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1 函數(shù)與方程(二)
時間:45分鐘 滿分:80分
班級________ 姓名________ 分數(shù)________
一、選擇題(每小題5分,共56=30分)
1.若關于x的方程x2+x+m2=0有兩個不相等的實數(shù)根,則實數(shù)m的取值范圍是( )
A.
B.(-2,2)
C.∪
D.(-∞,-2)∪(2,+∞)
答案:A
解析:∵方程x2+x+m2=0有兩個不相等的實數(shù)根,
∴其判別式Δ=1-4m2>0,解得-
0
C.f(x1)>0,f(x2)<0
D.f(x1)>0,f(x2)>0
答案:B
解析:函數(shù)f(x)=2x+在(1,+∞)上單調(diào)遞增.
由于x0是f(x)的一個零點,即f(x0)=0,
∴f(x1)<0,f(x2)>0,故選B.
3.用二分法求如圖所示的函數(shù)f(x)的零點時,不可能求出的零點是( )
A.x1 B.x2
C.x3 D.x4
答案:C
解析:能用二分法求零點的函數(shù)必須滿足在區(qū)間[a,b]上連續(xù)不斷,且f(a)f(b)<0.而x3兩邊的函數(shù)值都小于零,不滿足區(qū)間端點處函數(shù)值符號相異的條件,故選C.
4.函數(shù)f(x)=log3x-在區(qū)間[1,3]內(nèi)有零點,則用二分法判斷含有零點的區(qū)間為( )
A. B.
C. D.
答案:C
解析:f(1)=-<0,f(3)=>0,f(2)=log32-=log32-log33=log3=log3<0,f=log3-=log3-log33=log3>log3=log3>0,因此函數(shù)f(x)的零點在區(qū)間內(nèi),故選C.
5.函數(shù)y=ln(x+1)與y=的圖像交點的橫坐標所在區(qū)間為( )
A.(0,1) B.(1,2)
C.(2,3) D.(3,4)
答案:B
解析:函數(shù)y=ln(x+1)與y=的圖像交點的橫坐標,即為函數(shù)f(x)=ln(x+1)-的零點,
∵f(x)在(0,+∞)上為增函數(shù),且f(1)=ln 2-1<0,f(2)=ln3->0,
∴f(x)的零點所在區(qū)間為(1,2).
6.若a<b<c,則函數(shù)f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)的兩個零點分別位于區(qū)間( )
A.(a,b)和(b,c)內(nèi)
B.(-∞,a)和(a,b)內(nèi)
C.(b,c)和(c,+∞)內(nèi)
D.(-∞,a)和(c,+∞)內(nèi)
答案:A
解析:依題意,注意到f(a)=(a-b)(a-c)>0,f(b)=(b-c)(b-a)<0,f(c)=(c-b)(c-a)>0,
因此由零點的存在性定理知函數(shù)f(x)的零點位于區(qū)間(a,b)和(b,c)內(nèi),故選A.
二、填空題(每小題5分,共53=15分)
7.用二分法求函數(shù)f(x)=3x-x-4的一個零點,其參考數(shù)據(jù)如下:
f(1.600 0)=0.200
f (1.587 5)=0.133
f(1.575 0)=0.067
f(1.562 5)=0.003
f(1.556 2)=-0.029
f(1.550 0)=-0.060
據(jù)此數(shù)據(jù),可得f(x)=3x-x-4的一個零點的近似值(精確到0.01)為________.
答案:1.56
解析:由表中f(1.562 5)=0.003,f(1.556 2)=-0.029,可知零點近似值為1.56.
8.已知函數(shù)f(x)=,若函數(shù)g(x)=f(x)-m有3個零點,則實數(shù)m的取值范圍是________.
答案:(0,1)
解析:畫出f(x)=的圖像,如圖.
由函數(shù)g(x)=f(x)-m有3個零點,結合圖像得:0<m<1,即m∈(0,1).
9.若函數(shù)f(x)=(m-1)x2+2(m+1)x-1有且僅有一個零點,則實數(shù)m的取值集合是________.
答案:{-3,0,1}
解析:當m=1時,f(x)=4x-1=0,得x=,符合要求.
當m≠1時,依題意得Δ=4(m+1)2+4(m-1)=0.即m2+3m=0,
解得:m=-3或m=0,
∴m的取值集合是{-3,0,1}.
三、解答題(共35分,11+12+12)
10.已知二次函數(shù)f(x)=x2-16x+q+3.
若函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,1]上存在零點,求實數(shù)q的取值范圍.
解:∵函數(shù)f(x)=x2-16x+q+3的對稱軸是直線x=8,
∴f(x)在區(qū)間[-1,1]上是減函數(shù).
∵函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,1]上存在零點,
則必有,即,
∴-20≤q≤12.
∴實數(shù)q的取值范圍為[-20,12].
11.定義在R上的奇函數(shù)y=f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞增,函數(shù)f(x)的一個零點為-,求滿足f(logx)≥0的x的取值范圍.
解:因為函數(shù)y=f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞增,函數(shù)f(x)的一個零點為-,且f(x)是奇函數(shù),所以f(x)的大致圖象如圖所示.
由f(logx)≥0,得-≤logx≤0或logx≥,
解得1≤x≤2或0
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