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1、,1.直線運動的瞬時速度問題,一質點作直線運動,已知路程 s 與時間 t 的,試確定t0時的瞬時速度v(t0).,這段時間內的平均速度,在每個時刻的速度.,解,若運動是勻速的,平均速度就等于質點,一、問題的提出,關系,質點走過的路程,此式既是它的定義式,又指明了它的計算,它越近似的,定義為,并稱之為t0時的瞬時速度v(t0).,瞬時速度是路程對時間的變化率.,若運動是非勻速的,平均速度,是這段,時間內運動快慢的平均值,越小,表明 t0 時運動的快慢.,因此, 人們把 t0時的速度,注,方法,割線的極限位置,對于一般曲線如何定義其切線呢?,2.曲線的切線斜率問題,若已知平面曲線,如何作過,的切線

2、呢.,初等數(shù)學中并沒有給出曲線切線的定義.,過該點的切線.,我們知道與圓周有唯一交點的直線,即為圓周,但此定義不適應其它曲線.,如,與拋物線有唯一交點的直線不一定是切線.,切線位置.,?,曲線上點,法國,數(shù)學家費馬在1629年提出了如下的定義和求法,P.de Fermat 1601-1665,從而圓滿地解決了這個問題.,如圖,如果割線MN繞點M旋轉而趨向極限位置MT,直線MT就稱為曲線C在點M處的切線.,極限位置即,二、導數(shù)的定義,定義,其它形式,即,處不可導或導數(shù)不存在.,特別當(1)式的極限為,有時也說在x0處導數(shù)是正(負)無,當極限(1)式不存在時,就說函數(shù) f (x)在x0,正(負)無

3、窮時,窮大,但這時導數(shù)不存在.,關于導數(shù)的說明：,注意:,播放,2.導函數(shù)(瞬時變化率)是函數(shù)平均變化率的逼近函數(shù).,例,用導數(shù)表示下列極限,解,練習,解,2.右導數(shù):,單側導數(shù),1.左導數(shù):,三、由定義求導數(shù),步驟:,例,解,例,解,更一般地,例如,例,解,例,解,例,解,例,解,四、導數(shù)的幾何意義與物理意義,1.幾何意義,切線方程為,法線方程為,例,解,由導數(shù)的幾何意義, 得切線斜率為,所求切線方程為,法線方程為,2.物理意義,非均勻變化量的瞬時變化率.,變速直線運動:路程對時間的導數(shù)為物體的瞬時速度.,交流電路:電量對時間的導數(shù)為電流強度.,非均勻的物體:質量對長度(面積,體積)的導數(shù)為

4、物體的線(面,體)密度.,五、可導與連續(xù)的關系,定理 凡可導函數(shù)都是連續(xù)函數(shù).,證,連續(xù)函數(shù)不存在導數(shù)舉例,例如,注意: 該定理的逆定理不成立.,例如,例如,例,解,練習,為了使 f(x) 在x0處可導,解,首先函數(shù)必須在x0處連續(xù).,由于,故應有,又因,應如何選取a,b ?,從而,當,f(x) 在x0處可導.,六、小結,1. 導數(shù)的實質: 增量比的極限;,3. 導數(shù)的幾何意義: 切線的斜率;,4. 函數(shù)可導一定連續(xù)，但連續(xù)不一定可導;,5. 求導數(shù)最基本的方法: 由定義求導數(shù).,6. 判斷可導性,不連續(xù),一定不可導.,連續(xù),直接用定義;,看左右導數(shù)是否存在且相等.,思考題1,思考題1解答,思

5、考題2,(是非題),非,可導;,但,不可導.,非,但,不可導.,作業(yè),習題2-1(85頁),4. 6. 8.(3)(4) 9. (2) 11.,練習題答案,2.切線問題,割線的極限位置切線位置,2.切線問題,割線的極限位置切線位置,2.切線問題,割線的極限位置切線位置,2.切線問題,割線的極限位置切線位置,2.切線問題,割線的極限位置切線位置,2.切線問題,割線的極限位置切線位置,2.切線問題,割線的極限位置切線位置,2.切線問題,割線的極限位置切線位置,2.切線問題,割線的極限位置切線位置,2.切線問題,割線的極限位置切線位置,2.導函數(shù)(瞬時變化率)是函數(shù)平均變化率的逼近函數(shù).,2.導函數(shù)(瞬時變化率)是函數(shù)平均變化率的逼近函數(shù).,2.導函數(shù)(瞬時變化率)是函數(shù)平均變化率的逼近函數(shù).,2.導函數(shù)(瞬時變化率)是函數(shù)平均變化率的逼近函數(shù).,2.導函數(shù)(瞬時變化率)是函數(shù)平均變化率的逼近函數(shù).,2.導函數(shù)(瞬時變化率)是函數(shù)平均變化率的逼近函數(shù).,2.導函數(shù)(瞬時變化率)是函數(shù)平均變化率的逼近函數(shù).,2.導函數(shù)(瞬時變化率)是函數(shù)平均變化率的逼近函數(shù).,2.導函數(shù)(瞬時變化率)是函數(shù)平均變化率的逼近函數(shù).,2.導函數(shù)(瞬時變化率)是函數(shù)平均變化率的逼近函數(shù).,2.導函數(shù)(瞬時變化率)是函數(shù)平均變化率的逼近函數(shù).,2.導函數(shù)(瞬時變化率)是函數(shù)平均變化率的逼近函數(shù).,