【課堂新坐標(biāo)】2016-2017學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第三講 柯西不等式與排序不等式 學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng)11 排序不等式 新人教A版選修4-5 (建議用時(shí)：45分鐘) [學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)] 一、選擇題 1．設(shè)a≥b>0，P＝a3＋b3，Q＝a2b＋ab2，則P與Q的大小關(guān)系是(　　) A．P>Q　　B．P≥Q　　C．P<Q　　D．P≤Q 【解析】　∵a≥b>0，∴a2≥b2>0. 因此a3＋b3≥a2b＋ab2(排序不等式)， 則P≥Q. 【答案】　B 2．設(shè)a1≤a2≤a3≤…≤an，b1≤b2≤b3≤…≤bn為兩組實(shí)數(shù)，在排序不等式中，順序和，反序和，亂序和的大小關(guān)系為(　　) A．反序和≥亂序和≥順序和 B．反序和＝亂序和＝順序和 C．反序和≤亂序和≤順序和 D．反序和、亂序和、順序和大小關(guān)系不確定 【答案】　C 3．設(shè)正實(shí)數(shù)a1，a2，a3的任一排列為a′1，a′2，a′3，則＋＋的最小值為(　　) A．3 B．6 C．9 D.12 【解析】　設(shè)a1≥a2≥a3＞0，則≥≥＞0，由亂序和不小于反序和知， ＋＋≥＋＋＝3， ∴＋＋的最小值為3，故選A. 【答案】　A 4．若A＝x＋x＋…＋x，B＝x1x2＋x2x3＋…＋xn－1xn＋xnx1，其中x1，x2，…，xn都是正數(shù)，則A與B的大小關(guān)系為(　　) A．A＞B B．A＜B C．A≥B D.A≤B 【解析】　依序列{xn}的各項(xiàng)都是正數(shù)，不妨設(shè)0＜x1≤x2≤…≤xn，則x2，x3，…，xn，x1為序列{xn}的一個(gè)排列．依排序原理，得x1x1＋x2x2＋…＋xnxn≥x1x2＋x2x3＋…＋xnx1，即x＋x＋…＋x≥x1x2＋x2x3＋…＋xnx1.故選C. 【答案】　C 5．已知a，b，c為正實(shí)數(shù)，則a2(a2－bc)＋b2(b2－ac)＋c2(c2－ab)的正負(fù)情況是(　　) A．大于零 B．大于等于零 C．小于零 D.小于等于零 【解析】　設(shè)a≥b≥c>0，所以a3≥b3≥c3， 根據(jù)排序原理，得a3a＋b3b＋c3c≥a3b＋b3c＋c3a. 又知ab≥ac≥bc，a2≥b2≥c2，所以a3b＋b3c＋c3a≥a2bc＋b2ca＋c2ab， ∴a4＋b4＋c4≥a2bc＋b2ca＋c2ab， 即a2(a2－bc)＋b2(b2－ac)＋c2(c2－ab)≥0. 【答案】　B 二、填空題 6．若a，b，c∈R＋，則＋＋________a＋b＋c. 【解析】　不妨設(shè)a≥b≥c＞0，則bc≤ca≤ab，≤≤， ∴＋＋≥＋＋＝a＋b＋c. 【答案】　≥ 7．有4人各拿一只水桶去接水，設(shè)水龍頭注滿每個(gè)人的水桶分別需要5 s,4 s,3 s,7 s，每個(gè)人接完水后就離開(kāi)，則他們總的等候時(shí)間最短為_(kāi)_______s. 【解析】　等候的最短時(shí)間為：34＋43＋52＋71＝41(s)． 【答案】　41 8．設(shè)a1，a2，a3為正數(shù)，且a1＋a2＋a3＝1，則＋＋的最小值為_(kāi)_______. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：32750058】 【解析】　不妨設(shè)a3>a1>a2>0，則<<， 所以a1a2<a2a3<a3a1. 設(shè)亂序和S＝＋＋＝a1＋a2＋a3＝1， 順序和S′＝＋＋. 由排序不等式得＋＋≥a1＋a2＋a3＝1， 所以＋＋的最小值為1. 【答案】　1 三、解答題 9．設(shè)a，b，c大于0，求證： (1)a3＋b3≥ab(a＋b)； (2)＋＋≤. 【證明】　(1)不妨設(shè)a≥b≥c>0， 則a2≥b2≥c2>0， ∴a3＋b3＝a2a＋b2b≥a2b＋b2a， ∴a3＋b3≥ab(a＋b)． (2)由(1)知，同理b3＋c3≥bc(b＋c)，c3＋a3≥ac(c＋a)， 所以＋＋ ≤＋ ＋ ＝ ＝＝. 故原不等式得證． 10．已知a，b，c都是正數(shù)，求＋＋的最小值． 【解】　由對(duì)稱性，不妨設(shè)0＜c≤b≤a，則有a＋b≥a＋c≥b＋c＞0，所以0＜≤≤. 由排序不等式得 ＋＋ ≥＋＋，① ＋＋≥＋＋.② 由①②知2≥3， ∴＋＋≥. 當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時(shí)，＋＋取最小值. [能力提升] 1．銳角三角形中，設(shè)P＝，Q＝acos C＋bcos B＋ccos A，則P，Q的關(guān)系為(　　) A．P≥Q B．P＝Q C．P≤Q D.不能確定 【解析】　不妨設(shè)A≥B≥C，則a≥b≥c， cos A≤cos B≤cos C，則由排序不等式有Q＝acos C＋bcos B＋ccos A≥acos B＋bcos C＋ccos A ＝R(2sin Acos B＋2sin Bcos C＋2sin Ccos A) ≥R[sin(A＋B)＋sin(B＋C)＋sin(A＋C)] ＝R(sin C＋sin A＋sin B)＝＝P. 【答案】　C 2．已知a＋b＋c＝1，a，b，c為正數(shù)，則＋＋的最小值是________． 【解析】　不妨設(shè)a≥b≥c，∴≥≥， ∴＋＋≥＋＋，① ＋＋≥＋＋，② ①＋②得＋＋≥， ∴＋＋≥. 【答案】　 3．在Rt△ABC中，∠C為直角，A，B所對(duì)的邊分別為a，b，則aA＋bB與(a＋b)的大小關(guān)系為_(kāi)_______. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：32750059】 【解析】　不妨設(shè)a≥b＞0， 則A≥B＞0，由排序不等式 ?2(aA＋bB)≥a(A＋B)＋b(A＋B) ＝(a＋b)， ∴aA＋bB≥(a＋b)． 【答案】　aA＋bB≥(a＋b) 4．已知0<α<β<γ<，求證：sin αcos β＋sin βcos γ＋sin γcos α>(sin 2α＋sin 2β＋sin 2γ)． 【證明】　∵0<α<β<γ<，且y＝sin x在上為增函數(shù)，y＝cos x在上為減函數(shù)， ∴0<sin α<sin β<sin γ，cos α>cos β>cos γ>0. 根據(jù)排序不等式得：亂序和>反序和． ∴sin αcos β＋sin βcos γ＋sin γcos α >sin αcos α＋sin βcos β＋sin γcos γ ＝(sin 2α＋sin 2β＋sin 2γ)． 故原不等式得證．