《(江蘇專用)2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 加練半小時(shí) 專題8 立體幾何 第64練 向量法求解空間角 理(含解析)》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《(江蘇專用)2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 加練半小時(shí) 專題8 立體幾何 第64練 向量法求解空間角 理(含解析)(8頁珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、第64練 向量法求解空間角
[基礎(chǔ)保分練]
1.如圖所示,已知空間四邊形OABC中OB=OC,且∠AOB=∠AOC=,則cos〈,〉的值為________.
2.如圖,四邊形ABCD和ADPQ均為正方形,它們所在的平面互相垂直,則異面直線AP與BD所成的角為______.
3.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E是C1D1的中點(diǎn),則異面直線DE與AC所成的角的余弦值為________.
4.已知正四棱錐S-ABCD的側(cè)棱長與底面邊長都相等,E是SB的中點(diǎn),則AE,SD所成角的余弦值為________.
5.(2019·無錫模擬)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M
2、,N分別是A1B1,A1C1的中點(diǎn),則異面直線BM與AN所成角的余弦值為________.
6.如圖,在三棱錐O-ABC中,OA=OB=OC=1,∠AOB=90°,OC⊥平面AOB,D為AB的中點(diǎn),則OD與平面OBC所成的角為________.
7.平面α的一個(gè)法向量為n=(1,-,0),則y軸與平面α所成的角的大小為________.
8.(2019·江蘇鹽城中學(xué)期中)如圖所示,在空間四邊形OABC中,OA=8,AB=6,AC=4,BC=5,∠OAC=45°,∠OAB=60°,則異面直線OA與BC所成的角的余弦值為________.
9.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,
3、異面直線A1D與CD1所成的角為____________,二面角B-A1C-D的大小為________.
10.如圖,在三棱錐S-ABC中,SA=SB=SC,且∠ASB=∠BSC=∠CSA=,M,N分別是AB和SC的中點(diǎn).則直線SM與平面SAC所成角的大小為________.
[能力提升練]
1.如圖所示,正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱長(包括底面邊長)都是2,E,F(xiàn)分別是AB,A1C1的中點(diǎn),則EF與側(cè)棱C1C所成角的余弦值是________.
2.已知空間向量a,b滿足|a|=|b|=1,且a,b的夾角為,O為空間直角坐標(biāo)系的原點(diǎn),點(diǎn)A,B滿足=2a+b,=3a-b,則
4、△OAB的面積為________.
3.過正方形ABCD的頂點(diǎn)A,引PA⊥平面ABCD.若PA=BA,則平面ABP和平面CDP所成二面角的大小是________.
4.如圖所示,四邊形ABCD是邊長為1的正方形,MD⊥平面ABCD,NB⊥平面ABCD,且MD=NB=1,E為BC的中點(diǎn).則異面直線NE與AM所成角的余弦值為________.
5.(2019·江蘇南通中學(xué)月考)已知三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱長與底面邊長都相等,A1在底面ABC內(nèi)的射影為△ABC的中心,則AB1與底面ABC所成角的正弦值等于________.
6.已知△ABC是邊長為1的正三角形,PA⊥平面ABC,
5、且PA=1,若點(diǎn)A關(guān)于直線PC的對(duì)稱點(diǎn)為D,則直線AD與BC所成角的余弦值是________.
答案精析
基礎(chǔ)保分練
1.0 2.60° 3. 4. 5.
6.45°
解析 以O(shè)為原點(diǎn),以O(shè)A為x軸,OB為y軸,OC為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,
則O(0,0,0),A(1,0,0),B(0,1,0),
D,
C(0,0,1),
由題意得OB⊥OA,OA⊥OC,
∴是平面BOC的法向量,
設(shè)OD與平面OBC的夾角為θ,θ∈[0°,90°],
則sinθ=|cos〈,〉|==,
∴θ=45°,
∴OD與平面OBC的夾角為45°.
7.
解析 y軸
6、的一個(gè)方向向量為m=(0,1,0),
設(shè)y軸與平面α所成的角為θ,
則sinθ=|cos〈m,n〉|.
∵cos〈m,n〉===-,
∴sinθ=,∵θ∈,∴θ=.
8.
解析 因?yàn)椋剑?
所以·=·-·
=||·||·cos〈,〉-||·||·cos〈,〉
=8×4×cos135°-8×6×cos120°
=24-16,
所以cos〈,〉=
==.
所以O(shè)A與BC的夾角的余弦值為.
9.60° 60°
解析 以D為原點(diǎn),DA為x軸,DC為y軸,DD1為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,
設(shè)正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,
則A1(1,0,1),D(0,0
7、,0),C(0,1,0),
D1(0,0,1),B(1,1,0),
=(-1,0,-1),=(0,-1,1),
設(shè)異面直線A1D與CD1所成的角為θ,θ∈(0°,90°],
則cosθ==
=,
∴θ=60°,
∴異面直線A1D與CD1所成的角為60°.
=(1,0,1),=(0,1,0),=(1,-1,1),=(1,0,0),
設(shè)平面DCA1的法向量n=(x1,y1,z1),
則取x1=1,
得n=(1,0,-1),
設(shè)平面BCA1的法向量m=(x2,y2,z2),
則
取y2=1,得m=(0,1,1),
設(shè)二面角B-A1C-D的大小為α,α為銳角,
則cos
8、α===,
∴α=60°,
∴二面角B-A1C-D的大小為60°.
10.
解析 因?yàn)椤螦SB=∠BSC=∠CSA=,
所以以S為坐標(biāo)原點(diǎn),SA,SB,SC為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系(圖略).
設(shè)SA=SB=SC=2,
則M(1,1,0),B(0,2,0),N(0,0,1),A(2,0,0),C(0,0,2),
所以=(1,1,0),
設(shè)平面SAC的一個(gè)法向量為=(0,2,0),
則由cos〈,〉==得〈,〉=,
所以直線SM與平面SAC所成角的大小為-=.
能力提升練
1. 2.
3.45°
解析 以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB,AD,AP所在直線分別為x軸,
9、y軸,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,設(shè)AB=1,易得平面APB的一個(gè)法向量為n1=(0,1,0),平面PCD的一個(gè)法向量為n2=(0,1,1),
故平面ABP與平面CDP所成二面角的余弦值為=,
故所求二面角的大小是45°.
4.
解析 如圖,以D為坐標(biāo)原點(diǎn),DA,DC,DM所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz.
依題意得
D(0,0,0),A(1,0,0),M(0,0,1),C(0,1,0),B(1,1,0),N(1,1,1),E,
所以=,
=(-1,0,1),
因?yàn)閨cos〈,〉|=
==.
所以異面直線NE與AM所成角的余弦值
10、為.
5.
解析 設(shè)A1在底面ABC內(nèi)的射影為O,過O作OH∥BC交AB于點(diǎn)H,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以,,的方向?yàn)閤軸,y軸,z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系(圖略).
設(shè)△ABC的邊長為1,
則A,B1,
∴=,
平面ABC的法向量n=(0,0,1),
則AB1與底面ABC所成角α的正弦值
sinα=|cos〈,n〉|==.
6.
解析 如圖,取AC的中點(diǎn)O,連結(jié)BO,PO,
∵△ABC是邊長為1的正三角形,
∴BO⊥AC,
∵PA⊥平面ABC,BO?平面ABC,
∴BO⊥PA,
∵AC∩PA=A,AC,PA?平面PAC,
∴BO⊥平面APC,
如圖,以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AC,AP所在直線分別為y軸,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,易得AD與PC的交點(diǎn)H為PC中點(diǎn),
則A(0,0,0),B,C(0,1,0),H,=,
=,
cos〈,〉==.
即直線AD與BC所成角的余弦值為.
8