高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 56 曲線與方程學(xué)案 理
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第五十六課時 曲線與方程 課前預(yù)習(xí)案 考綱要求 1.理解坐標(biāo)法研究解析幾何問題的基本思想,會根據(jù)條件求曲線的軌跡方程. 2.掌握常用的幾種求軌跡方程的方法. 基礎(chǔ)知識梳理 1. 曲線與方程 在平面直角坐標(biāo)系中,如果曲線C與方程F(x,y)=0之間具有如下關(guān)系: (1)曲線C上點的坐標(biāo)都是 . (2)以方程F(x,y)=0的解為坐標(biāo)的點都 .那么這個方程叫做 ,這條曲線叫做 . 2. 求動點的軌跡方程的一般步驟 (1)建系——建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系. (2)設(shè)點——設(shè)軌跡上的任一點P(x,y). (3)列式——列出動點P所滿足的關(guān)系式. (4)代換——依條件式的特點,選用距離公式、斜率公式等將其轉(zhuǎn)化為x,y的方程式,并化簡. (5)證明——證明所求方程即為符合條件的動點軌跡方程. 3. 兩曲線的交點 (1)由曲線方程的定義可知,兩條曲線交點的坐標(biāo)應(yīng)該是兩個曲線方程的公共解,即兩個曲線方程組成的方程組的實數(shù)解;反過來,方程組有幾組解,兩條曲線就有幾個交點;方程組無解,兩條曲線就沒有交點. (2)兩條曲線有交點的充要條件是它們的方程所組成的方程組有實數(shù)解.可見,求曲線的交點問題,就是求由它們的方程所組成的方程組的實數(shù)解問題. 4.求軌跡方程的常用方法 (1)直接法:直接利用條件建立x,y之間的關(guān)系F(x,y)=0; (2)待定系數(shù)法:已知所求曲線的類型,求曲線方程——先根據(jù)條件設(shè)出所求曲線的方程,再由條件確定其待定系數(shù); (3)定義法:先根據(jù)條件得出動點的軌跡是某種已知曲線,再由曲線的定義直接寫出動點的軌跡方程; (4)代入法(相關(guān)點法):動點P(x,y)依賴于另一動點Q(x0,y0)的變化而變化,并且Q(x0,y0)又在某已知曲線上,則可先用x,y的代數(shù)式表示x0,y0,再將x0,y0代入已知曲線得要求的軌跡方程; (5)參數(shù)法:當(dāng)動點P(x,y)坐標(biāo)之間的關(guān)系不易直接找到,也沒有相關(guān)動點可用時,可考慮將x,y均用一中間變量(參數(shù))表示,得參數(shù)方程,再消去參數(shù)得普通方程. 預(yù)習(xí)自測 1. 已知點A(-2,0)、B(3,0),動點P(x,y)滿足=x2-6,則點P的軌跡方程是__________. 2. 已知兩定點A(-2,0)、B(1,0),如果動點P滿足|PA|=2|PB|,則點P的軌跡所包圍的圖形的面積為________. 3. 方程(2x+3y-1)(-1)=0表示的曲線是 ( ) A.兩條直線 B.兩條射線 C.兩條線段 D.一條直線和一條射線 4. 已知點P是直線2x-y+3=0上的一個動點,定點M(-1,2),Q是線段PM延長線上的一點,且|PM|=|MQ|,則Q點的軌跡方程是 ( ) A.2x+y+1=0 B.2x-y-5=0 C.2x-y-1=0 D.2x-y+5=0 5. 若點P到直線x=-1的距離比它到點(2,0)的距離小1,則點P的軌跡為 ( ) A.圓 B.橢圓 C.雙曲線 D.拋物線 第五十六課時 曲線與方程(課堂探究案) 典型例題 考點1 直接法求軌跡方程 【典例1】已知M(4,0),N(1,0),若動點P滿足=6||. (1)求動點P的軌跡C的方程; (2)設(shè)Q是曲線C上任意一點,求Q到直線l:x+2y-12=0的距離的最小值. 【變式1】 如圖所示,過點P(2,4)作互相垂直的直線l1,l2,若l1交x 軸于A,l2交y軸于B,求線段AB中點M的軌跡方程. 考點2 定義法求軌跡方程 【典例2】已知兩個定圓O1和O2,它們的半徑分別是1和2,且|O1O2|=4.動圓M與圓O1內(nèi)切,又與圓O2外切,建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,求動圓圓心M的軌跡方程,并說明軌跡是何種曲線. 【變式2】如圖,點A為圓形紙片內(nèi)不同于圓心C的定點,動點 M在圓周上,將紙片折起,使點M與點A重合,設(shè)折痕m交線 段CM于點N.現(xiàn)將圓形紙片放在平面直角坐標(biāo)系xOy中,設(shè)圓C: (x+1)2+y2=4a2 (a>1),A(1,0),記點N的軌跡為曲線E. (1)證明曲線E是橢圓,并寫出當(dāng)a=2時該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程; (2)設(shè)直線l過點C和橢圓E的上頂點B,點A關(guān)于直線l的對稱點為點Q,若橢圓E的離心率e∈,求點Q的縱坐標(biāo)的取值范圍. 考點3 相關(guān)點法求軌跡方程 【典例3】設(shè)F(1,0),M點在x軸上,P點在y軸上,且=2,⊥,當(dāng)點P在y軸上運動時,求點N的軌跡方程. 【變式3】已知長為1+的線段AB的兩個端點A、B分別在x軸、y軸上滑動,P是AB上一點,且=,求點P的軌跡C的方程. 當(dāng)堂檢測 1. 方程(x2+y2-4)=0的曲線形狀是 ( ) 2. △ABC的頂點A(-5,0),B(5,0),△ABC的內(nèi)切圓圓心在直線x=3上,則頂點C的軌跡方程是 ( ) A.-=1 B.-=1 C.-=1 (x>3) D.-=1 (x>4) 3. 平面直角坐標(biāo)系中,已知兩點A(3,1),B(-1,3),若點C滿足=λ1+λ2(O為原點),其中λ1,λ2∈R,且λ1+λ2=1,則點C的軌跡是 ( ) A.直線 B.橢圓 C.圓 D.雙曲線 4. 動點P為橢圓+=1 (a>b>0)上異于橢圓頂點(a,0)的一點,F(xiàn)1、F2為橢圓的兩個焦點,動圓C與線段F1P、F1F2的延長線及線段PF2相切,則圓心C的軌跡為 ( ) A.橢圓 B.雙曲線 C.拋物線 D.直線 第五十六課時 曲線與方程 課后拓展案 A組全員必做題 1. 已知點M(-3,0),N(3,0),B(1,0),動圓C與直線MN切于點B,過M、N與圓C相切的兩直線相交于點P,則P點的軌跡方程為 ( ) A.x2-=1 (x>1) B.x2-=1 (x<-1) C.x2+=1 (x>0) D.x2-=1 (x>1) 2. 有一動圓P恒過定點F(a,0) (a>0)且與y軸相交于點A、B,若△ABP為正三角形,則點P的軌跡為 ( ) A.橢圓 B.雙曲線 C.拋物線 D.圓 3. 點P是以F1、F2為焦點的橢圓上一點,過焦點作∠F1PF2外角平分線的垂線,垂足為M,則點M的軌跡是 ( ) A.圓 B.橢圓 C.雙曲線 D.拋物線 4. P是橢圓+=1上的任意一點,F(xiàn)1、F2是它的兩個焦點,O為坐標(biāo)原點,=+,則動點Q的軌跡方程是______________. 5. 已知M(-2,0),N(2,0),則以MN為斜邊的直角三角形的直角頂點P的軌跡方程是______________. B組提高選做題 1. 過橢圓+=1 (a>b>0)上任意一點M作x軸的垂線,垂足為N,則線段MN中點的軌跡方程是____________. 2. 如圖所示,正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長為1,點M在AB上,且 AM=AB,點P在平面ABCD上,且動點P到直線A1D1的距離的平 方與P到點M的距離的平方差為1,在平面直角坐標(biāo)系xAy中,動點 P的軌跡方程是____________. 3.已知點A(1,0),直線l:y=2x-4,點R是直線l上的一點,若=,求點P的軌跡方程. 4.如圖,設(shè)P是圓x2+y2=25上的動點,點D是P在x軸上的投影,M為PD上一點,且|MD|=|PD|. (1)當(dāng)P在圓上運動時,求點M的軌跡C的方程; (2)求過點(3,0)且斜率為的直線被C所截線段的長度. 參考答案 預(yù)習(xí)自測 1.【答案】y2=x 【解析】=(3-x,-y),=(-2-x,-y), ∴=(3-x)(-2-x)+y2=x2-x-6+y2=x2-6,∴y2=x. 2.【答案】 4π 【解析】設(shè)P(x,y),由|PA|=2|PB|,得=2, ∴3x2+3y2-12x=0,即x2+y2-4x=0. ∴P的軌跡為以(2,0)為圓心,半徑為2的圓.即軌跡所包圍的面積等于4π. 3.【答案】D 【解析】原方程可化為或-1=0, 即2x+3y-1=0 (x≥3)或x=4,故原方程表示的曲線是一條射線和一條直線. 4.【答案】D 【解析】由題意知,M為PQ中點,設(shè)Q(x,y),則P為(-2-x,4-y),代入2x-y+3=0得2x-y+5=0. 5.【答案】D 【解析】依題意,點P到直線x=-2的距離等于它到點(2,0)的距離,故點P的軌跡是拋物線. 典型例題 【典例1】 (1)設(shè)動點P(x,y), 則=(x-4,y),=(-3,0),=(1-x,-y), 由已知得-3(x-4)=6, 化簡得3x2+4y2=12,即+=1. ∴點P的軌跡是橢圓C:+=1. (2)由幾何性質(zhì)意義知,l與平行于l的橢圓C的切線l′的距離等于Q與l的距離的最小值.設(shè)l′:x+2y+D=0.將其代入橢圓方程消去x,化簡得:16y2+12Dy+3(D2-4)=0. ∴Δ=144D2-192(D2-4)=0?D=4, l′和l的距離的最小值為. ∴點Q與l的距離的最小值為. 【變式1】 設(shè)點M的坐標(biāo)為(x,y), ∵M是線段AB的中點, ∴A點的坐標(biāo)為(2x,0),B點的坐標(biāo)為(0,2y). ∴=(2x-2,-4),=(-2,2y-4). 由已知=0,∴-2(2x-2)-4(2y-4)=0, 即x+2y-5=0. ∴線段AB中點M的軌跡方程為x+2y-5=0. 【典例2】如圖所示,以O(shè)1O2的中點O為原點,O1O2所在直線為x 軸建立平面直角坐標(biāo)系. 由|O1O2|=4,得O1(-2,0)、O2(2,0).設(shè)動圓M的半徑為r,則 由動圓M與圓O1內(nèi)切,有|MO1|=r-1; 由動圓M與圓O2外切,有|MO2|=r+2. ∴|MO2|-|MO1|=3.∴點M的軌跡是以O(shè)1、O2為焦點,實軸長為3的雙曲線的左支. ∴a=,c=2,∴b2=c2-a2=. ∴點M的軌跡方程為-=1 (x≤-). 【變式2】(1)證明 依題意,直線m為線段AM的垂直平分線, ∴|NA|=|NM|. ∴|NC|+|NA|=|NC|+|NM|=|CM|=2a>2, ∴N的軌跡是以C、A為焦點,長軸長為2a,焦距為2的橢圓. 當(dāng)a=2時,長軸長為2a=4,焦距為2c=2, ∴b2=a2-c2=3. ∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1. (2)解 設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1 (a>b>0). 由(1)知:a2-b2=1.又C(-1,0),B(0,b), ∴直線l的方程為+=1.即bx-y+b=0. 設(shè)Q(x,y),因為點Q與點A(1,0)關(guān)于直線l對稱, ∴ 消去x得y=. ∵離心率e∈,∴≤e2≤,即≤≤.∴≤a2≤4. ∴≤b2+1≤4,即≤b≤, ∵y==≤2,當(dāng)且僅當(dāng)b=1時取等號. 又當(dāng)b=時,y=;當(dāng)b=時,y=,∴≤y≤2. ∴點Q的縱坐標(biāo)的取值范圍是[,2]. 【典例3】設(shè)M(x0,0),P(0,y0),N(x,y), ∵⊥,=(x0,-y0),=(1,-y0), ∴(x0,-y0)(1,-y0)=0,∴x0+y=0. 由=2得(x-x0,y)=2(-x0,y0),∴,即. ∴-x+=0,即y2=4x. 故所求的點N的軌跡方程是y2=4x. 【變式3】設(shè)A(x0,0),B(0,y0),P(x,y),=,又=(x-x0,y),=(-x,y0-y), 所以x-x0=-x,y=(y0-y),得x0=x,y0=(1+)y. 因為|AB|=1+,即x+y=(1+)2,所以2+[(1+)y]2=(1+)2, 化簡得+y2=1.∴點P的軌跡方程為+y2=1. 當(dāng)堂檢測 1. 【答案】 C 【解析】 由題意可得x+y+1=0或它表示直線x+y+1=0和圓x2+y2-4=0在直線x+y+1=0右上方的部分. 2.【答案】 C 【解析】如圖,|AD|=|AE|=8,|BF|=|BE|=2,|CD|=|CF|, 所以|CA|-|CB|=8-2=6. 根據(jù)雙曲線定義,所求軌跡是以A、B為焦點,實軸長為6的雙曲 線的右支,方程為-=1 (x>3). 3. 【答案】 A 【解析】 設(shè)C(x,y),則=(x,y),=(3,1),=(-1,3), ∵=λ1+λ2,∴,又λ1+λ2=1,∴x+2y-5=0,表示一條直線. 4. 【答案】 D 【解析】 如圖所示,設(shè)三個切點分別為M、N、Q. ∴|PF1|+|PF2|=|PF1|+|PM|+|F2N|=|F1N|+|F2N|=|F1F2|+2|F2N|= 2a, ∴|F2N|=a-c,∴N點是橢圓的右頂點, ∴CN⊥x軸,∴圓心C的軌跡為直線. A組全員必做題 1.【答案】 A 【解析】 設(shè)另兩個切點為E、F,如圖所示,則|PE|=|PF|,|ME|=|MB|, |NF|=|NB|. 從而|PM|-|PN|=|ME|-|NF|=|MB|-|NB|=4-2=2<|MN|,所以P的 軌跡是以M、N為焦點,實軸長為2的雙曲線的右支.a(chǎn)=1,c=3, ∴b2=8.故方程為x2-=1 (x>1). 2.【答案】 B 【解析】 設(shè)P(x,y),動圓P的半徑為R,由于△ABP為正三角形, ∴P到y(tǒng)軸的距離d=R,即|x|=R. 而R=|PF|=,∴|x|=. 整理得:(x+3a)2-3y2=12a2,即-=1. ∴點P的軌跡為雙曲線. 3.【答案】 A 【解析】 如圖,延長F2M交F1P延長線于N. ∵|PF2|=|PN|,∴|F1N|=2a. 連接OM,則在△NF1F2中,OM為中位線, 則|OM|=|F1N|=a.∴M的軌跡是圓. 4. 【答案】?。? 【解析】 由=+,又+==2=-2, 設(shè)Q(x,y),則=-=-(x,y)=, 即P點坐標(biāo)為,又P在橢圓上, 則有+=1,即+=1. 5.【答案】 x2+y2=4 (x≠2) 【解析】 設(shè)P(x,y),因為△MPN為直角三角形, ∴|MP|2+|NP|2=|MN|2, ∴(x+2)2+y2+(x-2)2+y2=16,整理得,x2+y2=4. ∵M,N,P不共線,∴x≠2, ∴軌跡方程為x2+y2=4 (x≠2). B組提高選做題 1. 【答案】 +=1 【解析】 設(shè)MN的中點P(x,y),則點M(x,2y)在橢圓上, ∴+=1,即+=1. 2.【答案】 y2=x- 【解析】 過P作PQ⊥AD于Q,再過Q作QH⊥A1D1于H,連接PH、 PM,可證PH⊥A1D1,設(shè)P(x,y),由|PH|2-|PM|2=1, 得x2+1-=1,化簡得y2=x-. 3.解 ∵=,∴R,A,P三點共線,且A為RP的中點, 設(shè)P(x,y),R(x1,y1),則由=,得(1-x1,-y1)=(x-1,y),則, 即x1=2-x,y1=-y,將其代入直線y=2x-4中,得y=2x, ∴點P的軌跡方程為y=2x. 4.解 (1)設(shè)M的坐標(biāo)為(x,y),P的坐標(biāo)為(xP,yP), 由已知得∵P在圓上, ∴x2+(y)2=25,即軌跡C的方程為+=1. (2)過點(3,0)且斜率為的直線方程為y=(x-3), 設(shè)直線與C的交點為A(x1,y1),B(x2,y2), 將直線方程y=(x-3)代入C的方程,得 +=1,即x2-3x-8=0. ∴x1=,x2=. ∴線段AB的長度為|AB|= ===.- 1.請仔細閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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