《（名師導(dǎo)學(xué)）2020版高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第五章 平面向量、復(fù)數(shù) 第31講 平面向量的應(yīng)用練習(xí) 理（含解析）新人教A版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（名師導(dǎo)學(xué)）2020版高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第五章 平面向量、復(fù)數(shù) 第31講 平面向量的應(yīng)用練習(xí) 理（含解析）新人教A版（17頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第31講　平面向量的應(yīng)用 夯實(shí)基礎(chǔ)　【p67】 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】 1．會用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題； 2．會用向量方法解決簡單的力學(xué)問題與其他一些實(shí)際問題． 【基礎(chǔ)檢測】 1．在△ABC中，(＋)·＝||2，則△ABC的形狀一定是(　　) A．等邊三角形B．等腰三角形 C．直角三角形D．等腰直角三角形 【解析】由(＋)·＝||2，得·(＋－)＝0，即·(＋＋)＝0，∴·2＝0，∴⊥，∴∠A＝90°. 【答案】C 2．已知點(diǎn)F(1，0)，直線l：x＝－1，P為平面上的動點(diǎn)，過P作直線l的垂線，垂足為點(diǎn)Q，且·＝·，則動點(diǎn)P的軌跡C的方程是________． 【解析】

2、設(shè)點(diǎn)P(x，y)，則Q(－1，y)，則由·＝·，得(x＋1，0)·(2，－y)＝(x－1，y)·(－2，y)，化簡得y2＝4x. 【答案】y2＝4x 3．已知向量a＝，b＝(4，4cos α－)，若a⊥b，則sin等于(　　) A．－ B．－ C. D. 【解析】由a⊥b得a·b＝0， 即4sin＋4cos α－＝0， ∴2sin α＋6cos α＝. ∴sin＝， ∴sin＝－sin＝－. 【答案】B 4．一質(zhì)點(diǎn)受到平面上的三個力F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3(單位：N)的作用而處于平衡狀態(tài)，已知F1，F(xiàn)2成60°角，且F1，F(xiàn)2的大小分別為2 N和4 N，則F3的大小為____

3、____ N. 【解析】∵F1＋F2＝－F3，∴|F3|2＝|F1＋F2|2＝4＋16＋2×2×4×＝28，∴|F3|＝2. 【答案】2 5．已知O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A(－1，1)，若點(diǎn)M(x，y)為平面區(qū)域上的一個動點(diǎn)，則·的取值范圍是____________． 【解析】畫出不等式組表示的平面區(qū)域(如圖陰影部分)，又·＝－x＋y，取目標(biāo)函數(shù)z＝－x＋y，即y＝x＋z，作斜率為1的一組平行線，當(dāng)它經(jīng)過點(diǎn)C(1，1)時，z有最小值，即zmin＝－1＋1＝0；當(dāng)它經(jīng)過點(diǎn)B(0，2)時，z有最大值，即zmax＝－0＋2＝2. ∴z的取值范圍是[0，2]，即·的取值范圍是[0，2]． 【答

4、案】[0，2] 【知識要點(diǎn)】 1．向量在平面幾何中的應(yīng)用 平面向量在平面幾何中的應(yīng)用主要是用向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積解決平面幾何中的平行、垂直、平移、全等、相似、長度、夾角等問題． (1)證明線段平行或點(diǎn)共線問題，包括相似問題，常用共線向量定理：a∥b，且b≠0存在唯一的λ∈R，使a＝λbx1y2－x2y1＝0或，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)； (2)證明垂直問題，常用數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)：a⊥b__a·b＝0____x1x2＋y1y2＝0__； (3)求夾角問題，利用夾角公式． 2．平面向量在物理中的應(yīng)用 (1)由于物理學(xué)中的力、速度、位移都是矢量，它們的分解和合

5、成與向量的加法和減法相似，可用向量的知識來解決． (2)物理學(xué)中的功是一個標(biāo)量，是力F與位移S的數(shù)量積，即W＝F·S＝|F|·|S|·cos θ(θ為F與S的夾角)． 典例剖析　【p67】 考點(diǎn)1　向量在物理中的應(yīng)用 一個重為|G|(單位：N)的物體，在豎直平面內(nèi)受到兩個力F1、F2(單位：N)的作用處于平衡狀態(tài)，已知F1、F2的大小分別為1 N和2 N，且二力所成的角為120°，則G與F2所成的角的大小為________． 【解析】如圖，∵∠AOB＝120°， ∴∠A＝60°. 在△AOC中，||2＝||2＋|2|－2||·||·cos 60°＝3，∴||＝. 于是||2

6、＋||2＝||2，即∠AOC＝90°， ∴G與F2所成的角為150°. 【答案】150° 【點(diǎn)評】用向量法解決物理問題的步驟： ①將相關(guān)物理量用幾何圖形表示出來； ②將物理問題抽象成數(shù)學(xué)模型，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題； ③最后將數(shù)學(xué)問題還原為物理問題． 考點(diǎn)2　向量在平面幾何中的應(yīng)用 在等腰直角三角形ABC中，AC＝BC，D是BC的中點(diǎn)，E是線段AB上的點(diǎn)，且AE＝2BE，求證：AD⊥CE. 【解析】法一：(基向量法) 設(shè)＝a，＝b，則|a|＝|b|，且a·b＝0， 則＝＋＝＋＝＋ (－)＝a＋b. ＝－＝－＝b－a. ·＝·＝－a2＋b2＝0， 所以⊥，即AD⊥CE.

7、 法二：(坐標(biāo)法) 以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA，CB所在直線分別為x軸，y軸建立直角坐標(biāo)系． 設(shè)CA＝2，則A(2，0)，B(0，2)，D(0，1)，E， 所以＝(－2，1)，＝， 所以·＝－＋＝0， 所以⊥，即AD⊥CE. 【點(diǎn)評】用向量法解決幾何問題的步驟： ①建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題； ②通過向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系； ③把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系． 考點(diǎn)3　平面向量在三角函數(shù)中的應(yīng)用 已知函數(shù)f(x)＝Asin的部分圖象如圖所示，點(diǎn)B，C是該圖象與x軸的交點(diǎn)，過點(diǎn)C的直線與該圖象交于D，E兩點(diǎn)，則

8、·的值為(　　) A．－1 B．－C.D．2 【解析】·＝·＝2·＝2||2，顯然||的長度為半個周期，周期T＝＝2，∴||＝1，所求值為2. 【答案】D 在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若·＝·＝k(k∈R)． (1)判斷△ABC的形狀； (2)若k＝2，求b的值． 【解析】(1)∵·＝cbcos A，·＝bacos C， ∴bccos A＝abcos C. 根據(jù)正弦定理，得sin Ccos A＝sinAcos C， 即sin Acos C－cos Asin C＝0，sin(A－C)＝0， ∴∠A＝∠C，即a＝c. 則△ABC為等腰三角形．

9、(2)由(1)知a＝c，由余弦定理，得 ·＝bccos A＝bc·＝. ·＝k＝2，即＝2，解得b＝2. 【點(diǎn)評】三角函數(shù)與向量綜合往往以向量運(yùn)算構(gòu)造問題的題設(shè)條件，因此依據(jù)向量知識轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題是問題求解的切入點(diǎn)． 考點(diǎn)4　平面向量在解析幾何中的應(yīng)用 已知點(diǎn)P(－3，0)，點(diǎn)A在y軸上，點(diǎn)Q在x軸的正半軸上，點(diǎn)M在直線AQ上，滿足·＝0，＝－，當(dāng)點(diǎn)A在y軸上移動時，動點(diǎn)M的軌跡方程為____________． 【解析】設(shè)M(x，y)為軌跡上的任一點(diǎn)，設(shè)A(0，b)，Q(a，0)(a>0)， 則＝(x，y－b)，＝(a－x，－y)． 因?yàn)椋剑? 所以(x，y－b)＝－(a

10、－x，－y)， 所以a＝x，b＝－，即A，Q， ＝，＝. 因?yàn)椤ぃ?，所以3x－y2＝0， 即所求軌跡的方程為y2＝4x(x>0)． 【答案】y2＝4x(x>0) 【點(diǎn)評】向量的坐標(biāo)運(yùn)算可將幾何問題用代數(shù)方法處理，也可以將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題來解決，其中向量是橋梁，因此，在解此類題目的時候，一定要重視轉(zhuǎn)化與化歸思想的運(yùn)用． 已知F1, F2分別為橢圓C：＋＝1的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P(x0，y0)在橢圓C上． (1)求·的最小值； (2)設(shè)直線l的斜率為，直線l與橢圓C交于A, B兩點(diǎn)，若點(diǎn)P在第一象限，且·＝－1，求△ABP面積的最大值． 【解析】(1)依題意可知F1(－，0

11、), F2(，0)， 則＝(－－x0，－y0), ＝(－x0，－y0)， ∴·＝x＋y－6， ∵點(diǎn)P(x0，y0)在橢圓C上，∴＋＝1，即y＝2－， ∴·＝x＋2－－6＝－4＋(－2≤x0≤2)， ∴當(dāng)x0＝0時，·的最小值為－4. (2)設(shè)l的方程y＝x＋b，點(diǎn)A(x1，y1), B(x2，y2)， 由得x2＋2bx＋2b2－4＝0， 令Δ＝4b2－8b2＋16>0，解得－2

12、＝2， 當(dāng)且僅當(dāng)b＝±時，等號成立， ∴△PAB面積的最大值為2. 方法總結(jié)　　【p68】 1．向量的平行、垂直關(guān)系是向量最基本、最重要的位置關(guān)系，而向量的夾角、長度是向量的數(shù)量特征，是數(shù)形結(jié)合的重要工具，這些知識是高考重點(diǎn)考查內(nèi)容之一，因此，對這些基本知識必須在理解的基礎(chǔ)上熟練掌握． 2．向量法解決幾何問題的“三步曲”，即： (1)建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題化為向量問題． (2)通過向量運(yùn)算研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問題． (3)把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系． 3．證明直線平行、垂直、線段相等等問題的常用方法： (

13、1)要證AB＝CD，可轉(zhuǎn)化為證明2＝2或||＝||. (2)要證兩線段AB∥CD，只要證存在一實(shí)數(shù)λ≠0，使等式＝λ成立即可． (3)要證明兩線段AB⊥CD，只需證·＝0. 4．用數(shù)學(xué)知識解決物理問題，首先要把物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，即將物理量之間的關(guān)系抽象成數(shù)學(xué)模型，然后再通過對這個數(shù)學(xué)模型進(jìn)行研究，解釋相關(guān)物理現(xiàn)象． 走進(jìn)高考　　【p68】 1．(2018·天津)如圖，在平面四邊形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，AB＝AD＝1.若點(diǎn)E為邊CD上的動點(diǎn)，則·的最小值為(　　) A.B.C.D．3 【解析】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在的直線為x軸，建立如圖

14、的平面直角坐標(biāo)系， 因?yàn)樵谄矫嫠倪呅蜛BCD中，AB＝AD＝1，∠BAD＝120°，所以A(0，0)，B(1，0)，D，設(shè)C(1，m)，E(x，y)，所以＝，＝， 因?yàn)锳D⊥CD，所以·＝0，即×＋＝0，解得m＝，即C(1，)，因?yàn)镋在CD上，所以≤y≤，則kCE＝kCD，得＝，即x＝y(tǒng)－2，因?yàn)椋?x，y)，＝(x－1，y)，所以·＝(x，y)·(x－1，y)＝x2－x＋y2＝(y－2)2－y＋2＋y2＝4y2－5y＋6，令f(y)＝4y2－5y＋6，y∈.因?yàn)楹瘮?shù)f(y)＝4y2－5y＋6在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以f(y)min＝4×－5×＋6＝.所以·的最小值為. 【答案

15、】A 考點(diǎn)集訓(xùn)　　【p211】 A組題 1．已知向量a＝(1，1－cos θ)，b＝，且a∥b，則銳角θ等于(　　) A．30° B．45° C．60° D．75° 【解析】∵a∥b，∴(1－cos θ)(1＋cos θ)＝，即sin2θ＝. 又∵θ為銳角，∴sin θ＝，θ＝45°. 【答案】B 2．若函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)在一個周期內(nèi)的圖象如圖所示，M，N分別是這段圖象的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，且·＝0(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則A等于(　　) A. B.π C.π D.π 【解析】由題意知M，N，又∵·＝×－A2＝0，∴A＝π.

16、 【答案】B 3．在直角坐標(biāo)平面上，＝(1，4)，＝(－3，1)，且與在直線l的方向向量上的投影的長度相等，則直線l的斜率為(　　) A．－B. C.或－D. 【解析】設(shè)直線l的一個方向向量為v＝(1，k)，由題意可得＝， ∴|1＋4k|＝|－3＋k|，解得k＝或－. 【答案】C 4．已知兩定點(diǎn)A(1，1)，B(－1，－1)，動點(diǎn)P(x，y)滿足·＝，則點(diǎn)P的軌跡是(　　 ) A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線 【解析】由題知＝(1－x，1－y)，＝(－1－x，－1－y)， 所以·＝(1－x)(－1－x)＋(1－y)(－1－y)＝x2＋y2－2. 由已知x2＋

17、y2－2＝，得＋＝1，所以點(diǎn)P的軌跡為橢圓． 【答案】B 5．一條河寬為400 m，一船從A出發(fā)航行垂直到達(dá)河正對岸的B處，船速為20 km/h，水速為12 km/h，則船到達(dá)B處所需時間為________min. 【解析】船速度與水流速度的合速度是船的實(shí)際航行速度．如圖， |v1|＝20，|v2|＝12.根據(jù)勾股定理， |v|＝16(km/h)＝(m/min)， 故t＝400÷＝1.5(min)． 【答案】1.5 6．如圖，扇形AOB的弧AB的中點(diǎn)為M，動點(diǎn)C，D分別在線段OA，OB上，且OC＝BD，若OA＝1，∠AOB＝120°，則·的取值范圍是________．

18、 【解析】以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，則M，設(shè)OD＝x∈[0，1]，則D，C(1－x，0)，因此·＝＋＝(x2－x＋1)∈. 【答案】 7．如圖所示，四邊形ABCD是正方形，P是對角線DB上的一點(diǎn)，四邊形PECF是矩形．證明： (1)PA＝EF； (2)PA⊥EF. 【解析】以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以DC，DA所在的直線分別為x軸，y軸建立如圖所示的坐標(biāo)系．設(shè)正方形的邊長為1， 設(shè)P(t，t)(0

19、A＝EF. (2)·＝－t(t－1)＋(1－t)(－t) ＝－t2＋t－t＋t2＝0， 所以⊥，即PA⊥EF. 8．已知平面直角坐標(biāo)系內(nèi)三點(diǎn)A、B、C在一條直線上，滿足OA＝(－3，m＋1), OB＝(n，3), OC＝(7，4)，且⊥，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)． (1)求實(shí)數(shù)m, n的值； (2)設(shè)△AOC的重心為G，且OG＝OB，求cos∠AOC的值． 【解析】(1)因?yàn)槿c(diǎn)A, B, C在一條直線上，所以∥， 又＝(n＋3，2－m), ＝(7－n，1)， 所以n＋3＝(7－n)(2－m)，① 因?yàn)椤停裕?n＋3(m＋1)＝0，即n＝m＋1，② 由①、②解得或 (2)因

20、為G為△OAC的重心，且＝， 所以點(diǎn)B為線段AC的中點(diǎn)， 所以m＝1, n＝2. 所以＝(－3，2), ＝(7，4)， 因此cos∠AOC＝＝＝－. B組題 1．已知向量a，b，c且a＋b＋c＝0，|a|<|b|<|c|.設(shè)a與b的夾角為θ1，b與c的夾角為θ2，a與c的夾角為θ3，則θ1，θ2，θ3的大小關(guān)系是(　　) A．θ1<θ2<θ3 B．θ1<θ3<θ2 C．θ2<θ3<θ1 D．θ3<θ2<θ1 【解析】如圖，由|a|<|b|<|c|知：BC>BA>AC∠BAC>∠BCA>∠ABCθ1<θ3<θ2. 【答案】B 2．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)直線

21、y＝－x＋2與圓x2＋y2＝r2(r>0)交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若圓上一點(diǎn)C滿足＝＋，則r＝________． 【解析】由＝＋，得2＝2＋OB2＋2×|OA|×|OB|×cos∠AOB，∵|OA|＝|OB|＝|OC|＝r，∴r2＝r2＋r2cos∠AOB，解得cos∠AOB＝－.在△OAB中，由余弦定理可求得|AB|＝r，過點(diǎn)O作AB的垂線交AB于D，根據(jù)圓心到直線的距離|OD|＝＝，得＋＝r2，解得r2＝10，r＝. 【答案】 3．已知圓M：x2＋＝1，圓N：x2＋＝1，直線l1，l2分別過圓心M，N，且l1與圓M相交于A，B兩點(diǎn)，l2與圓N相交于C，D兩點(diǎn)，P是橢圓＋＝1上的

22、任意一動點(diǎn)，則·＋·的最小值為________． 【解析】·＝(＋)·(＋)＝2＋·(＋)＋·＝2－1， 同理：·＝2－1. 又P在橢圓上，所以||＋||＝2a＝4， ∴·＋·＝2＋2－2 ＝(||＋||)2－2|PM|·|PN|－2 ＝14－2|PM|·|PN|≥14－＝6. 【答案】6 4．已知拋物線y＝x2上兩點(diǎn)A，B滿足＝λ，λ＞0，其中，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0，1)，＝＋，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求： (1)∠AOB的大??； (2)四邊形OAMB的面積S的最小值． 【解析】(1)由＝λ，知A，P，B三點(diǎn)在同一直線上，設(shè)直線方程為y＝kx＋1，A(x1，x)，B(x2，x)． 由得x2－kx－1＝0，∴x1＋x2＝k，x1x2＝－1. ∵·＝x1x2＋xx＝－1＋(－1)2＝0， ∴⊥，∴∠AOB＝90°. (2)由＝＋，知四邊形OAMB是平行四邊形． 又∠AOB＝90°，∴四邊形OAMB是矩形． ∴S＝||||＝ ＝－x1x2＝ ＝＝， ∴k＝0時，Smin＝2. 備課札記 17