(名師導(dǎo)學(xué))2020版高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第七章 不等式、推理與證明 第40講 二元一次不等式(組)與簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題練習(xí) 理(含解析)新人教A版
《(名師導(dǎo)學(xué))2020版高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第七章 不等式、推理與證明 第40講 二元一次不等式(組)與簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題練習(xí) 理(含解析)新人教A版》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《(名師導(dǎo)學(xué))2020版高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第七章 不等式、推理與證明 第40講 二元一次不等式(組)與簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題練習(xí) 理(含解析)新人教A版(18頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、第40講 二元一次不等式(組)與簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題 夯實(shí)基礎(chǔ) 【p86】 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】 1.會(huì)從實(shí)際情境中抽象出二元一次不等式組,了解二元一次不等式的幾何意義,能用平面區(qū)域表示二元一次不等式組,會(huì)從實(shí)際情境中抽象出一些簡(jiǎn)單的二元線性規(guī)劃問(wèn)題,并能加以解決. 2.掌握確定平面區(qū)域的方法;理解目標(biāo)函數(shù)的幾何意義,注意線性規(guī)劃問(wèn)題與其他知識(shí)的綜合. 【基礎(chǔ)檢測(cè)】 1.以下不等式所表示的平面區(qū)域中包含原點(diǎn)的是( ) A.x-y+1<0 B.2x+3y-6>0 C.2x+5y-10≥0 D.4x-3y≤12 【解析】將點(diǎn)(0,0)分別代入四個(gè)選項(xiàng),驗(yàn)證可知答案為D. 【答案】D
2、 2.已知變量x,y滿足約束條件則z=3x+y的最大值為( ) A.2 B.6 C.8 D.11 【解析】作出變量x,y滿足約束條件的可行域,如圖, 由z=3x+y知,y=-3x+z, 所以動(dòng)直線y=-3x+z的縱截距z取得最大值時(shí),目標(biāo)函數(shù)取得最大值. 由得A(3,2), 結(jié)合可行域可知當(dāng)動(dòng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(3,2)時(shí), 目標(biāo)函數(shù)取得最大值z(mì)=3×3+2=11. 【答案】D 3.(x+2y+1)(x-y+4)<0表示的平面區(qū)域?yàn)? ) 【解析】由題得或 先作出不等式組對(duì)應(yīng)的可行域,是選項(xiàng)B中上面的一部分, 再作出對(duì)應(yīng)的可行域,是選項(xiàng)B中下面的一部分
3、,故選B. 【答案】B 4.某公司計(jì)劃明年用不超過(guò)6千萬(wàn)元的資金投資于本地養(yǎng)魚(yú)場(chǎng)和遠(yuǎn)洋捕撈隊(duì).經(jīng)過(guò)對(duì)本地養(yǎng)魚(yú)場(chǎng)年利潤(rùn)率的調(diào)研,其結(jié)果是平均年利潤(rùn)率0.3,對(duì)遠(yuǎn)洋捕撈隊(duì)的調(diào)研結(jié)果是:平均年利潤(rùn)率0.4,為確保本地的鮮魚(yú)供應(yīng),市政府要求該公司對(duì)遠(yuǎn)洋捕撈隊(duì)的投資不得高于本地養(yǎng)魚(yú)場(chǎng)的投資的2倍.根據(jù)調(diào)研數(shù)據(jù),該公司如何分配投資金額,明年兩個(gè)項(xiàng)目的利潤(rùn)之和最大________千萬(wàn). 【解析】根據(jù)題意,設(shè)本地養(yǎng)魚(yú)場(chǎng)投資額為x千萬(wàn)元,遠(yuǎn)洋捕撈隊(duì)投資額為y千萬(wàn)元,則 目標(biāo)函數(shù)z=0.3x+0.4y, 畫(huà)出線性約束條件的可行域如圖所示: 由圖可知,當(dāng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(2,4)時(shí),截距最大, 此時(shí)z=0
4、.3×2+0.4×4=2.2, 所以最大利潤(rùn)為2.2千萬(wàn)元. 【答案】2.2 【知識(shí)要點(diǎn)】 1.二元一次不等式表示的平面區(qū)域 (1)二元一次不等式Ax+By+C>0在平面直角坐標(biāo)系中表示直線Ax+By+C=0某一側(cè)的所有點(diǎn)組成的平面區(qū)域(半平面),__不包括__邊界直線. 不等式Ax+By+C≥0所表示的平面區(qū)域(半平面)__包括__邊界直線. (2)在平面直角坐標(biāo)系中,設(shè)直線Ax+By+C=0(B不為0)及點(diǎn)P(x0,y0), ①若B>0,Ax0+By0+C>0,則點(diǎn)P(x0,y0)在直線的上方,此時(shí)不等式Ax+By+C>0表示直線Ax+By+C=0的上方的區(qū)域. ②若B>
5、0,Ax0+By0+C<0,則點(diǎn)P(x0,y0)在直線的下方,此時(shí)不等式Ax+By+C<0表示直線Ax+By+C=0的下方的區(qū)域. ③若是二元一次不等式組,則其平面區(qū)域是所有平面區(qū)域的公共部分. 2.線性規(guī)劃相關(guān)概念 名稱 意義 約束條件 目標(biāo)函數(shù)中的變量所要滿足的不等式組 線性約束 條件 由x,y的一次不等式(或方程)組成的不等式(或方程)組 目標(biāo)函數(shù) 關(guān)于x,y的函數(shù)__解析式__ 可行解 滿足線性約束條件的解 可行域 所有可行解組成的集合 線性目標(biāo)函數(shù) 目標(biāo)函數(shù)是關(guān)于變量的一次函數(shù) 最優(yōu)解 使目標(biāo)函數(shù)取得__最大值或最小值__的可行解 線性規(guī)劃
6、問(wèn)題 在線性約束條件下,求線性目標(biāo)函數(shù)的__最大值__或__最小值__ 3.常見(jiàn)簡(jiǎn)單的二元線性規(guī)劃實(shí)際問(wèn)題 一是在人力、物力、資金等資源一定的條件下,如何使用它們完成最多的任務(wù);二是給定一項(xiàng)任務(wù),如何合理安排和規(guī)劃,能以最少的人力、物力、資金等資源來(lái)完成該項(xiàng)任務(wù). 解線性規(guī)劃問(wèn)題的一般步驟: 審題、設(shè)元——__列出約束條件__(通常為不等式組)——建立__目標(biāo)函數(shù)__——作出__可行域__——求__最優(yōu)解__. 典例剖析 【p86】 考點(diǎn)1 二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域 (1)設(shè)不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)棣?,直線y=k分平面區(qū)域Ω1為面積相等的兩部分,則k=_______
7、_. 【解析】作出可行域如圖所示: 直線y=k恒過(guò)定點(diǎn),要使直線y=k分平面區(qū)域Ω1為面積相等的兩部分,則直線必過(guò)線段AB的中點(diǎn)C,故k=kCD=-. 【答案】- (2)如圖陰影部分表示的區(qū)域可用二元一次不等式組表示為_(kāi)_______. 【解析】?jī)芍本€方程分別為x-2y+2=0與x+y-1=0. 由(0,0)點(diǎn)在直線x-2y+2=0右下方可知x-2y+2≥0, 又(0,0)點(diǎn)在直線x+y-1=0左下方,可知x+y-1≥0, 即為陰影部分所表示的可行域. 【答案】 【點(diǎn)評(píng)】確定二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域的方法: (1)“直線定界,特殊點(diǎn)定域”,即先作直線,再
8、取特殊點(diǎn)代入不等式組.若滿足不等式組,則不等式(組)表示的平面區(qū)域?yàn)橹本€與特殊點(diǎn)同側(cè)的那部分區(qū)域;否則就對(duì)應(yīng)于特殊點(diǎn)異側(cè)的平面區(qū)域. (2)當(dāng)不等式中帶等號(hào)時(shí),邊界為實(shí)線;不帶等號(hào)時(shí),邊界應(yīng)畫(huà)為虛線,特殊點(diǎn)常取原點(diǎn). 考點(diǎn)2 求目標(biāo)函數(shù)的最值 已知求: (1)z=x+2y-4的最大值; (2)z=x2+y2-10y+25的最小值; (3)z=的取值范圍; (4)z=的取值范圍. 【解析】作出可行域如圖所示的陰影部分,求出頂點(diǎn)的坐標(biāo)A(1,3),B(3,1),C(7,9). (1)易知可行域內(nèi)各點(diǎn)均在直線x+2y-4=0的上方, 故x+2y-4>0,將C(7,9)代入得z
9、的最大值為21. (2)z=x2+(y-5)2表示可行域內(nèi)任一點(diǎn)(x,y)到定點(diǎn)M(0,5)的距離的平方,過(guò)M作直線AC的垂線,易知垂足N在線段AC上,故z的最小值是|MN|2==. (3)z=2·表示可行域內(nèi)任一點(diǎn)(x,y)與定點(diǎn)Q連線的斜率的兩倍,因?yàn)閗QA=,kQB=, 故z的取值范圍為. (4)z==1+,由(3)知,z的取值范圍為. 【點(diǎn)評(píng)】充分理解目標(biāo)函數(shù)并將目標(biāo)函數(shù)賦予幾何意義,如截距、點(diǎn)到直線的距離、過(guò)已知點(diǎn)的直線的斜率等是本例求解的關(guān)鍵和切入點(diǎn). (1)若實(shí)數(shù)x,y滿足不等式組且x+y的最大值為9,則實(shí)數(shù)m=( ) A.-2 B.-1 C.1 D.2
10、【解析】令z=x+y,則y=-x+z,z表示斜率為-1的直線在y軸上的截距. 當(dāng)z最大值為9時(shí),y=-x+z過(guò)點(diǎn)A,因此x-my+1=0過(guò)點(diǎn)A,所以m=1. 【答案】C (2)已知實(shí)數(shù)x,y滿足若z=y(tǒng)-ax取得最大值時(shí)的最優(yōu)解有無(wú)數(shù)個(gè),則a的值為_(kāi)_______. 【解析】依題意,在坐標(biāo)平面內(nèi)畫(huà)出不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示.要使目標(biāo)函數(shù)z=y(tǒng)-ax取得最大值時(shí)的最優(yōu)解有無(wú)數(shù)個(gè),則直線z=y(tǒng)-ax必平行于直線y-x+1=0,于是a=1. 【答案】1 【點(diǎn)評(píng)】線性規(guī)劃問(wèn)題是在約束條件是線性的、目標(biāo)函數(shù)也是線性的情況下的一類最優(yōu)解問(wèn)題,在約束條件是線性的情況下,線性目標(biāo)函數(shù)
11、只在可行域的頂點(diǎn)或者邊界上取得最值;當(dāng)求解目標(biāo)中含有參數(shù)時(shí),要根據(jù)臨界位置確定參數(shù)所滿足的條件. 考點(diǎn)3 線性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用 學(xué)生的體質(zhì)與學(xué)生飲食的科學(xué)性密切相關(guān),營(yíng)養(yǎng)學(xué)家指出,高中學(xué)生良好的日常飲食應(yīng)該至少提供0.075 kg的碳水化合物,0.06 kg的蛋白質(zhì),0.06 kg的脂肪.已知1 kg食物A含有0.105 kg碳水化合物,0.07 kg蛋白質(zhì),0.14 kg脂肪,花費(fèi)28元;1 kg食物B含有0.105 kg碳水化合物,0.14 kg蛋白質(zhì),0.07 kg脂肪,花費(fèi)21元.為了滿足高中學(xué)生日常飲食的營(yíng)養(yǎng)要求,每天合理搭配食物A和食物B,則最低花費(fèi)是______元. 【解析】
12、設(shè)每天食用x kg食物A,y kg食物B,總花費(fèi)為z元,則目標(biāo)函數(shù)為z=28x+21y. 其中x,y滿足的約束條件為 即 作出可行域如圖所示: 將目標(biāo)函數(shù)z=28x+21y變形為y=-x+,顯然,當(dāng)直線y=-x+過(guò)點(diǎn)M時(shí),縱截距最?。? 由,得M. 所以每天同時(shí)食用kg食物A和kg食物B的花費(fèi)最小,為zmin=28×+21×=16(元). 【答案】16 【點(diǎn)評(píng)】解答線性規(guī)劃應(yīng)用題的一般步驟可歸納為: (1)審題——仔細(xì)閱讀,明確有哪些限制條件,目標(biāo)函數(shù)是什么; (2)轉(zhuǎn)化——設(shè)元,寫(xiě)出約束條件和目標(biāo)函數(shù); (3)求解——關(guān)鍵是明確目標(biāo)函數(shù)所表示的直線與可行域邊界直線斜率
13、間的關(guān)系; (4)作答——就應(yīng)用題提出的問(wèn)題作出回答. 體現(xiàn)考綱中要求會(huì)從實(shí)際問(wèn)題中抽象出二元線性規(guī)劃.來(lái)年需要注意簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃求最值問(wèn)題. 方法總結(jié) 【p87】 1.二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域確定的方法 第一種:若用y=kx+b表示的直線將平面分成上下兩部分 不等式 區(qū) 域 y>kx+b 表示直線上方的半平面區(qū)域 y<kx+b 表示直線下方的半平面區(qū)域 第二種:用Ax+By+C=0(B≠0)表示的直線將平面分成上下兩部分(B=0讀者完成) 不等式 B>0 B<0 Ax+By+C>0 表示直線上方的半平面區(qū)域 表示直線下方的半平面區(qū)域 Ax+B
14、y+C<0 表示直線下方的半平面區(qū)域 表示直線上方的半平面區(qū)域 聯(lián)系:將Ax+By+C=0表示的直線轉(zhuǎn)化成y=kx+b的形式即是第一種. 第三種:選特殊點(diǎn)判定(如原點(diǎn)),取一點(diǎn)坐標(biāo)代入二元一次不等式(組),若成立,則平面區(qū)域包括該點(diǎn),反之,則不包括. 2.線性規(guī)劃問(wèn)題求解策略 (1)解決線性規(guī)劃問(wèn)題時(shí),找出約束條件和目標(biāo)函數(shù)是關(guān)鍵,一般步驟如下: ①作:確定約束條件,并在坐標(biāo)系中作出可行域; ②移:由z=ax+by變形為y=-x+,所求z的最值可以看成是求直線y=-x+在y軸上的截距的最值(其中a,b是常數(shù),z隨x,y的變化而變化),將直線ax+by=0平移,在可行域中觀察使最
15、大(或最小)時(shí)所經(jīng)過(guò)的點(diǎn); ③求:求出取得最大值或最小值的點(diǎn)的坐標(biāo),并將其代入目標(biāo)函數(shù)求得最大值和最小值; ④答:寫(xiě)出最后結(jié)論. (2)可行域可以是一個(gè)一側(cè)開(kāi)放的平面區(qū)域,也可以是一個(gè)封閉的多邊形,若是一個(gè)多邊形,目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解一般在多邊形的某個(gè)頂點(diǎn)處取得. (3)若要求的最優(yōu)解是整數(shù)解,而通過(guò)圖象求得的是非整數(shù)解,這時(shí)應(yīng)以與線性目標(biāo)函數(shù)的距離為依據(jù),在直線的附近尋求與此直線最近的整點(diǎn),或者用“調(diào)整優(yōu)值法”去尋求最優(yōu)解. 走進(jìn)高考 【p88】 1.(2018·全國(guó)卷Ⅰ)若x,y滿足約束條件則z=3x+2y的最大值為_(kāi)_________. 【解析】作出可行域如圖所示,作出直線3
16、x+2y=0,并平移該直線,當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)A(2,0)時(shí),目標(biāo)函數(shù)z=3x+2y取得最大值,且zmax=3×2+2×0=6. 【答案】6 2.(2018·浙江)若x,y滿足約束條件則z=x+3y的最小值是________,最大值是________. 【解析】由題可得,該約束條件表示的平面區(qū)域是以A(2,2),B(1,1),C(4,-2)為頂點(diǎn)的三角形及其內(nèi)部區(qū)域(如圖). 由線性規(guī)劃知識(shí)可知,目標(biāo)函數(shù)z=x+3y在點(diǎn)A(2,2)處取得最大值,在點(diǎn)C(4,-2)處取得最小值,則最小值z(mì)min=4-6=-2,最大值z(mì)min=2+6=8. 【答案】-2;8 考點(diǎn)集訓(xùn) 【p220】
17、 A組題 1.設(shè)變量x,y滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)z=3x+y的最大值為( ) A.7 B.8 C.9 D.14 【解析】作可行域,如圖所示,直線z=3x+y過(guò)點(diǎn)A(2,3)時(shí)z取最大值9. 【答案】C 2.已知實(shí)數(shù)x,y滿足線性約束條件則其表示的平面區(qū)域的面積為( ) A.B. C.9 D. 【解析】作出滿足約束條件的可行域,如圖所示: 可知1≤x≤4范圍擴(kuò)大,實(shí)際只有0≤x≤3,其平面區(qū)域表示的陰影部分是一個(gè)三角形,其面積為S=×3=. 【答案】B 3.若x,y滿足約束條件目標(biāo)函數(shù)z=ax+2y僅在點(diǎn)(1,0)處取得最小值,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(
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