《（通用版）2020版高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 專題一 高頻客觀命題點 1.5 不等式與線性規(guī)劃練習(xí) 文》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（通用版）2020版高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 專題一 高頻客觀命題點 1.5 不等式與線性規(guī)劃練習(xí) 文（31頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、1.5　不等式與線性規(guī)劃 高考命題規(guī)律 1.每年必考考題,以線性規(guī)劃為主要考點. 2.填空題或選擇題,5分,難度中高檔. 3.全國高考有6種命題角度,分布如下表. 2020年高考必備 2015年 2016年 2017年 2018年 2019年 Ⅰ卷 Ⅱ卷 Ⅰ卷 Ⅱ卷 Ⅲ卷 Ⅰ卷 Ⅱ卷 Ⅲ卷 Ⅰ卷 Ⅱ卷 Ⅲ卷 Ⅰ卷 Ⅱ卷 Ⅲ卷 命題 角度1 不等式的性質(zhì)與解不等式 8 命題 角度2 均值不等式 命題 角度3 簡單的線性規(guī)劃

2、問題 15 14 14 13 7 7 5 14 14 15 13 11 命題 角度4 非線性規(guī)劃問題 命題 角度5 含參數(shù)的線性規(guī)劃問題 命題 角度6 利用線性規(guī)劃解決實際問題 16 命題角度1不等式的性質(zhì)與解不等式　 高考真題體驗·對方向 　　　　　　　　　　　　　　　　 1.(2016全國Ⅰ·8)若a>b>0,0

3、.logcacb 答案　B 解析　對于A,logac=1logca,logbc=1logcb. ∵01logcb,即logac>logbc; 若00,1logca<1logcb,即logac1logcb,即logac>logbc. 故A不正確;由以上解析可知,B正確; 對于C,∵0

4、 ∴冪函數(shù)y=xc在(0,+∞)上為增函數(shù). ∵a>b>0,∴ac>bc,故C不正確; 對于D,∵0b>0,∴cab>0,cbd B.acbc D.ad-d>0,∴0<1-c<1-d. 即1-d>1-c>0. 又∵a>b>0,∴a-d>b-c,∴ad

5、=(　　) A.[-1,+∞) B.(0,1] C.[-1,0) D.(0,3] 答案　D 解析　由題意知A={x|x2-2x-3≤0}={x|-1≤x≤3},B={x|y=lgx}={x|x>0}, ∴A∩B={x|01b B.-a<-b C.2a>2b D.a3>b3 答案　A 解析　∵a1b,故A正確;-a>-b,故B不正確;函數(shù)y=2a是增函數(shù),故2a<2b,故C不正確;函數(shù)y=x3是增函數(shù),故a3

6、>y>0,則(　　) A.1x>1y B.x-y12y D.x2y>0得1x-1y=y-xxy<0,所以1x<1y,故A不正確.選項B中,將不等式兩邊平方得x+y-2xyy>0,所以上式成立,故B正確.選項C中,由x>y>0得12x<12y,故C不正確.選項D中,由x>y>0得x2-xy=x(x-y)>0,所以x2>xy,故D不正確.故選B. 4.設(shè)全集U=R,集合A=xx+13-x≥0,B=x14≤2x≤8,則(?UA)∩B為(　　) A.(-1,3) B.[-2,-1]

7、 C.[-2,3) D.[-2,-1)∪{3} 答案　D 解析　由題意得A=xx+13-x≥0={x|-1≤x<3},B={x|2-2≤2x≤8}={x|-2≤x≤3}, ∴?UA={x|x<-1或x≥3}, ∴(?UA)∩B={x|-2≤x<-1}∪{3}.故選D. 5.已知c3a|a| B.ac>bc C.a-bc>0 D.ln ab>0 答案　D 解析　因為c3a1b>0,即b>a>0,∴|b|>|a|,ac>bc,a-bc>0成立,此時0

8、對于任意實數(shù)x,不等式(a-2)x2-2(a-2)-4<0恒成立,則實數(shù)a的取值范圍是(　　) A.(-∞,2) B.(-∞,2] C.(-2,2] D.(-2,2) 答案　C 解析　當(dāng)a-2=0,即a=2時,原不等式變?yōu)?4<0,顯然不等式恒成立,此時符合題意.當(dāng)a-2≠0,即a≠2時,因為對于任意實數(shù)x,不等式(a-2)x2-2(a-2)-4<0恒成立, 所以a-2<0,Δ=[-2(a-2)]2-4(a-2)×(-4)<0, 解得a<2,-2

9、)設(shè)x>0,y>0,x+2y=4,則(x+1)(2y+1)xy的最小值為　　　　.? 答案　92 解析　(x+1)(2y+1)xy=2xy+x+2y+1xy =2xy+5xy=2+5xy. ∵x+2y=4,∴4≥22xy, ∴2xy≤4.∴1xy≥12. ∴2+5xy≥2+52=92. 2.(2017江蘇·10)某公司一年購買某種貨物600噸,每次購買x噸,運費為6萬元/次,一年的總存儲費用為4x萬元.要使一年的總運費與總存儲費用之和最小,則x的值是　　　　　.? 答案　30 解析　一年的總運費與總存儲費用之和為4x+600x×6=4x+900x≥4×2900=240,當(dāng)且僅

10、當(dāng)x=900x,即x=30時等號成立. 典題演練提能·刷高分 1.函數(shù)f(x)=x2+4|x|的最小值為(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　 A.3 B.4 C.6 D.8 答案　B 解析　f(x)=x2+4|x|=|x|+4|x|≥24=4,故選B. 2.若lg a+lg b=0且a≠b,則2a+1b的取值范圍為(　　) A.22,+∞ B.22,+∞ C.22,3∪(3,+∞) D.22,3∪(3,+∞) 答案　A 解析　∵lga+lgb=0且a≠b, ∴l(xiāng)gab=0,即ab=1. ∴2a+1b·ab=2b+a≥22ab=22,當(dāng)且僅當(dāng)a=2b=

11、2時取等號. ∴2a+1b的取值范圍為22,+∞. 3.已知三點A(1,-2),B(a,-1),C(-b,0)共線,則1+2aa+2+bb(a>0,b>0)的最小值為(　　) A.11 B.10 C.6 D.4 答案　A 解析　由A(1,-2),B(a,-1),C(-b,0)共線得-21+b=-1+2a-1,∴2a+b=1,1+2aa+2+bb=4a+ba+4a+3bb=7+ba+4ab≥7+2ba·4ab=11,當(dāng)且僅當(dāng)ba=4ab,2a+b=1?a=14,b=12時取等號,故選A. 4.已知a>0,b>0,3a+b=2ab,則a+b的最小值為　　　　.? 答案　2+3

12、解析　由3a+b=2ab得32b+12a=1,故(a+b)32b+12a=2+3a2b+b2a≥2+3. 5.要制作一個容積為4 m3,高為1 m 的無蓋長方體容器.已知該容器的底面造價是每平方米200元,側(cè)面造價是每平方米100元,則該容器的最低總造價是　　　　元.? 答案　1 600 解析　設(shè)長方體的底面的長為xm,則寬為4xm,總造價為y元,則y=4×200+2×100×x+4x≥800+400×x·4x=1600,當(dāng)且僅當(dāng)x=4x,即x=2時,等號成立,故答案為1600元. 6.已知正實數(shù)a,b滿足2a>b,且ab=12,則4a2+b2+12a-b的最小值為　　　　.? 答案

13、　23 解析　由題意得2a-b>0,4a2+b2+12a-b=4a2+b2-4ab+32a-b=(2a-b)2+32a-b=(2a-b)+32a-b≥23,當(dāng)且僅當(dāng)2a-b=32a-b時等號成立. 命題角度3簡單的線性規(guī)劃問題　 高考真題體驗·對方向 1.(2019全國Ⅲ·11)記不等式組x+y≥6,2x-y≥0表示的平面區(qū)域為D.命題p:?(x,y)∈D,2x+y≥9;命題q:?(x,y)∈D,2x+y≤12.下面給出了四個命題 ①p∨q?、?#1051729;p∨q?、踦∧􀱑q　④􀱑p∧􀱑q 這四個命題中,所有真命題的編號是

14、(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　 A.①③ B.①② C.②③ D.③④ 答案　A 解析　如圖,不等式組表示的平面區(qū)域D為圖中陰影部分. 作出直線2x+y=9與直線2x+y=12,可知兩直線均通過平面區(qū)域D,所以p真,q假,􀱑p假,􀱑q真,故①③真,②④假.故選A. 2.(2019天津·2)設(shè)變量x,y滿足約束條件x+y-2≤0,x-y+2≥0,x≥-1,y≥-1,則目標(biāo)函數(shù)z=-4x+y的最大值為(　　) A.2 B.3 C.5 D.6 答案　C 解析　畫出可行域如圖,平移目標(biāo)函數(shù)z=-4x+y可知過點A時取得最大值

15、, 由x=-1,x-y+2=0,得A(-1,1). ∴zmax=-4×(-1)+1=5.故選C. 3.(2017全國Ⅲ·5)設(shè)x,y滿足約束條件3x+2y-6≤0,x≥0,y≥0,則z=x-y的取值范圍是(　　) A.[-3,0] B.[-3,2] C.[0,2] D.[0,3] 答案　B 解析　畫出不等式組表示的可行域,如圖.結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義可得目標(biāo)函數(shù)在點A(0·3)處取得最小值z=0-3=-3,在點B(2,0)處取得最大值z=2-0=2.故選B. 4.(2019北京·10)若x,y滿足x≤2,y≥-1,4x-3y+1≥0,則y-x的最小值為　　　　　,最大

16、值為　　　　　.? 解析　作出可行域如圖陰影部分所示.設(shè)z=y-x,則y=x+z.當(dāng)直線l0:y=x+z經(jīng)過點A(2,-1)時,z取最小值-3,經(jīng)過點B(2,3)時,z取最大值1. 答案　-3　1 5.(2019全國Ⅱ·13)若變量x,y滿足約束條件2x+3y-6≥0,x+y-3≤0,y-2≤0,則z=3x-y的最大值是　　　　.? 答案　9 解析　畫出可行域為圖中陰影部分,z=3x-y表示直線3x-y-z=0的縱截距的相反數(shù),當(dāng)直線3x-y-z=0過點C(3,0)時,z取得最大值9. 6.(2018全國Ⅰ·14)若x,y滿足約束條件x-2y-2≤0,x-y+1≥0,y≤0

17、,則z=3x+2y的最大值為　　　　　.? 答案　6 解析　作出可行域,如圖陰影部分所示(包括邊界). 由z=3x+2y,得y=-32x+12z, 作直線y=-32x并向上平移, 顯然l過點B(2,0)時,z取最大值,zmax=3×2+0=6. 7.(2018全國Ⅱ·14)若x,y滿足約束條件x+2y-5≥0,x-2y+3≥0,x-5≤0.則z=x+y的最大值為　　　　.? 答案　9 解析　由題意,作出可行域如圖.要使z=x+y取得最大值,當(dāng)且僅當(dāng)過點(5,4)時,zmax=9. 8.(2018全國Ⅲ·15)若變量x,y滿足約束條件2x+y+3≥0,x-2y+4≥0,

18、x-2≤0,則z=x+13y的最大值是　　　　　.? 答案　3 解析　畫出可行域,如圖中陰影部分所示. 又z=x+13y?y=-3x+3z, ∴當(dāng)過點B(2,3)時,zmax=2+13×3=3. 典題演練提能·刷高分 　　　　　　　　　　　　　　　　 1.(2019四川內(nèi)江高三三模)若x,y滿足x+y≤1,x-y≤1,x≥0,則z=x-2y的最大值是(　　) A.1 B.-1 C.2 D.-2 答案　C 解析　畫出可行域(如圖), 由z=x-2y,得y=12x-12z. 由圖可知,當(dāng)直線l經(jīng)過點A(0,-1)時,z最大,且最大值為zmax=0-2×(-1)=2

19、.故選C. 2.(2019天津和平區(qū)高三模擬)設(shè)x,y滿足約束條件x-y-2≤0,2x-y+3≥0,x+y≤0,則y+4x+6的取值范圍是(　　) A.-13,1 B.[-3,1] C.(-∞,-3]∪[1,+∞) D.-37,1 答案　B 解析　畫出不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示, 目標(biāo)函數(shù)z=y+4x+6表示可行域內(nèi)的點與點P(-6,-4)之間連線的斜率,數(shù)形結(jié)合可知目標(biāo)函數(shù)在點C(-1,1)處取得最大值1+4-1+6=1. 目標(biāo)函數(shù)在點A(-5,-7)處取得最小值-7+4-5+6=-3,故目標(biāo)函數(shù)的取值范圍是[-3,1].故選B. 3.若實數(shù)x,y滿足2x-y

20、+1≥0,x+y≥0,x≤0,則z=|x-y|的最大值是(　　) A.0 B.1 C.23 D.13 答案　B 解析　作可行域如圖, 則|x-y|=y-x, 所以直線z=y-x過點A(0,1)時,z取最大值1,故選B. 4.已知向量a=(1,2),b=(x,y),且實數(shù)x,y滿足y≥0,y≤x,x+y-3≤0,則z=a·b的最大值為　　　　.? 答案　92 解析　∵a=(1,2),b=(x,y),∴z=a·b=x+2y. 所以y=-12x+12z,作出不等式組y≥0,y≤x,x+y-3≤0所表示的平面區(qū)域. 由y=x,x+y-3=0得x=y=32,結(jié)合圖形可知,當(dāng)直線經(jīng)

21、過點A32,32時縱截距最大, 此時(x+2y)max=32+2×32=92. 5.若實數(shù)x,y滿足不等式組y≥0,2x-y+3≥0,x+y-1≤0,則z=2y-|x|的最小值是　　　　.? 答案　-32 解析　畫出不等式組表示的可行域如圖陰影部分所示. ①當(dāng)x≥0時,z=2y-|x|=2y-x,可得y=x2+z2, 平移直線y=x2+z2,結(jié)合圖形可得當(dāng)直線經(jīng)過可行域內(nèi)的點B(1,0)時,直線在y軸上的截距最小, 此時z取得最小值,且zmin=-1. ②當(dāng)x<0時,z=2y-|x|=2y+x,可得y=-x2+z2,平移直線y=-x2+z2,結(jié)合圖形可得當(dāng)直線經(jīng)過可行域內(nèi)的

22、點A-32,0時,直線在y軸上的截距最小,此時z取得最小值,且zmin=-32.綜上可得zmin=-32. 命題角度4非線性規(guī)劃問題　 高考真題體驗·對方向 1.(2016山東·4)若變量x,y滿足x+y≤2,2x-3y≤9,x≥0,則x2+y2的最大值是(　　) A.4 B.9 C.10 D.12 答案　C 解析　如圖,作出不等式組所表示的可行域(陰影部分),設(shè)可行域內(nèi)任一點P(x,y),則x2+y2的幾何意義為|OP|2.顯然,當(dāng)P與A重合時,取得最大值. 由x+y=2,2x-3y=9,解得A(3,-1). 所以x2+y2的最大值為32+(-1)2=10.故選C. 2

23、.(2015全國Ⅰ·15)若x,y滿足約束條件x-1≥0,x-y≤0,x+y-4≤0,則yx的最大值為　　　　　.? 答案　3 解析　畫出約束條件對應(yīng)的平面區(qū)域(如圖),點A為(1,3),要使yx最大,則y-0x-0最大,即過點(x,y),(0,0)兩點的直線斜率最大,由圖形知當(dāng)該直線過點A時,yxmax=3-01-0=3. 典題演練提能·刷高分 　　　　　　　　　　　　　　　　 1.(2019四川綿陽三診)已知變量x,y滿足x≥0,|y|≤1,x+y-2≤0,則x2+y2的最大值為(　　) A.10 B.5 C.4 D.2 答案　A 解析　作出變量x,y滿足x≥0,|y|

24、≤1,x+y-2≤0所對應(yīng)的可行域(如圖陰影部分), 由x+y-2=0,y=-1,解得A(3,-1).而z=x2+y2表示可行域內(nèi)的點到原點距離的平方, 由數(shù)形結(jié)合可得最大距離為OA=32+(-1)2=10,即z=x2+y2的最大值為10. 故選A. 2.已知實數(shù)x,y滿足x-y+1≥0,x+y-1≥0,3x-y-3≤0,則使不等式kx-y+k≤1恒成立的實數(shù)k的取值集合是(　　) A.-∞,12 B.-∞,14 C.(-∞,1] D.(-∞,2] 答案　A 解析　作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖, 由圖象知x≥0, 由不等式kx-y+k≤1恒成立,得k(x+1)≤1

25、+y,即k≤y+1x+1, 設(shè)z=y+1x+1,則z的幾何意義是區(qū)域內(nèi)的點到定點D(-1,-1)的斜率, 由圖象知AD的斜率最小,由x+y-1=0,3x-y-3=0,得x=1,y=0,即A(1,0), 此時z的最小值為z=0+11+1=12,即k≤12, 即實數(shù)k的取值范圍是-∞,12.故選A. 3.已知變量x,y滿足x-y≥2,x+2y+2≥0,2x-y-4≤0,若方程x2+y2+6y-k=0有解,則實數(shù)k的最小值為(　　) A.45-455 B.-295 C.45+33 D.165 答案　B 解析　由題意,可作出約束條件的區(qū)域圖,如圖所示,由方程x2+y2+6y-k=0,

26、得x2+(y+3)2=9+k,由此問題可轉(zhuǎn)化為求區(qū)域圖內(nèi)的點到定點C(0,3)的距離最小時實數(shù)k的值,結(jié)合圖形,點C到直線x+2y+2=0的距離d=|0-2×3+2|5=45為所求,則有9+k=452,解得k=-295.故選B. 4.(2019河南鶴壁高中模擬)已知A(2,1),設(shè)P(x,y)為可行域x≥0,3x+2y≤7,4x-y≤2內(nèi)一點,則OP·OA的最大值為(　　) A.-2 B.2 C.4 D.5 答案　C 解析　由題意作出其平面區(qū)域,由3x+2y=7,4x-y=2, 解得M(1,2). OP·OA=z=2x+y,由線性規(guī)劃知識知經(jīng)過點M時,z取得最大值,此時x=

27、1,y=2時,z=2x+y有最大值2×1+2=4,故選C. 5.若x,y滿足約束條件x-1≥0,x-y≤0,x+y-4≤0,則yx+1的最大值為　　　　.? 答案　32 解析　作出可行域,如圖△ABC內(nèi)部(含邊界),P(-1,0),A(1,1),C(1,3),yx+1表示可行域內(nèi)點(x,y)與P(-1,0)的連線的斜率,kPC=3-01-(-1)=32,因此yx+1的最大值為32. 命題角度5含參數(shù)的線性規(guī)劃問題　 高考真題體驗·對方向 1.(2015重慶·10)若不等式組x+y-2≤0,x+2y-2≥0,x-y+2m≥0表示的平面區(qū)域為三角形,且其面積等于43,則m的值為(　

28、　) A.-3 B.1 C.43 D.3 答案　B 解析　如圖,要使不等式組表示的平面區(qū)域為三角形,則不等式x-y+2m≥0表示的平面區(qū)域為直線x-y+2m=0下方的區(qū)域,且-2m<2,即m>-1.這時平面區(qū)域為三角形ABC. 由x+y-2=0,x+2y-2=0,解得x=2,y=0,則A(2,0). 由x+y-2=0,x-y+2m=0,解得x=1-m,y=1+m, 則B(1-m,1+m). 同理C2-4m3,2+2m3,M(-2m,0). 因為S△ABC=S△ABM-S△ACM=12·(2+2m)·(1+m)-2+2m3=(m+1)23,由已知得(m+1)23=43,解得m

29、=1(m=-3<-1舍去). 2.(2014全國Ⅰ·11)設(shè)x,y滿足約束條件x+y≥a,x-y≤-1,且z=x+ay的最小值為7,則a=(　　) A.-5 B.3 C.-5或3 D.5或-3 答案　B 解析　當(dāng)a=0時顯然不滿足題意. 當(dāng)a≥1時,畫出可行域(如圖(1)所示的陰影部分), 又z=x+ay,所以y=-1ax+1az,因此當(dāng)直線y=-1ax+1az經(jīng)過可行域中的Aa-12,a+12時,z取最小值,于是a-12+a·a+12=7,解得a=3(a=-5舍去); 當(dāng)0

30、題意; 當(dāng)a<0時,畫出可行域(如圖(3)所示的陰影部分), 圖(1) 圖(2) 又z=x+ay,所以y=-1ax+1az,顯然直線y=-1ax+1az的截距沒有最大值,即z沒有最小值,不合題意. 綜上,a的值為3,故選B. 圖(3) 典題演練提能·刷高分 　　　　　　　　　　　　　　　　 1.(2019湖南師范大學(xué)附中高三模擬)若x,y滿足約束條件x+2y-2≥0,x-3y+3≥0,2x-y-4≤0,目標(biāo)函數(shù)z=ax+y僅在點(2,0)處取得最小值,則實數(shù)a的取值范圍是(　　) A.-2,12 B.-13,0∪0,12 C.0,12 D.-13,12

31、 答案　A 解析　如圖,可行域為△ABC.當(dāng)a=0時,符合題意;當(dāng)a>0時,由z=ax+y變形得y=-ax+z,可知-a>-12,得0

32、3.已知x,y滿足約束條件x-y+2≥0,x≤1,x+y+k≥0,則z=x+3y的最大值是最小值的-2倍,則k=　　　　.? 答案　1 解析　畫出不等式組表示的平面區(qū)域,如圖所示, 結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義可知目標(biāo)函數(shù)在點C(1,3)處取得最大值,在點B(1,-1-k)處取得最小值, 所以zmax=1+3×3=10,zmin=1+3×(-1-k)=-2-3k, 根據(jù)題意有10=-2(-2-3k),解得k=1. 4.(2019廣東廣州高三模擬)已知關(guān)于x,y的不等式組2x-y+1≥0,x+m≤0,y+2≥0,表示的平面區(qū)域內(nèi)存在點P(x0,y0),滿足x0-2y0=2,則m的取值范

33、圍是　　　　　.? 答案　-∞,43 解析　作出x,y的不等式組2x-y+1≥0,x+m≤0,y+2≥0,對應(yīng)的可行域如圖所示. 交點C的坐標(biāo)為(-m,-2),直線x-2y=2的斜率為12,斜截式方程為y=12x-1. 要使平面區(qū)域內(nèi)存在點P(x0,y0)滿足x0-2y0=2,則點C(-m,-2)必在直線x-2y=2的下方,即-2≤-12m-1,解得m≤2,并且A在直線的上方,即A(-m,1-2m),可得1-2m≥-12m-1,解得m≤43,故m的取值范圍是-∞,43. 命題角度6利用線性規(guī)劃解決實際問題　 高考真題體驗·對方向 1.(2016全國Ⅰ·16)某高科技企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)

34、品A和產(chǎn)品B需要甲、乙兩種新型材料.生產(chǎn)一件產(chǎn)品A需要甲材料1.5 kg,乙材料1 kg,用5個工時;生產(chǎn)一件產(chǎn)品B需要甲材料0.5 kg,乙材料0.3 kg,用3個工時.生產(chǎn)一件產(chǎn)品A的利潤為2 100元,生產(chǎn)一件產(chǎn)品B的利潤為900元.該企業(yè)現(xiàn)有甲材料150 kg,乙材料90 kg,則在不超過600個工時的條件下,生產(chǎn)產(chǎn)品A、產(chǎn)品B的利潤之和的最大值為　　　　　元.? 答案　216 000 解析　設(shè)生產(chǎn)產(chǎn)品Ax件,生產(chǎn)產(chǎn)品By件, 由題意得1.5x+0.5y≤150,x+0.3y≤90,5x+3y≤600,x,y∈N,即3x+y≤300,10x+3y≤900,5x+3y≤600,x,

35、y∈N. 目標(biāo)函數(shù)z=2100x+900y,畫出約束條件對應(yīng)的可行域(如圖陰影部分中的整數(shù)點所示), 作直線y=-73x,當(dāng)直線過5x+3y=600與10x+3y=900的交點時,z取最大值, 由5x+3y=600,10x+3y=900,解得x=60,y=100, 所以zmax=2100×60+900×100=216000. 2.(2017天津·16)電視臺播放甲、乙兩套連續(xù)劇,每次播放連續(xù)劇時,需要播放廣告.已知每次播放甲、乙兩套連續(xù)劇時,連續(xù)劇播放時長、廣告播放時長、收視人次如下表所示: 連續(xù)劇播放時長 (分鐘) 廣告播放時長 (分鐘) 收視人次 (萬) 甲

36、 70 5 60 乙 60 5 25 已知電視臺每周安排的甲、乙連續(xù)劇的總播放時間不多于600分鐘,廣告的總播放時間不少于30分鐘,且甲連續(xù)劇播放的次數(shù)不多于乙連續(xù)劇播放次數(shù)的2倍.分別用x,y表示每周計劃播出的甲、乙兩套連續(xù)劇的次數(shù). (1)用x,y列出滿足題目條件的數(shù)學(xué)關(guān)系式,并畫出相應(yīng)的平面區(qū)域; (2)問電視臺每周播出甲、乙兩套連續(xù)劇各多少次,才能使總收視人次最多? 解　(1)由已知,x,y滿足的數(shù)學(xué)關(guān)系式為70x+60y≤600,5x+5y≥30,x≤2y,x≥0,y≥0,即7x+6y≤60,x+y≥6,x-2y≤0,x≥0,y≥0, 該二元一次不等式組所

37、表示的平面區(qū)域為圖1中的陰影部分: 圖1 (2)設(shè)總收視人次為z萬,則目標(biāo)函數(shù)為z=60x+25y. 考慮z=60x+25y,將它變形為y=-125x+z25,這是斜率為-125,隨z變化的一族平行直線. z25為直線在y軸上的截距,當(dāng)z25取得最大值時,z的值最大. 又因為x,y滿足約束條件,所以由圖2可知,當(dāng)直線z=60x+25y經(jīng)過可行域上的點M時,截距z25最大,即z最大. 解方程組7x+6y=60,x-2y=0,得點M的坐標(biāo)為(6,3). 所以,電視臺每周播出甲連續(xù)劇6次,乙連續(xù)劇3次時才能使總收視人次最多. 圖2 典題演練提能·刷高分 1.電視臺播放

38、甲、乙兩套連續(xù)劇,每次播放連續(xù)劇時,需要播放廣告.已知每次播放甲、乙兩套連續(xù)劇時,連續(xù)劇播放時長、廣告播放時長、收視人次如下表所示: 連續(xù)劇 連續(xù)劇播放 時長/min 廣告播放 時長/min 收視人 次/萬人 甲 70 5 60 乙 60 5 25 電視臺每周安排的甲、乙連續(xù)劇的總播放時長不多于600 min,廣告的總播放時長不少于30 min,且甲連續(xù)劇播放的次數(shù)不多于乙連續(xù)劇播放次數(shù)的2倍,分別用x,y表示每周計劃播出的甲、乙兩套連續(xù)劇的次數(shù),要使總收視人次最多,則電視臺每周播出甲、乙兩套連續(xù)劇的次數(shù)分別為(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　

39、A.6,3 B.5,2 C.4,5 D.2,7 答案　A 解析　依題意得70x+60y≤600,5x+5y≥30,x≤2y,x≥0,y≥0, 目標(biāo)函數(shù)為z=60x+25y,畫出可行域如下圖所示, 由圖可知,目標(biāo)函數(shù)在點(6,3)處取得最大值.故選A. 2.某貨運員擬運送甲、乙兩種貨物,每件貨物的體積、質(zhì)量、可獲利潤如下表所示: 體積(升/件) 質(zhì)量(千克/件) 利潤(元/件) 甲 20 10 8 乙 10 20 10 在一次運輸中,貨物總體積不超過110升,總質(zhì)量不超過100千克,那么在合理的安排下,一次運輸獲得的最大利潤為　　　　元.? 答案　62 解析　設(shè)運送甲種貨物x件,乙種貨物y件,利潤為z, 則由題意得20x+10y≤110,10x+20y≤100,x,y∈N, 即2x+y≤11,x+2y≤10,x,y∈N,且z=8x+10y,作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖所示, 由2x+y=11,x+2y=10,得x=4,y=3,即B(4,3),由z=8x+10y得y=-45x+z10,平移直線y=-45x+z10,由圖可知當(dāng)直線y=-45x+z10,經(jīng)過點B時,直線的截距最大,此時z最大,故zmax=8×4+10×3=62,一次運輸獲得的最大利潤為62元. 31