高中數(shù)學 第一章 統(tǒng)計 5_1 估計總體的分布學案 北師大版必修31
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5 用樣本估計總體 5.1 估計總體的分布 1.通過實例進一步體會用樣本估計總體的意義和作用,在表示樣本數(shù)據(jù)的過程中,學會列頻率分布表,畫頻率分布直方圖、頻率折線圖,并體會它們各自的特點. 2.在解決統(tǒng)計問題的過程中,進一步體會用樣本估計總體的思想,會用樣本的頻率分布估計總體分布,初步體會樣本頻率分布的隨機性. 1.以寬度分組Δxi為底,以各組頻率除以Δxi的商為高,分別畫成小矩形,小矩形的面積恰為______________,通常這樣的圖形我們稱為__________________. 頻率分布直方圖中,每個小矩形的面積表示相應組的________,所有小矩形的面積的總和等于______. 頻率分布直方圖的特征:直觀、形象地反映了樣本的分布規(guī)律;可以清楚地看出數(shù)據(jù)分布的總體趨勢.但是從頻率分布直方圖得不出原始的數(shù)據(jù)內(nèi)容,把數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖后,原有的具體數(shù)據(jù)信息就被抹掉了. 2.在頻率分布直方圖中,按照分組原則,再在左邊和右邊各加一個區(qū)間,從所加的左邊區(qū)間的________開始,用線段依次連接各個矩形的頂端中點,直至右邊所加區(qū)間的中點,就可以得到一條________,我們稱之為頻率折線圖,有時也用它來估計總體的分布情況. 【做一做1】頻率分布直方圖中,各小矩形面積的和等于( ). A.0 B. C.1 D.不確定 【做一做2】在畫頻率分布直方圖時,某組的頻數(shù)為10,樣本容量為50,總體容量為600,則該組的頻率是( ). A. B. C. D.不確定 【做一做3】一個容量為20的樣本數(shù)據(jù),分組后,組距與頻數(shù)如下:(10,20],2;(20,30],3;(30,40],4;(40,50],5;(50,60],4;(60,70],2.則樣本在區(qū)間(-∞,50]內(nèi)的頻率為______. 1.列頻率分布表的步驟是什么? 剖析:(1)計算數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差稱為極差,算出極差就知道數(shù)據(jù)變動的范圍. (2)決定組數(shù)與寬度分組Δxi. (3)決定分點. (4)列頻率分布表,數(shù)據(jù)落在第i個小組內(nèi)的個數(shù)為頻數(shù)ni;每小組的頻數(shù)與數(shù)據(jù)總數(shù)的比值叫做這一小組的頻率fi,算出各小組的頻率;為畫圖的方便還需計算出填入表中. 寬度分組(Δxi) 頻數(shù)(ni) 頻率(fi) 頻率分布表在數(shù)量表示上比較確切,而頻率分布直方圖比較直觀,兩者相互補充,使我們對數(shù)據(jù)的頻率分布情況了解得更加清楚. 2.畫頻率分布直方圖要注意什么? 剖析:(1)注意問題: ①頻率分布直方圖的橫軸表示數(shù)據(jù),縱軸表示. ②在頻率分布直方圖中,各小矩形的面積之和等于1. 同樣一組數(shù)據(jù),分組時組距要相等,每個矩形的高和頻率成正比,這點畫圖時應特別注意. (2)意義:用圖形的面積的大小來表示各區(qū)間內(nèi)取值的頻率. 題型一 畫頻率分布直方圖 【例題1】某中學同年級40名男生的體重數(shù)據(jù)如下(單位:kg): 61 60 59 59 59 58 58 57 57 57 57 56 56 56 56 56 56 56 55 55 55 55 54 54 54 54 53 53 52 52 52 52 52 51 51 51 50 50 49 48 列出樣本的頻率分布表,畫出頻率分布直方圖. 分析:畫頻率分布直方圖的一般步驟:算極差,找組距,定分點,列頻率分布表,畫頻率分布直方圖. 反思:(1)組數(shù)的決定方法是:設數(shù)據(jù)總數(shù)目為n,一般地,當n≤50,則分為5組~8組;當50≤n≤100,則分為8組~12組較為合適; (2)分點的決定方法是:若數(shù)據(jù)為整數(shù),則分點數(shù)據(jù)減去0.5;若數(shù)據(jù)是小數(shù)點后一位數(shù),則分點減去0.05,以此類推; (3)畫頻率分布直方圖中小長方形的高的方法是:假設頻數(shù)為1的小長方形的高為h,則頻數(shù)為k的小長方形的高為kh. 題型二 頻率分布直方圖的應用 【例題2】某工廠對一批產(chǎn)品進行了抽樣檢測,如圖是根據(jù)抽樣檢測后的產(chǎn)品凈重(單位:克)數(shù)據(jù)繪制的頻率分布直方圖,其中產(chǎn)品凈重的范圍是[96,106],樣本數(shù)據(jù)分組為[96,98),[98,100),[100,102),[102,104),[104,106].已知樣本中產(chǎn)品凈重小于100克的個數(shù)是36,則樣本中凈重大于或等于98克并且小于104克的產(chǎn)品的個數(shù)是( ). A.90 B.75 C.60 D.45 反思:頻率分布直方圖的性質(zhì): (1)因為小矩形的面積=組距=頻率,所以各小矩形的面積表示相應各組的頻率.這樣,頻率分布直方圖就以面積的形式反映了數(shù)據(jù)落在各個小組內(nèi)的頻率的大?。? (2)在頻率分布直方圖中,各小矩形的面積之和等于1. (3)頻率=,還要注意此公式的一些變形及應用. 題型三 頻率分布折線圖 【例題3】已知50個樣本數(shù)據(jù)的分組以及各組的頻數(shù)如下: 153.5~155.5,2 161.5~163.5,10 155.5~157.5,7 163.5~165.5,6 157.5~159.5,9 165.5~167.5,4 159.5~161.5,11 167.5~169.5,1 (1)列出頻率分布表; (2)畫出頻率分布直方圖和頻率分布折線圖. 分析:此題按照頻率分布直方圖的繪制步驟解決即可. 題型四 易錯辨析 【例題4】有一個容量為500的樣本數(shù)據(jù),把它分成7組,它的頻率分布直方圖如圖,根據(jù)其頻率分布直方圖,請你估計數(shù)據(jù)落在[15.5,24.5)的有________個. 錯解:由頻率分布直方圖可知數(shù)據(jù)在[15.5,18.5)內(nèi)的頻率為0.054,在[18.5,21.5)內(nèi)的頻率為0.06,在[21.5,24.5)內(nèi)的頻率為0.075,則數(shù)據(jù)落在[15.5,24.5)內(nèi)的頻率為0.054+0.06+0.075=0.189. 又因為0.189500=94.5≈95, 所以數(shù)據(jù)落在[15.5,24.5)內(nèi)的大約有95個. 錯因分析:上面解法的錯因就是沒有看懂縱坐標所表示的意義,錯誤地把縱坐標表示的數(shù)據(jù)看做頻率了,其實它表示的是.若要計算頻率,則要知道組距為多少,從橫坐標中明顯可看出組距為3,那么就有頻率=組距. 1當收集到的數(shù)據(jù)量很大時,比較合適的統(tǒng)計圖是( ). A.莖葉圖 B.頻率分布直方圖 C.頻率分布折線統(tǒng)計圖 D.頻率分布表 2關于頻率分布直方圖中小長方形的高的說法,正確的是( ). A.表示該組上的個體在樣本中出現(xiàn)的頻率 B.表示取某數(shù)的頻率 C.表示該組上的個體數(shù)與組距的比值 D.表示該組上的個體在樣本中出現(xiàn)的頻率與組距的比值 3200輛汽車通過某一段公路時,時速的頻率分布直方圖如圖所示,則時速在[50,70)的汽車大約有( ). A.60輛 B.80輛 C.70輛 D.140輛 4(2012浙江名校第一次聯(lián)考,文13)某班50名學生在一次健康體檢中,身高全部介于155 cm與185 cm之間.其身高頻率分布直方圖如圖所示.則該班級中身高在[170,185]之間的學生共有__________人. 5(2011廣東汕頭期中,16)某校從高一年級期末考試的學生中抽出60名學生,其英語成績(均為整數(shù))的頻率分布直方圖如圖所示: (1)估計這次考試的及格率(60分及以上為及格); (2)估計這次考試的平均分. 答案: 基礎知識梳理 1.相應的頻率fi 頻率分布直方圖 頻率 1 2.中點 折線 【做一做1】C 【做一做2】A 【做一做3】0.7 樣本在區(qū)間(-∞,50]內(nèi)的頻率為=0.7. 典型例題領悟 【例題1】解:(1)計算最大值與最小值的差:61-48=13. (2)決定組距與組數(shù),取組距為2, ==6, 所以,共分成7組. (3)決定分點,使分點比數(shù)據(jù)多一位小數(shù),并把第1小組的分點減小0.5,即分成如下7組: 47.5~49.5 49.5~51.5 51.5~53.5 53.5~55.5 55.5~57.5 57.5~59.5 59.5~61.5 (4)列出頻率分布表如下: 分組 頻數(shù) 頻率 47.5~49.5 2 0.05 49.5~51.5 5 0.125 51.5~53.5 7 0.175 53.5~55.5 8 0.20 55.5~57.5 11 0.275 57.5~59.5 5 0.125 59.5~61.5 2 0.05 合計 40 1.00 (5)畫出頻率分布直方圖(如圖所示). 【例題2】A 產(chǎn)品凈重小于100克的頻率為(0.050+0.100)2=0.300,已知樣本中產(chǎn)品凈重小于100克的個數(shù)是36,設樣本容量為n,則=0.300,所以n=120.產(chǎn)品凈重大于或等于98克并且小于104克的頻率為(0.100+0.150+0.125)2=0.75,所以樣本中凈重大于或等于98克并且小于104克的產(chǎn)品的個數(shù)是1200.75=90.故選A. 【例題3】解:(1)頻率分布表如下: 分組 頻數(shù) 頻率 153.5~155.5 2 0.04 155.5~157.5 7 0.14 157.5~159.5 9 0.18 159.5~161.5 11 0.22 161.5~163.5 10 0.20 163.5~165.5 6 0.12 165.5~167.5 4 0.08 167.5~169.5 1 0.02 合計 50 1.00 (2)頻率分布直方圖和頻率分布折線圖如圖所示. 【例題4】正解:由頻率分布直方圖可知,數(shù)據(jù)分成7組,其組距為3,所以數(shù)據(jù)落在[15.5,18.5)內(nèi)的頻率為0.0543,落在[18.5,21.5)內(nèi)的頻率為0.063,落在[21.5,24.5)內(nèi)的頻率為0.0753,故數(shù)據(jù)落在[15.5,24.5)內(nèi)的個數(shù)為500(0.0543+0.063+0.0753)=283.5≈284. 所以數(shù)據(jù)落在[15.5,24.5)內(nèi)的大約有284個. 隨堂練習鞏固 1.B 當收集到的數(shù)據(jù)量很大時,一般用頻率分布直方圖表示. 2.D 頻率分布直方圖中小長方形的高是,面積才表示頻率. 3.D 時速在[50,70)的頻率為(0.03+0.04)10=0.7,則200輛汽車中時速在[50,70)的汽車大約有0.7200=140(輛). 4.22 5.解:(1)依題意,60分及以上的分數(shù)所在的第三、四、五、六組,頻率和為(0.020+0.030+0.025+0.005)10=0.80, 所以,這次考試的及格率大約是80%. (2)利用組中值估算抽樣學生的平均分: 45f1+55f2+65f3+75f4+85f5+95f6=450.05+550.15+650.2+750.3+850.25+950.05=72. 所以這次考試的平均分約為72分.- 配套講稿:
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