同步測試卷 理科數(shù)學(xué)(五)　【p293】 (導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用) 時間：60分鐘　總分：100分 一、選擇題(本大題共6小題，每小題5分，共30分．每小題所給的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．) 1．函數(shù)y＝xsin x＋的導(dǎo)數(shù)是(　　) A．y′＝sin x＋xcos x＋ B．y′＝sin x－xcos x＋ C．y′＝sin x＋xcos x－ D．y′＝sin x－xcos x－ 【解析】f′(x)＝(x)′sin x＋x(sin x)′＋′ ＝sin x＋xcos x＋x－ ＝sin x＋xcos x＋. 【答案】A 2．已知a為函數(shù)f(x)＝x3－12x的極小值點，則a＝(　　) A．－4 B．－2 C．4 D．2 【解析】f′＝3x2－12＝3，令f′＝0得x＝－2或x＝2，易得f在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故f的極小值點為2，即a＝2. 【答案】D 3．定積分dx等于(　　) A.πa2B.πa2 C．πa2D．2πa2 【解析】由題意可知定積分表示半徑為a的半個圓的面積，所以S＝(πa2)＝πa2. 【答案】B 4．直線y＝kx＋1與曲線f(x)＝aln x＋b相切于點P(1，2)，則a＋b＝(　　) A．1 B．4 C．3 D．2 【解析】由f(x)＝aln x＋b，得f′(x)＝， ∴f′(1)＝a.再由直線y＝kx＋1與曲線f(x)＝aln x＋b相切于點P(1，2)，得 ∴ ∴a＋b＝3. 【答案】C 5．已知函數(shù)y＝f(x)是R上的可導(dǎo)函數(shù)，當x≠0時，有f′(x)＋>0，則函數(shù)F(x)＝xf(x)＋的零點個數(shù)是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 【解析】由已知得>0，得>0，得(xf(x))′與x同號， 令g(x)＝xf(x)．則可知g(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞減，在(0，＋∞)上單調(diào)遞增， 且g(0)＝0，又由xf(x)＋＝0，即g(x)＝－，顯然y＝g(x)的圖象與y＝－的圖象只有一個交點，選B. 【答案】B 6．定義在R上的偶函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，若對任意的實數(shù)x，都有2f(x)＋xf′(x)<2恒成立，則使x2f(x)－f(1)<x2－1成立的實數(shù)x的取值范圍是(　　) A．{x|x≠±1} B．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C．(－1，1) D．(－1，0)∪(0，1) 【解析】f(x)是R上的偶函數(shù)，則函數(shù)g(x)＝x2f(x)－x2也是R上的偶函數(shù)， 對任意的實數(shù)x，都有2f(x)＋xf′(x)<2恒成立， 則g′(x)＝x[2f(x)＋xf′(x)－2]． 當x≥0時，g′(x)<0，當x<0時，g′(x)>0， 即偶函數(shù)g(x)在區(qū)間(－∞，0)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞減， 不等式x2f(x)－f(1)<x2－1即x2f(x)－x2<12f(1)－12， 據(jù)此可知g(x)<g(1)，則x<－1或x>1. 即實數(shù)x的取值范圍是(－∞，－1)∪(1，＋∞)． 【答案】B 二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，將各小題的結(jié)果填在題中橫線上．) 7．某產(chǎn)品的銷售收入y1(萬元)是產(chǎn)量x(千臺)的函數(shù)y1＝17x2，生產(chǎn)成本y2(萬元)是產(chǎn)量x(千臺)的函數(shù)y2＝2x3－x2，已知x>0，為使利潤最大，應(yīng)生產(chǎn)________(千臺)． 【解析】由題意，利潤y＝y(tǒng)1－y2＝17x2－(2x3－x2)＝18x2－2x3(x＞0)． y′＝36x－6x2， 由y′＝36x－6x2＝6x(6－x)＝0，得x＝6(x＞0)， 當x∈(0，6)時，y′＞0，當x∈(6，＋∞)時，y′＜0. ∴函數(shù)在(0，6)上為增函數(shù)，在(6，＋∞)上為減函數(shù)． 則當x＝6(千臺)時，y有最大值為216(萬元)． 【答案】6 8．曲線y＝2與直線y＝－x＋3及x軸圍成的圖形的面積為________． 【解析】由曲線y＝2與直線y＝－x＋3及x軸圍成的圖形的面積為2dx＋(－x＋3)dx＝x|＋|＝＋2＝. 【答案】 9．若函數(shù)f(x)＝x3－ax2＋3x－4a3在(－∞，－1)，(2，＋∞)上都是單調(diào)增函數(shù)，則實數(shù)a的取值集合是________． 【解析】由f′(x)＝3x2－2ax＋3， (1)當Δ＝4a2－36≤0?－3≤a≤3時，f(x)在R上為增函數(shù)，滿足條件； (2)當Δ＝4a2－36>0?a<－3或a>3時， 由 ∴3<a≤， ∴綜合得a的取值集合是. 【答案】 10．若不等式|mx3－ln x|≥1(m>0)，對?x∈(0，1]恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是__________________． 【解析】不等式|mx3－ln x|≥1(m>0)，對?x∈(0，1]恒成立， 等價為mx3－ln x≥1或mx3－ln x≤－1， 即m≥或m≤， 記f(x)＝，g(x)＝， 則f′(x)＝＝， 由f′(x)＝＝0， 解得ln x＝－，即x＝e－， 由f(x)>0，解得0<x<e－，此時函數(shù)單調(diào)遞增， 由f(x)<0，解得x>e－，此時函數(shù)單調(diào)遞減， 即當x＝e－時，函數(shù)f(x)取得極大值，同時也是最大值f(e－)＝＝＝e2， 此時m≥e2； 由g(x)＝， ∵當x＝1時，＝0， ∴當m>0時，不等式m≤不恒成立， 綜上，m≥e2. 【答案】 三、解答題(本大題共3小題，共50分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．) 11．(16分)已知函數(shù)f(x)＝ex－2x. (1)求曲線y＝f(x)在點(0，f(0))處的切線方程； (2)若函數(shù)g(x)＝f(x)－a，x∈[－1，1]恰有2個零點，求實數(shù)a的取值范圍． 【解析】(1)∵f(x)＝ex－2x， ∴f′(x)＝ex－2. ∴f′(0)＝－1， 又f(0)＝1， ∴曲線y＝f(x)在點(0，f(0))處的切線方程為y－1＝－x， 即x＋y－1＝0. (2)由題意得g(x)＝ex－2x－a， ∴g′(x)＝ex－2， 由g′(x)＝ex－2＝0解得x＝ln 2， 故當－1≤x<ln 2時，g′(x)<0，g(x)在[－1，ln 2)上單調(diào)遞減； 當ln 2<x≤1時，g′(x)>0，g(x)在(ln 2，1]上單調(diào)遞增． ∴g(x)min＝g(ln 2)＝2－2ln 2－a， 又g(－1)＝e－1＋2－a，g(1)＝e－2－a， 結(jié)合函數(shù)的圖象可得，若函數(shù)恰有兩個零點， 則解得2－2ln 2<a≤e－2. ∴實數(shù)a的取值范圍是(2－2ln 2，e－2]． 12．(16分)已知定義在正實數(shù)集上的函數(shù)f(x)＝ax2－(a＋2)x＋ln x. (1)若函數(shù)g(x)＝f(x)－ax2＋1，在其定義域上g(x)≤0恒成立，求實數(shù)a的最小值； (2)若a>0時，f(x)在區(qū)間[1，e]上的最小值為－2，求實數(shù)a的取值范圍． 【解析】(1)由g(x)＝ln x－(a＋2)x＋1≤0在其定義域上恒成立， 因為x>0，∴a＋2≥， 設(shè)h(x)＝(x>0)，h′(x)＝＝， 所以0<x<1時，h′(x)>0，h(x)遞增，x>1時，h′(x)<0，h(x)遞減， 因此h(x)max＝h(1)＝1，∴a＋2≥1可得a≥－1， 綜上實數(shù)a的最小值是－1. (2)f′(x)＝2ax－(a＋2)＋＝(x>0，a>0)， f′(x)＝0，x1＝，x2＝， 當a≥1，≤1，x∈(1，e)，f′(x)≥0，f(x)單調(diào)遞增，f(x)min＝f(1)＝－2符合題意， 當<a<1，x∈[1，e]，x∈，f(x)單調(diào)遞減，x∈，f(x)單調(diào)遞增； f(x)min＝f<f(1)＝－2舍去， 當0<a≤，x∈(1，e)，f(x)單調(diào)遞減，f(x)min＝f(e)<f(1)＝－2舍去， 綜上實數(shù)a的取值范圍是[1，＋∞)． 13．(18分)已知函數(shù)f(x)＝－x－＋2ln x，m∈R. (1)討論f(x)的單調(diào)性； (2)若f(x)有兩個極值點x1，x2，且x1<x2，證明：f(x2)>1－x2. 【解析】(1)由f(x)＝－x－＋2ln x，得 f′(x)＝－1＋＋＝＝－，x∈(0，＋∞)． 設(shè)g(x)＝x2－2x－m，x∈(0，＋∞)． 當m≤－1時，即Δ＝4＋4m≤0時，g(x)≥0，f′(x)≤0. ∴f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減． 當m>－1時，即Δ＝4＋4m>0時， 令g(x)＝0，得x1＝1－，x2＝1＋，x1<x2. 當－1<m<0時，0<x1<x2， 在(0，x1)∪(x2，＋∞)上，f′(x)<0，在(x1，x2)上，f′(x)>0， ∴f(x)在(0，x1)上單調(diào)遞減，在(x1，x2)上單調(diào)遞增，在(x2，＋∞)上單調(diào)遞減． 當m≥0時，x1≤0＜x2，在(0，x2)上，f′(x)>0，在(x2，＋∞)上，f′(x)<0， ∴f(x)在(0，x2)上單調(diào)遞增，在(x2，＋∞)上單調(diào)遞減． 綜上，當m≤－1時，f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減； 當－1<m<0時，f(x)在(0，1－)，(1＋，＋∞)上單調(diào)遞減，在(1－，1＋)上單調(diào)遞增； 當m≥0時，f(x)在(0，1＋)上單調(diào)遞增，在(1＋，＋∞)上單調(diào)遞減． (2)∵f(x)有兩個極值點x1，x2，且x1<x2， ∴由(1)知g(x)＝x2－2x－m有兩個不同的零點x1，x2， x1＝1－，x2＝1＋，且－1<m<0，此時，x－2x2－m＝0， 要證明f(x2)＝－x2－＋2ln x2>1－x2， 只要證明2ln x2－>1. ∵m＝x－2x2，∴只要證明2ln x2－x2>－1成立． ∵m∈(－1，0)，∴x2＝1＋∈(1，2)． 設(shè)h(x)＝2ln x－x，x∈(1，2)， 則h′(x)＝－1， 當x∈(1，2)時，h′(x)>0， ∴h(x)在x∈(1，2)上單調(diào)遞增， ∴h(x)>h(1)＝－1，即2ln x2－x2>－1， ∴f(x)有兩個極值點x1，x2，且x1>x2時，f(x2)>1－x2. 備課札記 9