(魯京津瓊專用)2020版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第十二章 概率、隨機(jī)變量及其分布 模擬試卷(一)(含解析)
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1、模擬試卷(一)
(時(shí)間:120分鐘 滿分:150分)
一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分)
1.設(shè)集合A={x|-1 2、又在(-∞,0)上單調(diào)遞增的是( )
A.f(x)=2x-2-x B.f(x)=x2-1
C.f(x)=xcosx D.f(x)=-ln|x|
答案 D
解析 A中,f(-x)=2-x-2x=-f(x),不是偶函數(shù),A錯(cuò);
B中,f(-x)=(-x)2-1=x2-1=f(x),是偶函數(shù),但在(-∞,0)上單調(diào)遞減,B錯(cuò);
C中,f(-x)=-xcos(-x)=-xcosx=-f(x),不是偶函數(shù),C錯(cuò);
D中,f(-x)=-ln|-x|=-ln|x|=f(x),是偶函數(shù),且函數(shù)在(-∞,0)上單調(diào)遞增,故選D.
4.設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且Sn=k·2n-3,則 3、ak等于( )
A.4B.8C.12D.16
答案 C
解析 當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=k·2n-1;
當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=2k-3=k·21-1,解得k=3,
∴ak=a3=3·23-1=12.
故選C.
5.已知sinα+cosα=-,2sinα-cosα=-,則cos2α等于( )
A.B.-C.D.-
答案 A
解析 因?yàn)樗詓inα=-,
從而cos2α=1-2sin2α=.故選A.
6.已知x0=是函數(shù)f(x)=sin(2x+φ)的一個(gè)極大值點(diǎn),則f(x)的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間是( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 ∵x0= 4、是函數(shù)f(x)=sin(2x+φ)的一個(gè)極大值點(diǎn),∴f=sin=1,
∴+φ=+2kπ,k∈Z,
∴φ=-+2kπ,k∈Z,
∴f(x)=sin=sin.
由-+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z,
得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,
令k=1,得≤x≤,
∴函數(shù)f(x)的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間為,
結(jié)合各選項(xiàng)可得C符合題意.
故選C.
7.函數(shù)f(x)=有兩個(gè)不同的零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A.a(chǎn)≤2B.a(chǎn)<2C.a(chǎn)≥2D.a(chǎn)>2
答案 C
解析 由題意得,當(dāng)x<1時(shí),函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)x=;
當(dāng)x≥1時(shí),令2x2-ax=0,得x=,
要使函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn),則只 5、需≥1,解得a≥2.
故選C.
8.(2019·安徽省江淮名校試題)Rt△ABC的斜邊AB等于4,點(diǎn)P在以C為圓心,1為半徑的圓上,則·的取值范圍是( )
A. B.
C.[-3,5] D.[1-2,1+2]
答案 C
解析 ·=(+)·(+)
=2+(+)·+·.
注意·=0,2=1,|+|=4.
·=1+(+)·.
所以當(dāng)與+同向時(shí)取最大值5,反向時(shí)取最小值-3.故選C.
9.(1+x)5的展開式中x2的系數(shù)為( )
A.1B.-9C.31D.-19
答案 B
解析 (1+x)5的展開式中第k+1項(xiàng)為Tk+1=Cxk,其中x2的系數(shù),常數(shù)項(xiàng),x3的系數(shù)分別為 6、C,C,C,故(1+x)5的展開式中x2的系數(shù)為C+C-2C=-9.故選B.
10.如圖,B是AC上一點(diǎn),分別以AB,BC,AC為直徑作半圓.過B作BD⊥AC,與半圓相交于D. AC=6,BD=2,在整個(gè)圖形中隨機(jī)取一點(diǎn),則此點(diǎn)取自圖中陰影部分的概率是( )
A.B.C.D.
答案 C
解析 連接AD,CD,
可知△ACD是直角三角形,又BD⊥AC,所以BD2=AB·BC,設(shè)AB=x(0 7、
11.如圖,已知F1,F(xiàn)2是雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn),若直線y=x與雙曲線C交于P,Q兩點(diǎn),且四邊形PF1QF2是矩形,則雙曲線的離心率為( )
A.5-2B.5+2C.+1D.-1
答案 C
解析 由題意,矩形的對角線長相等,
將y=x代入-=1(a>0,b>0),
可得x=±,y=±·,
∴=c2,
∴4a2b2=(b2-3a2)c2,
∴4a2(c2-a2)=(c2-4a2)c2,
∴e4-8e2+4=0,
∵e>1,∴e2=4+2,∴e=+1.
故選C.
12.設(shè)正三棱錐P-ABC的每個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為2的球O的球面上,則三棱錐P- 8、ABC體積的最大值為( )
A.B.C.D.
答案 C
解析 設(shè)正△ABC的邊長為a,中心為O′,則|O′A|=a,在Rt△OO′A中,由勾股定理可得|OO′|=,
故三棱錐的高h(yuǎn)=|PO′|=|OO′|+2=+2,
所以VP-ABC=S△ABC·h
=×a2.
設(shè)=t(0≤t<2),則=4-t2,
則V(t)=(4-t2)(t+2)=(-t3-2t2+4t+8),
所以V′(t)=(-3t2-4t+4),
令V′(t)=0,則t=或t=-2(舍),
當(dāng)t∈時(shí),V′(t)>0,V(t)單調(diào)遞增;
當(dāng)t∈時(shí),V′(t)<0,V(t)單調(diào)遞減.
故V(t)max=V=. 9、
故選C.
二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分)
13.已知向量a,b的夾角為45°,且|a|=|b|=2,則a·(a-b)=________.
答案 0
解析 a·(a-b)=a2-a·b
=4-×2×2×=0.
14.若函數(shù)f(x)=(a+1)x3+ax2-2x為奇函數(shù),則曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為________________________________________________________________________.
答案 x-y-2=0
解析 f(x)=(a+1)x3+ax2-2x為奇函數(shù),則a=0,
∴ 10、f(x)=x3-2x,
f′(x)=3x2-2,∴f′(1)=3×12-2=1,又f(1)=-1,
曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為y+1=x-1,即x-y-2=0.
15.(2019·安徽省江淮名校聯(lián)考)已知正數(shù)a,b滿足a+b=1,則+的最大值為________.
答案
解析 令x=a+1,y=b+2,則x+y=4,
所以+=2-=2-(x+y)·=2-≤2-
=,
當(dāng)且僅當(dāng)=時(shí),等號成立,
此時(shí)a=4-5,b=6-4.
故最大值為.
16.設(shè)m∈R,若函數(shù)f(x)=|x3-3x-m|在x∈[0,]上的最大值與最小值之差為2,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_ 11、_______.
答案 (-∞,-2]∪[0,+∞)
解析 設(shè)g(x)=x3-3x,x∈[0,],
則g′(x)=3x2-3=3(x-1)(x+1),
∴函數(shù)y=g(x)在區(qū)間[0,1)上單調(diào)遞減,在區(qū)間(1,]上單調(diào)遞增.
∵g(0)=0,g(1)=-2,g()=0,
∴函數(shù)y=g(x)在區(qū)間[0,]上的值域?yàn)閇-2,0],最大值與最小值之差為2,
∴函數(shù)y=x3-3x-m,x∈[0,]的值域?yàn)閇-2-m,-m],最大值與最小值之差也為2.
∵函數(shù)f(x)=|x3-3x-m|在x∈[0,]上的最大值與最小值之差為2,∴-2-m≥0或-m≤0,
解得m≤-2或m≥0.
∴實(shí) 12、數(shù)m的取值范圍為(-∞,-2]∪[0,+∞).
三、解答題(本大題共70分)
17.(10分)設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,S9=81,a2+a3=8.
(1)求{an}的通項(xiàng)公式;
(2)若S3,a14,Sm成等比數(shù)列,求S2m.
解 (1)∵∴
故an=1+(n-1)×2=2n-1(n∈N*).
(2)由(1)知,Sn==n2.
∵S3,a14,Sm成等比數(shù)列,∴S3·Sm=a,
即9m2=272,解得m=9,故S2m=182=324.
18.(12分)如圖,D是Rt△ABC斜邊BC上一點(diǎn),AC=DC.
(1)若∠DAC=30°,求角B的大小;
(2)若B 13、D=2DC,且AD=2,求DC的長.
解 (1)在△ABC中,根據(jù)正弦定理,
有=.
因?yàn)锳C=DC,所以sin∠ADC=sin∠DAC=.
又∠ADC=∠B+∠BAD=∠B+60°>60°,
所以∠ADC=120°.
于是∠C=180°-120°-30°=30°,所以∠B=60°.
(2)設(shè)DC=x,則BD=2x,BC=3x,AC=x.
于是sinB==,cosB=,AB=x.
在△ABD中,由余弦定理,得
AD2=AB2+BD2-2AB·BDcosB,
即(2)2=6x2+4x2-2×x×2x×=2x2,得x=2.
故DC=2.
19.(12分)如圖,四邊形ABC 14、D為正方形,BE∥DF,且AB=BE=DF=EC,AB⊥平面BCE.
(1)證明:平面AEC⊥平面BDFE;
(2)求二面角A-FC-D的余弦值.
(1)證明 ∵四邊形ABCD為正方形,∴AC⊥BD.
∵AB=BC=BE=EC,∴BE2+BC2=EC2,∴BE⊥BC.
又∵AB⊥平面BCE,∴AB⊥BE.
∵AB∩BC=C,∴BE⊥平面ABCD,∴BE⊥AC.
又BE∩BD=B,∴AC⊥平面BDFE,
∵AC?平面AEC,∴平面AEC⊥平面BDEF.
(2)解 ∵BE⊥平面ABCD,BE∥DF,∴DF⊥平面ABCD.
以D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-x 15、yz,令A(yù)B=1,
則A(1,0,0),C(0,1,0),E(1,1,1),F(xiàn)(0,0,1),
則=(0,1,-1),=(-1,1,0),
設(shè)平面AFC的法向量為n1=(x1,y1,z1),
則
令x1=1,則n1=(1,1,1).
易知平面FCD的一個(gè)法向量n2=(1,0,0),
∴cos〈n1,n2〉==.
二面角A-FC-D為銳角,
∴二面角A-FC-D的余弦值為.
20.(12分)某中學(xué)為了解中學(xué)生的課外閱讀時(shí)間,決定在該中學(xué)的1200名男生和800名女生中按分層抽樣的方法抽取20名學(xué)生,對他們的課外閱讀時(shí)間進(jìn)行問卷調(diào)查.現(xiàn)在按課外閱讀時(shí)間的情況將學(xué)生分成三類:A類 16、(不參加課外閱讀),B類(參加課外閱讀,但平均每周參加課外閱讀的時(shí)間不超過3小時(shí)),C類(參加課外閱讀,且平均每周參加課外閱讀的時(shí)間超過3小時(shí)).調(diào)查結(jié)果如下表:
A類
B類
C類
男生
x
5
3
女生
y
3
3
(1)求出表中x,y的值;
(2)根據(jù)表中的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù),完成下面的列聯(lián)表,并判斷是否有90%的把握認(rèn)為“參加閱讀與否”與性別有關(guān);
男生
女生
總計(jì)
不參加課外閱讀
參加課外閱讀
總計(jì)
(3)從抽出的女生中再隨機(jī)抽取3人進(jìn)一步了解情況,記X為抽取的這3名女生中A類人數(shù)和C類人數(shù)差的絕對值,求 17、X的均值.
附:K2=.
P(K2≥k0)
0.10
0.05
0.01
k0
2.706
3.841
6.635
解 (1)設(shè)抽取的20人中,男、女生人數(shù)分別為n1,n2,
則
所以x=12-5-3=4,y=8-3-3=2.
(2)列聯(lián)表如下:
男生
女生
總計(jì)
不參加課外閱讀
4
2
6
參加課外閱讀
8
6
14
總計(jì)
12
8
20
K2的觀測值k==
≈0.159<2.706,
所以沒有90%的把握認(rèn)為“參加閱讀與否”與性別有關(guān).
(3)X的可能取值為0,1,2,3,
則P(X=0)==,
P(X=1)= 18、=,
P(X=2)==,P(X=3)==,
所以E(X)=0×+1×+2×+3×=.
21.(12分)在直角坐標(biāo)系xOy中,直線y=x+4與拋物線C:x2=2py(p>0)交于A,B兩點(diǎn),且OA⊥OB.
(1)求C的方程;
(2)試問:在x軸的正半軸上是否存在一點(diǎn)D,使得△ABD的外心在C上?若存在,求出D的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
解 (1)聯(lián)立
得x2-2px-8p=0,Δ=4p2+32p>0,
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=2p,x1x2=-8p,
從而y1y2=(x1+4)(x2+4)=x1x2+4(x1+x2)+16.
∵OA⊥OB,∴· 19、=x1x2+y1y2
=2x1x2+4(x1+x2)+16=0,
即-16p+8p+16=0,解得p=2,故C的方程為x2=4y.
(2)設(shè)線段AB的中點(diǎn)為N(x0,y0),
由(1)知,x0==2,y0=x0+4=6,
則線段AB的中垂線方程為y-6=-(x-2),
即y=-x+8.
聯(lián)立得x2+4x-32=0,解得x=-8或4,
從而△ABD的外心P的坐標(biāo)為(4,4)或(-8,16).
假設(shè)存在點(diǎn)D(m,0)(m>0),設(shè)P的坐標(biāo)為(4,4),
∵|AB|=
=×=4,
∴|PA|==4,
則|DP|==4.
∵m>0,∴m=4+4.
若P的坐標(biāo)為(-8,16 20、),
則|PA|==4,
|DP|=>4,
則P的坐標(biāo)不可能為(-8,16).
故在x軸的正半軸上存在一點(diǎn)D(4+4,0),使得△ABD的外心在C上.
22.(12分)(2019·安徽省江淮名校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)=ex+ax2在x=1處的切線方程為y=bx+1.
(1)求a,b的值;
(2)證明:當(dāng)x>0時(shí)ex+2x≥x2+ex+1.
(1)解 f′(x)=ex+2ax,
由題設(shè)解得
(2)證明 實(shí)際上是證明當(dāng)x>0時(shí),f(x)=ex-x2的圖象在直線y=(e-2)x+1的上方.
令g(x)=ex-x2-(e-2)x-1,x>0,則g′(x)=ex-2x-e+2,令t 21、(x)=ex-2x-e+2,則t′(x)=ex-2,
所以g′(x)在(0,ln2)上單調(diào)遞減,在(ln2,+∞)上單調(diào)遞增;g′(x)在x=ln2處取唯一的極小值.
注意到g′(0)=3-e>0,g′(1)=0,而0
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