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2020屆高考數(shù)學一輪復習 綜合檢測二(標準卷)文(含解析) 新人教A版

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1、綜合檢測二(標準卷) 考生注意: 1.本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分,共4頁. 2.答卷前,考生務(wù)必用藍、黑色字跡的鋼筆或圓珠筆將自己的姓名、班級、學號填寫在相應(yīng)位置上. 3.本次考試時間120分鐘,滿分150分. 4.請在密封線內(nèi)作答,保持試卷清潔完整. 第Ⅰ卷(選擇題 共60分) 一、選擇題(本題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的) 1.已知集合A={1,2,3,4},B={x|x=2n,n∈A},則A∩B等于(  ) A.{1,4}B.{2,3}C.{2,4}D.{1,2} 答案 C 解析 把n=

2、1,2,3,4分別代入x=2n,得x=2,4,6,8,即B={2,4,6,8}, ∵A={1,2,3,4}, ∴A∩B={2,4}. 2.設(shè)i是虛數(shù)單位,若復數(shù)z=,則等于(  ) A.-i B.1+i C.1-i D.+i 答案 A 解析 ∵復數(shù)z=,∴z===+, ∴=-. 3.設(shè)變量x,y滿足約束條件,則z=2x-y的最小值為(  ) A.-3B.-2C.-1D.2 答案 B 解析 繪制不等式組表示的可行域(陰影部分包含邊界),結(jié)合目標函數(shù)可得,目標函數(shù)在點A(-1,0) 處取得最小值z=2x-y=-2. 4.如圖,在△OAB中,P為線段AB上的一點,=x+

3、y,且=2,則(  ) A.x=,y= B.x=,y= C.x=,y= D.x=,y= 答案 A 解析 由題可知=+,又=2,所以=+B=+(-)=O+,所以x=,y=,故選A. 5.在一次歌手大獎賽上,七位評委為某歌手打出的分數(shù)如下: 9.4  8.4  9.4  9.9  9.6  9.4  9.7 去掉一個最高分和一個最低分后,所剩數(shù)據(jù)的平均值和方差分別為(  ) A.9.4,0.484 B.9.4,0.016 C.9.5,0.040 D.9.5,0.016 答案 D 解析 根據(jù)平均值和方差的計算公式知,=(9.4+9.4+9.6+9.4+9.7)=9.5;s2

4、=[3×(9.4-9.5)2+(9.6-9.5)2+(9.7-9.5)2]=0.016.故選D. 6.閱讀如圖所示的程序框圖,運行相應(yīng)的程序,則輸出的S值為(  ) A.15B.37C.83D.177 答案 B 解析 執(zhí)行程序,可得 S=0,i=1,不符合,返回循環(huán); S=2×0+1=1,i=3,不符合,返回循環(huán); S=2×1+3=5,i=5,不符合,返回循環(huán); S=2×5+5=15,i=7,不符合,返回循環(huán); S=2×15+7=37,i=9,符合,輸出S=37. 故選B. 7.在公比為q的正項等比數(shù)列{an}中,a4=1,則當2a2+a6取得最小值時,log2q等于

5、(  ) A.B.-C.D.- 答案 A 解析 2a2+a6≥2=2=2,當且僅當q4=2時取等號,所以log2q==,故選A. 8.三世紀中期,魏晉時期的數(shù)學家劉徽首創(chuàng)割圓術(shù),為計算圓周率建立了嚴密的理論和完善的算法.所謂割圓術(shù),就是不斷倍增圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)求出圓周率的方法.如圖是劉徽利用正六邊形計算圓周率時所畫的示意圖,現(xiàn)向圓中隨機投擲一個點,則該點落在正六邊形內(nèi)的概率為(  ) A.B.C.D. 答案 A 解析 設(shè)圓的半徑為r,則圓的面積S圓=πr2,正六邊形的面積S正六邊形=6××r2×sin60°=r2,所以向圓中隨機投擲一個點,該點落在正六邊形內(nèi)的概率P===

6、,故選A. 9.已知某幾何體的三視圖如圖所示,俯視圖是由邊長為2的正方形和半徑為1的半圓組成,則該幾何體的體積為(  ) A.8+B.8+C.4+D.8+ 答案 D 解析 由三視圖可知幾何體為半圓錐與正方體的組合體, V=23+××π×12×2=8+. 10.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對應(yīng)的邊分別為a,b,c,且asin 2B+bsin A=0,若a+c=2,則邊b的最小值為(  ) A.4B.3C.2D. 答案 D 解析 根據(jù)asin2B+bsinA=0,由正弦定理可得sinAsin2B+sinBsinA=0?cosB=-, ∵0

7、余弦定理可得b2=a2+c2-2ac·cosB=a2+c2+ac=(a+c)2-ac=4-ac. ∵a+c=2≥2,當且僅當a=c=1時取等號, ∴ac≤1.∴b2=4-ac≥3, 即b≥. 故邊b的最小值為. 11.已知直線l的傾斜角為45°,直線l與雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的左、右兩支分別交于M,N兩點,且MF1,NF2都垂直于x軸(其中F1,F(xiàn)2分別為雙曲線C的左、右焦點),則該雙曲線的離心率為(  ) A.B.C.-1D. 答案 D 解析 ∵直線l與雙曲線的左、右兩支分別交于M,N兩點,且MF1,NF2都垂直于x軸, ∴根據(jù)雙曲線的對稱性, 設(shè)點M(-c,-

8、y),N(c,y)(y>0), 則-=1,即|y|=,且|MF1|=|NF2|=|y|, 又∵直線l的傾斜角為45°, ∴直線l過坐標原點,|y|=c, ∴=c,整理得c2-ac-a2=0, 即e2-e-1=0,解方程得e=. 12.若不等式2xlnx≥-x2+ax-3對x∈(0,+∞)恒成立,則實數(shù)a的取值范圍是(  ) A.(-∞,0) B.(-∞,4] C.(0,+∞) D.[4,+∞) 答案 B 解析 ∵2xlnx≥-x2+ax-3對x∈(0,+∞)恒成立, ∴a≤x+2lnx+對x∈(0,+∞)恒成立, 令f(x)=x+2lnx+,則f′(x)=1+-

9、=. 由f′(x)>0得x>1,即f(x)在(1,+∞)上為增函數(shù);由f′(x)<0得0

10、=0與l2:x+my-3m-1=0相交于點P,線段AB是圓C:(x+1)2+(y+1)2=4的一條動弦,且|AB|=2,則|+|的最小值是________. 答案 4-2 解析 ∵l1:mx-y-3m+1=0與l2:x+my-3m-1=0, ∴l(xiāng)1⊥l2,l1過定點(3,1),l2過定點(1,3), ∴點P的軌跡方程為圓(x-2)2+(y-2)2=2, 作CD⊥AB,則|CD|==1, ∴點D的軌跡方程為(x+1)2+(y+1)2=1, 則|+|=2||, ∵圓P和圓D的圓心距為=3>1+, ∴兩圓外離, ∴|PD|的最小值為3-1-=2-1, ∴|+|的最小值為4-2.

11、 15.已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)的部分圖象如圖所示,則f(0)=________. 答案 1 解析 由函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)的部分圖象知,A=2,=-=,∴T=π,∴ω==2, 又f=2sin=2, ∴φ=+2kπ,k∈Z. 又|φ|<,∴φ=. ∴f(x)=2sin,f(0)=2sin=1. 16.已知拋物線C:y2=8x,點P(0,4),點A在拋物線上,當點A到拋物線準線l的距離與點A到點P的距離之和最小時,F(xiàn)是拋物線的焦點,延長AF交拋物線于點B,則△AOB的面積為________. 答案 4 解析 根據(jù)拋物線性質(zhì)知拋物線上一點到準線的

12、距離等于到焦點的距離,故當P,A,F(xiàn)三點共線時達到最小值,由P(0,4),F(xiàn)(2,0),可得lAB:2x+y-4=0,聯(lián)立拋物線方程可得x2-6x+4=0,設(shè)點A(x1,y1),B(x2,y2),故|AB|=x1+x2+p=6+4=10,原點到直線lAB:2x+y-4=0的距離d==,所以△AOB的面積為×10×=4. 三、解答題(本題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟) 17.(12分)設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項和,已知an>0,a+2an=4Sn+3. (1)求{an}的通項公式; (2)設(shè)bn=,求數(shù)列{bn}的前n項和. 解 (1)由a+2an=4S

13、n+3,可知a+2an+1=4Sn+1+3, 可得a-a+2(an+1-an)=4an+1,即 2(an+1+an)=a-a=(an+1+an)(an+1-an),由于an>0,可得an+1-an=2,又a+2a1=4a1+3,解得a1=-1(舍去),a1=3,所以{an}是首項為3,公差為2的等差數(shù)列,通項公式為an=2n+1. (2)由an=2n+1可知bn===,設(shè)數(shù)列{bn}的前n項和為Tn,則Tn=b1+b2+…+bn==. 18.(12分)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是正方形,側(cè)棱PD⊥底面ABCD,E是PC的中點,求證: (1)PA∥平面EDB; (2)

14、AD⊥PC. 證明 (1)連接AC交BD于O,連接OE, ∵底面ABCD是正方形,∴O為AC中點, ∵在△PAC中,E是PC的中點, ∴OE∥PA, ∵OE?平面EDB,PA?平面EDB, ∴PA∥平面EDB. (2)∵側(cè)棱PD⊥底面ABCD,AD?底面ABCD, ∴PD⊥AD, ∵底面ABCD是正方形, ∴AD⊥CD, 又PD∩CD=D,PD,CD?平面PCD, ∴AD⊥平面PCD, 又PC?平面PCD,∴AD⊥PC. 19.(12分)十九大報告提出:堅決打贏脫貧攻堅戰(zhàn),做到精準扶貧工作.某幫扶單位幫助貧困村種植蜜柚,并利用互聯(lián)網(wǎng)電商渠道進行銷售.為了更好

15、地銷售,現(xiàn)從該村的蜜柚樹上隨機摘下了100個蜜柚進行測重,其質(zhì)量分布在區(qū)間內(nèi)(單位:克),統(tǒng)計質(zhì)量的數(shù)據(jù)作出其頻率分布直方圖如圖所示: (1)按分層抽樣的方法從質(zhì)量落在,的蜜柚中隨機抽取5個,再從這5個蜜柚中隨機抽2個,求這2個蜜柚質(zhì)量均小于2000克的概率; (2)以各組數(shù)據(jù)的中間數(shù)值代表這組數(shù)據(jù)的平均水平,以頻率代表概率,已知該貧困村的蜜柚樹上大約還有5000個蜜柚待出售,某電商提出兩種收購方案: A.所有蜜柚均以40元/千克收購; B.低于2250克的蜜柚以60元/個收購,高于或等于2 250的以80元/個收購. 請你通過計算為該村選擇收益最好的方案. 解 (1)由題得蜜

16、柚質(zhì)量在[1 750,2 000)和[2 000,2 250)的比例為2∶3,∴分別抽取2個和3個. 記抽取質(zhì)量在[1750,2000)的蜜柚為A1,A2,質(zhì)量在[2000,2250)的蜜柚為B1,B2,B3, 則從這5個蜜柚中隨機抽取2個的情況共有以下10種: A1A2,A1B1,A1B2,A1B3,A2B1,A2B2,A2B3,B1B2,B1B3,B2B3, 其中質(zhì)量均小于2000克的僅有A1A2這1種情況,故所求概率為. (2)方案A好,理由如下: 由頻率分布直方圖可知,蜜柚質(zhì)量在[1500,1750)的頻率為250×0.0004=0.1, 同理,蜜柚質(zhì)量在[1 750,2

17、 000),[2 000,2 250),[2 250,2 500),[2 500,2 750),[2 750,3 000]的頻率依次為0.1,0.15,0.4,0.2,0.05, 若按方案A收購:根據(jù)題意各段蜜柚個數(shù)依次為500,500,750,2000,1000,250, 于是總收益為 ×40÷1000=×250×[(6+7)×2+(7+8)×2 +(8+9)×3+(9+10)×8+(10+11)×4 +(11+12)×1]×40÷1000 =25×50(26+30+51+152+84+23) =457500(元), 若按方案B收購:∵蜜柚質(zhì)量低于2250克的個數(shù)為(0.1+0

18、.1+0.15)×5000=1750, 蜜柚質(zhì)量高于2250克的個數(shù)為5000-1750=3250, ∴收益為1750×60+3250×80=250×20×[7×3+13×4]=365000元, ∴方案A的收益比方案B的收益高,應(yīng)該選擇方案A. 20.(12分)已知橢圓E:+=1(a>b>0)的離心率為,P(,1)為橢圓上一點. (1)求E的方程; (2)已知斜率為,不過點P的動直線l交橢圓E于A,B兩點.證明:直線AP,BP的斜率和為定值. (1)解 由題知解得a2=6,b2=2.即所求E的方程為+=1. (2)證明 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2), 設(shè)l的方程為y=

19、x+m(m≠0). 易知,斜率為且經(jīng)過P關(guān)于x軸的對稱點(,-1)時,直線與橢圓相切, 此時只有一個交點,不合題意,則x1≠且x2≠. 聯(lián)立方程組得 2x2+2mx+3m2-6=0,Δ=48-12m2>0,即m∈(-2,0)∪(0,2). 所以x1+x2=-m,x1·x2=. 所以kPA=,kPB=. 即kPA+kPB=+ =, 因為x1x2+(m-2)(x1+x2)-2(m-1)=0, 故kPA+kPB=0. 所以直線AP,BP的斜率和為定值. 21.(12分)已知函數(shù)f(x)=(2-a)(x-1)-2lnx(a為常數(shù)). (1)當a=1時,求f(x)的單調(diào)區(qū)間;

20、 (2)若函數(shù)y=f(x),x∈的圖象與x軸無交點,求實數(shù)a的最小值. 解 (1)a=1時,f(x)=x-2lnx-1,f′(x)=1-, 由f′(x)>0得x>2;f′(x)<0得00成立, 即x∈時,a>2-. 令l=2-,x∈, 則l′(x)=, 再令m(x)=2lnx+-2,x∈, m′(x)=<0,于是m在上為減函數(shù), 故m(x)>m

21、=2-2ln2>0,∴l(xiāng)′(x)>0在上恒成立, ∴l(xiāng)(x)在上為增函數(shù),∴l(xiāng)(x)2-恒成立,只要a∈[2-4ln2,+∞), ∴實數(shù)a的最小值為2-4ln2. 請在第22~23題中任選一題作答. 22.(10分)直角坐標系xOy中,直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),在極坐標系(與直角坐標系xOy取相同的長度單位,且以原點為極點,以x軸正半軸為極軸)中,圓C的方程為ρ=6cosθ. (1)求圓C的直角坐標方程; (2)設(shè)圓C與直線l交于點A,B,若點P的坐標為(2,1),求|PA|+|PB|的最小值. 解 (1)由ρ=6cosθ得

22、ρ2=6ρcosθ,化為直角坐標方程為x2+y2=6x,即(x-3)2+y2=9. (2)將直線l的參數(shù)方程代入圓C的直角坐標方程,得t2+2(sinα-cosα)t-7=0. 由Δ=4(sinα-cosα)2+4×7>0,故可設(shè)t1,t2是上述方程的兩根, 所以t1+t2=2(cosα-sinα),t1t2=-7, 又由直線過點(2,1),故結(jié)合參數(shù)的幾何意義得 |PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1-t2|==≥2,當sin2α=1時取等號. 所以|PA|+|PB|的最小值為2. 23.(10分)設(shè)函數(shù)f(x)=|2x-a|+|x+a|(a>0). (1)當a=1時,求f(x)的最小值; (2)若關(guān)于x的不等式f(x)<+a在x∈[1,2]上有解,求實數(shù)a的取值范圍. 解 (1)當a=1時, f(x)=|2x-1|+|x+1|=++|x+1|≥0+=, 當且僅當x=時,取等號. (2)當x∈[1,2]時,f(x)<+a?|2x-a|+x+a<+a?|a-2x|<-x?3x-0,所以0

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