學(xué)案18　基本不等式及其應(yīng)用 班級________姓名________ 【導(dǎo)學(xué)目標】 1.了解基本不等式的證明過程.2.會用基本不等式解決簡單的最大(小)值問題． 【知識梳理】 1．基本不等式≤ (1)基本不等式成立的條件：____________. (2)等號成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)________時取等號． 2．幾個重要的不等式 (1)a2＋b2≥__________(a,b∈R)． (2)＋≥____(a,b同號). (3)ab≤2 (a,b∈R)． 3．算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù) 設(shè)a>0，b>0，則a，b的算術(shù)平均數(shù)為________，幾何平均數(shù)為________； 基本不等式可敘述為：________________________________________________. 4．利用基本不等式求最值問題 已知x>0，y>0，則 (1)如果積xy是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)________時，x＋y有最____值是________(簡記：積定和最小)． (2)如果和x＋y是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)________時，xy有最____值是__________(簡記：和定積最大)． 5．一個結(jié)論： 【自我檢測】 1．若x>0，y>0，且x＋y＝18，則xy的最大值是________． 2．已知t>0，則函數(shù)y＝的最小值為________． 3．已知x>0，y>0，且2x＋y＝1，則＋的最小值是_________． 4．若正數(shù)x，y滿足x＋3y＝5xy，則3x＋4y的最小值是(　　) A. B. C．5 D．6 5．圓x2＋y2＋2x－4y＋1＝0關(guān)于直線2ax－by＋2＝0 (a，b∈R)對稱，則ab的取值范圍是 (　　) A. B. C. D. 6．下列函數(shù)中，最小值為4的函數(shù)是(　　) A．y＝x＋ B．y＝sin x＋(0<x<π) C．y＝ex＋4e－x D．y＝log3x＋logx81 【典型例題】 探究一　利用基本不等式求最值 【例1】　(1)已知x>0，y>0，且＋＝1，求x＋y的最小值； (2)已知x>，求函數(shù)y＝4x－2＋的最小值； (3)已知x<，求函數(shù)y＝4x－2＋的最大值； 變式1　已知a>0，b>0，a＋b＝2，則y＝＋的最小值是(　　) A. B．4 C. D．5 探究二　基本不等式在證明不等式中的應(yīng)用 【例2】　已知a>0，b>0，a＋b＝1，求證：(1＋)(1＋)≥9. 探究三　基本不等式的實際應(yīng)用 【例3】　某單位用2 160萬元購得一塊空地，計劃在該空地上建造一棟至少10層，每層2 000平方米的樓房．經(jīng)測算，如果將樓房建為x(x≥10)層，則每平方米的平均建筑費用為560＋48x(單位：元)． (1)寫出樓房平均綜合費用y關(guān)于建造層數(shù)x的函數(shù)關(guān)系式； (2)該樓房應(yīng)建造多少層時，可使樓房每平方米的平均綜合費用最少？最少值是多少？ (注：平均綜合費用＝平均建筑費用＋平均購地費用，平均購地費用＝) 變式3　某車間分批生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每批的生產(chǎn)準備費用為800元．若每批生產(chǎn)x件，則平均倉儲時間為天，且每件產(chǎn)品每天的倉儲費用為1元．為使平均到每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準備費用與倉儲費用之和最小，每批應(yīng)生產(chǎn)產(chǎn)品 (　　) A．60件 B．80件 C．100件 D．120件 【課后練習(xí)與提高】 1．設(shè)a，b滿足2a＋3b＝6，a>0，b>0，則＋的最小值為(　　) A. B. C. D．4 2．設(shè)0<a<b，則下列不等式中正確的是 (　　) A．a(chǎn)<b<< B．a(chǎn)<<<b C．a(chǎn)<<b< D.<a<<b 3．設(shè)a>0，b>0，若是3a與3b的等比中項，則＋的最小值為(　　) A．8 B．4 C．1 D. 4．已知不等式(x＋y)≥9對任意正實數(shù)x，y恒成立，則正實數(shù)a的最小值為(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 5．已知a>0，b>0，則＋＋2的最小值是(　　) A．2 B．2 C．4 D．5 6．已知0<x<1，則x(3－3x)取得最大值時x的值為 (　　) A. B. C. D. 7．已知x，y∈R＋，且滿足＋＝1，則xy的最大值為_______________． 8．若正實數(shù)x，y滿足2x＋y＋6＝xy，則xy的最小值是________． 9．x＋的值域為___________________. 10．設(shè)函數(shù)f(x)＝2x＋－1(x<0)，則f(x)有最________值為________． 11．已知0<x<，求x(4－3x)的最大值； 12．點(x，y)在直線x＋2y＝3上移動，求2x＋4y的最小值． 13．?；~塘是某地一種獨具地方特色的農(nóng)業(yè)生產(chǎn)形式，某研究單位打算開發(fā)一個桑基魚塘項目，該項目準備購置一塊1 800平方米的矩形地塊，中間挖出三個矩形池塘養(yǎng)魚，挖出的泥土堆在池塘四周形成基圍(陰影部分所示)種植桑樹，池塘周圍的基圍寬均為2米，如圖，設(shè)池塘所占的總面積為S平方米． (1)試用x表示S； (2)當(dāng)x取何值時，才能使得S最大？并求出S的最大值．