2+16yz-2y+1 =17z+817y2+2117y-17212+1-1721 ≥421=22121. 16.

13、 如圖,四棱錐O-ABCD中,AC垂直平分BD,|OB|=2,|OD|=1,則(OA+OC)·(OB-OD)的值是　　　　　.? 答案3 解析如圖所示,四棱錐O-ABCD中,設(shè)AC,BD交于點(diǎn)E, 由題意AC⊥BD,DE=BE, 所以O(shè)B+OD=2OE,EA·DB=EC·DB. 又|OB|=2,|OD|=1, 所以(OA+OC)·(OB-OD)=(OE+EA+OE+EC)·(OB-OD) =(2OE+EA+EC)·(OB-OD) =2OE·(OB-OD)+(EA+EC)·DB =(OB+OD)·(OB-OD) =OB2-OD2=22-12=3. 17.已知空間三點(diǎn)A

14、(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5). (1)求以AB,AC為邊的平行四邊形的面積; (2)若|a|=3,且a分別與AB,AC垂直,求向量a的坐標(biāo). 解(1)由題意可得AB=(-2,-1,3),AC=(1,-3,2),所以cos=AB·AC|AB||AC|=-2+3+614×14=714=12. 所以sin=32, 所以以AB,AC為邊的平行四邊形的面積為 S=2×12|AB|·|AC|·sin=14×32=73. (2)設(shè)a=(x,y,z),由題意得x2+y2+z2=3,-2x-y+3z=0,x-3y+2z=0, 解

15、得x=1,y=1,z=1或x=-1,y=-1,z=-1. 所以向量a的坐標(biāo)為(1,1,1)或(-1,-1,-1). 18.(2018浙江嘉興)已知∠BOD=120°,OC是∠BOD的平分線,沿OC將∠DOC翻折到∠AOC的位置,使得∠AOB=60°(如圖),設(shè)OA=OB=OC=1,記OA=a,OB=b,OC=c,BC的中點(diǎn)為M, (1)試用a,b,c表示AC和OM; (2)求異面直線AC與OM所成角的余弦值. 解(1)由題意知AC=OC-OA=c-a, ∵BM=12BC=12(OC-OB)=c-b2, ∴OM=OB+BM=b+c-b2=b+c2. (2)∵|a|=|b|=|c|=1,a·b=a·c=b·c=12, ∴|AC|=|c-a|=c2-2c·a+a2=1,|OM|=b+c2=12b2+2b·c+c2=32,AC·OM=(c-a)·b+c2=12(c2+b·c-a·b-a·c)=14. 設(shè)AC,OM的夾角為θ,則cosθ=AC·OM|AC||OM|=36. 故異面直線AC與OM所成角的余弦值為36. 7