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1、能力升級練(十二)　概率 一、選擇題 1.有一個游戲,其規(guī)則是甲、乙、丙、丁四個人從同一地點隨機地向東、南、西、北四個方向前進,每人一個方向.事件“甲向南”與事件“乙向南”是(　　) A.互斥但非對立事件 B.對立事件 C.相互獨立事件 D.以上都不對 解析由于每人一個方向,事件“甲向南”與事件“乙向南”不能同時發(fā)生,但能同時不發(fā)生,故是互斥事件,但不是對立事件. 答案A 2.設(shè)事件A,B,已知P(A)=15,P(B)=13,P(A∪B)=815,則A,B之間的關(guān)系一定為(　　) A.兩個任意事件 B.互斥事件 C.非互斥事件 D.對立事件 解析因為P(A)+P(B)=15

2、+13=815=P(A∪B),所以A,B之間的關(guān)系一定為互斥事件. 答案B 3.(2018河北石家莊模擬)某產(chǎn)品分甲、乙、丙三級,其中乙、丙兩級均屬次品,在正常生產(chǎn)情況下,出現(xiàn)乙級品和丙級品的概率分別是5%和3%,則抽檢一件是正品(甲級)的概率為(　　) A.0.95 B.0.97 C.0.92 D.0.08 解析記“抽檢的產(chǎn)品是甲級品”為事件A,是“乙級品”為事件B,是“丙級品”為事件C,這三個事件彼此互斥,因而所求概率為P(A)=1-P(B)-P(C)=1-5%-3%=92%=0.92. 答案C 4.圍棋盒子中有多粒黑子和白子,已知從中取出2粒都是黑子的概率是17,都是白子的

3、概率是1235.則從中任意取出2粒恰好是同一色的概率是(　　) A.17 B.1235 C.1735 D.1 解析設(shè)“從中取出2粒都是黑子”為事件A,“從中取出2粒都是白子”為事件B,“任意取出2粒恰好是同一色”為事件C,則C=A∪B,且事件A與B互斥. 由于P(A)=17,P(B)=1235. 所以P(C)=P(A)+P(B)=17+1235=1735. 答案C 5.某同學同時擲兩顆均勻的正方體骰子,得到的點數(shù)分別為a,b,則橢圓x2a2+y2b2=1的離心率e>32的概率是(　　) A.118 B.536 C.16 D.13 解析同時擲兩顆均勻的正方體骰子,得到的點數(shù)分別為

4、a,b,共有6×6=36(種)情況. a>b時,若離心率e=1-b2a2>32,則a>2b,有a=3,b=1,a=4,b=1,a=5,b=1,a=6,b=1,a=5,b=2,a=6,b=2,共6種情況滿足條件. 同理a32的概率為6+636=13,故選D. 答案D 6.魔法箱中裝有6張卡片,上面分別寫著如下6個定義域為R的函數(shù):f1(x)=2x,f2(x)=2x,f3(x)=x2,f4(x)=sin x,f5(x)=cos x,f6(x)=1-2x1+2x.現(xiàn)從魔法箱中任取2張卡片,將卡片上的函數(shù)相乘得到一個新函數(shù),

5、所得新函數(shù)為奇函數(shù)的概率是(　　) A.25 B.35 C.12 D.13 解析由題意知,在已知的6個函數(shù)中,奇函數(shù)有f1(x),f4(x),f6(x),共3個;偶函數(shù)有f3(x),f5(x),共2個;非奇非偶函數(shù)為f2(x). 則從6張卡片中任取2張,根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)知,函數(shù)乘積為奇函數(shù)的有f1(x)·f3(x),f1(x)·f5(x),f4(x)·f3(x),f4(x)·f5(x),f6(x)·f3(x),f6(x)·f5(x),共6個,而已知的6個函數(shù)任意2個函數(shù)相乘,可得15個新函數(shù),所以所求事件的概率P=615=25.故選A. 答案A 7.某英語初學者在拼寫單詞“ste

6、ak”時,對后三個字母的記憶有些模糊,他只記得用“a”、“e”、“k”三個字母組成并且“k”只可能在最后兩個位置,如果他根據(jù)已有信息填入上述三個字母,那么他拼寫正確的概率為(　　) A.16 B.14 C.12 D.13 解析由題知可能的結(jié)果有:eak,aek,eka,ake,共4種,其中正確的只有一種eak, 所以拼寫正確的概率是14,故選B. 答案B 8.在三棱錐S-ABC內(nèi)任取一點P,使得三棱錐P-ABC的體積滿足V三棱錐P-ABC<12V三棱錐S-ABC的概率是(　　) A.78 B.34 C.12 D.14 解析三棱錐S-ABC與三棱錐P-ABC的底面相同,設(shè)三棱錐

7、S-ABC的底面面積為S,則三棱錐P-ABC的高h與三棱錐S-ABC的高h'滿足13Sh<12×13Sh',所以h

8、李.若小李能在10分鐘之內(nèi)到家,則快遞員等小李回來;否則,就將商品存放在快遞柜中.則小李需要去快遞柜收取商品的概率為(　　) A.19 B.89 C.512 D.712 解析設(shè)快遞員到小李家的時間為x,小李到家的時間為y, 由題意可得所有基本事件構(gòu)成的平面區(qū)域為(x,y)5≤x≤6,5.5≤y≤6,設(shè)“小李需要去快遞柜收取商品”為事件A,則事件A包含的基本事件構(gòu)成的平面區(qū)域為(x,y)5≤x≤6,5.5≤y≤6,y-x≥16,,如圖陰影部分所示的直角梯形. 在y-x=16中,當y=5.5時,x=163;當y=6時,x=356. ∴陰影部分的面積為S陰影=12×13+56×12=7

9、24,由幾何概型概率公式可得P(A)=S陰影S矩形=72412=712,小李需要去快遞柜收取商品的概率為712.故選D. 答案D 二、填空題 10.(2018河南鄭州三模)已知小李每次打靶命中靶心的概率都為40%,現(xiàn)采用隨機模擬的方法估計小李三次打靶恰有兩次命中靶心的概率.先由計算器產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機數(shù),指定0,1,2,3表示命中靶心,4,5,6,7,8,9表示未命中靶心,再以每三個隨機數(shù)為一組,代表三次打靶的結(jié)果,經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了如下20組隨機數(shù): 321 421 191 925 271 932 800 478 589 663 531 297 396 021 546 38

10、8 230 113 507 965 據(jù)此估計,小李三次打靶恰有兩次命中的概率為　　　　　.? 解析由題意知,在20組隨機數(shù)中表示三次打靶恰有兩次命中靶心的有421,191,271,932,800,531,共6組隨機數(shù),所以所求概率為620=0.3. 答案0.3 11.(2019北京東城區(qū)調(diào)研)經(jīng)統(tǒng)計,在銀行一個營業(yè)窗口每天上午9點鐘排隊等候的人數(shù)及相應(yīng)概率如下表: 排隊人數(shù) 0 1 2 3 4 ≥5 概率 0.1 0.16 0.3 0.3 0.1 0.04 則該營業(yè)窗口上午9點鐘時,至少有2人排隊的概率是　　　　　.? 解析由表格知,至少有2人排

11、隊的概率P=0.3+0.3+0.1+0.04=0.74. 答案0.74 12.記函數(shù)f(x)=6+x-x2的定義域為D.在區(qū)間[-4,5]上隨機取一個數(shù)x,則x∈D的概率是　　　　　.? 解析由6+x-x2≥0,解得-2≤x≤3,∴D=[-2,3]. 如圖,區(qū)間[-4,5]的長度為9,定義域D的長度為5, ∴P=59. 答案59 13.若m是集合{1,3,5,7,9,11}中任意選取的一個元素,則橢圓x2m+y22=1的焦距為整數(shù)的概率為　　　　　.? 解析m是集合{1,3,5,7,9,11}中任意選取的一個元素,∴基本事件總數(shù)為6, 又滿足橢圓x2m+y22=1的焦距為

12、整數(shù)的m的取值有1,3,11,共有3個,∴橢圓x2m+y22=1的焦距為整數(shù)的概率P=36=12. 答案12 三、解答題 14.甲、乙兩組各四名同學的植樹棵數(shù)如下,甲:9,9,11,11,乙:X,8,9,10,其中有一個數(shù)據(jù)模糊,無法確認,在圖中以X表示. (1)如果X=8,求乙組同學植樹棵數(shù)的平均數(shù)和方差; (2)如果X=9,分別從甲、乙兩組中隨機選取一名同學,求這兩名同學的植樹總棵數(shù)為19的概率. 解(1)當X=8時,乙組四名同學的植樹棵數(shù)分別是8,8,9,10,故x=8+8+9+104=354,s2=14×8-3542×2+9-3542+10-3542=1116. (2)當

13、X=9時,記甲組四名同學分別為A1,A2,A3,A4,他們植樹的棵數(shù)依次為9,9,11,11;乙組四名同學分別為B1,B2,B3,B4,他們植樹的棵數(shù)依次為9,8,9,10.分別從甲、乙兩組中隨機選取一名同學,其包含的基本事件為{A1,B1},{A1,B2},{A1,B3},{A1,B4},{A2,B1},{A2,B2},{A2,B3},{A2,B4},{A3,B1},{A3,B2},{A3,B3},{A3,B4},{A4,B1},{A4,B2},{A4,B3},{A4,B4},共16個.設(shè)“選出的兩名同學的植樹總棵數(shù)為19”為事件C,則事件C中包含的基本事件為{A1,B4},{A2,B4},

14、{A3,B2},{A4,B2},共4個.故P(C)=416=14. 15.2018年8月在重慶成功舉辦了首屆“智博會”.某科技開發(fā)公司甲、乙、丙三個部門的員工人數(shù)分別為108,72,72,現(xiàn)采用分層抽樣的方法從這三個部門中抽取7人到智博會參觀. (1)求從甲、乙、丙三個部門分別抽取的人數(shù); (2)從這7人中隨機抽取2人向全體員工作匯報,求這2人來自不同部門的概率. 解(1)抽取比例為7∶(108+72+72)=1∶36. 所以應(yīng)從甲、乙、丙三個部門分別抽取3人,2人,2人. (2)7人分別記為A1,A2,A3,B1,B2,C1,C2, 從中隨機抽取2人的所有可能情況有:A1A2,A1A3,A1B1,A1B2,A1C1,A1C2,A2A3,A2B1,A2B2,A2C1,A2C2,A3B1,A3B2,A3C1,A3C2,B1B2,B1C1,B1C2,B2C1,B2C2,C1C2,共21種. 其中,2人來自不同部門的可能情況有:A1B1,A1B2,A1C1,A1C2,A2B1,A2B2,A2C1,A2C2,A3B1,A3B2,A3C1,A3C2,B1C1,B1C2,B2C1,B2C2,共16種. 故所求事件的概率為1621. 9