高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第3部分 坐標(biāo)系與參數(shù)方程考點(diǎn)整合 選修4-4 文
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選修4-4 坐標(biāo)系與參數(shù)方程 考點(diǎn)整合 1.直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的互化 把直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)作為極點(diǎn),x軸正半軸作為極軸,且在兩坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位.設(shè)M是平面內(nèi)的任意一點(diǎn),它的直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)分別為(x,y)和(ρ,θ), 則 2.直線的極坐標(biāo)方程 若直線過點(diǎn)M(ρ0,θ0),且極軸到此直線的角為α,則它的方程為:ρsin(θ-α)=ρ0sin(θ0-α). 幾個(gè)特殊位置的直線的極坐標(biāo)方程: (1)直線過極點(diǎn):θ=α; (2)直線過點(diǎn)M(a,0)(a>0)且垂直于極軸:ρcos θ=a; (3)直線過M且平行于極軸:ρsin θ=b. 3.圓的極坐標(biāo)方程 若圓心為M(ρ0,θ0),半徑為r的圓方程為: ρ2-2ρ0ρcos(θ-θ0)+ρ-r2=0. 幾個(gè)特殊位置的圓的極坐標(biāo)方程 (1)當(dāng)圓心位于極點(diǎn),半徑為r:ρ=r; (2)當(dāng)圓心位于M(r,0),半徑為r:ρ=2rcos θ; (3)當(dāng)圓心位于M,半徑為r:ρ=2rsin θ. 4.直線的參數(shù)方程 經(jīng)過點(diǎn)P0(x0,y0),傾斜角為α的直線的參數(shù)方程為(t為參數(shù)). 設(shè)P是直線上的任一點(diǎn),則t表示有向線段的數(shù)量. 5.圓的參數(shù)方程 圓心在點(diǎn)M(x0,y0),半徑為r的圓的參數(shù)方程為(θ為參數(shù),0≤θ<2π). 6.圓錐曲線的參數(shù)方程 (1)橢圓+=1(a>b>0)的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)). (2)雙曲線-=1(a>0,b>0)的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)). (3)拋物線y2=2px(p>0)的參數(shù)方程為(t為參數(shù)). 類型一 曲線的極坐標(biāo)方程 [例1] (2016高考全國(guó)甲卷)在直角坐標(biāo)系xOy中,圓C的方程為(x+6)2+y2=25. (1)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,求C的極坐標(biāo)方程; (2)直線l的參數(shù)方程是(t為參數(shù)),l與C交于A,B兩點(diǎn),|AB|=,求l的斜率. 解:(1)由x=ρcos θ,y=ρsin θ可得圓C的極坐標(biāo)方程為ρ2+12ρcos θ+11=0. (2)由直線l的參數(shù)方程(t為參數(shù)),消去參數(shù)得y=xtan α. 設(shè)直線l的斜率為k,則直線l的方程為kx-y=0. 由圓C的方程(x+6)2+y2=25知,圓心坐標(biāo)為(-6,0),半徑為5. 又|AB|=,由垂徑定理及點(diǎn)到直線的距離公式得=,即=, 整理得k2=,解得k=, 即l的斜率為. [解后反思] 由圓的直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程,其方法就是把x=ρcos θ,y=ρsin θ代入圓的方程,根據(jù)三角函數(shù)公式整理. 1.(2016高考全國(guó)乙卷)在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù),a>0).在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,曲線C2:ρ=4cos θ. (1)說明C1是哪一種曲線,并將C1的方程化為極坐標(biāo)方程; (2)直線C3的極坐標(biāo)方程為θ=α0,其中α0滿足tan α0=2,若曲線C1與C2的公共點(diǎn)都在C3上,求a. 解:(1)消去參數(shù)t得到C1的普通方程為x2+(y-1)2=a2, 則C1是以(0,1)為圓心,a為半徑的圓. 將x=ρcos θ,y=ρsin θ代入C1的普通方程中,得到C1的極坐標(biāo)方程為ρ2-2ρsin θ+1-a2=0. (2)曲線C1,C2的公共點(diǎn)的極坐標(biāo)滿足方程組 若ρ≠0,由方程組得16cos2θ-8sin θcos θ+1-a2=0, 由已知tan θ=2,可得16cos2θ-8sin θcos θ=0, 從而1-a2=0,解得a=-1(舍去)或a=1. 當(dāng)a=1時(shí),極點(diǎn)也為C1,C2的公共點(diǎn),且在C3上.∴a=1. 類型二 參數(shù)方程 [例2] (2016高考全國(guó)丙卷)在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為(α為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),以x軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρsin=2. (1)寫出C1的普通方程和C2的直角坐標(biāo)方程; (2)設(shè)點(diǎn)P在C1上,點(diǎn)Q在C2上,求|PQ|的最小值及此時(shí)P的直角坐標(biāo). 解:(1)C1的普通方程為+y2=1.C2的直角坐標(biāo)方程為x+y-4=0. (2)由題意,可設(shè)點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(cos α,sin α).因?yàn)镃2是直線,所以|PQ|的最小值即為P到C2的距離d(α)的最小值, d(α)==,當(dāng)且僅當(dāng)α=2kπ+(k∈Z)時(shí),d(α)取得最小值,最小值為,此時(shí)P的直角坐標(biāo)為. [解后反思] 由參數(shù)方程化為普通方程就是“消去參數(shù)”,可根據(jù)三角公式消參,也可利用代入法消參. 2.在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1:(t為參數(shù),t≠0),其中0≤α<π.在以O(shè)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,曲線C2:ρ=2sin θ,C3:ρ=2cos θ. (1)求C2與C3交點(diǎn)的直角坐標(biāo); (2)若C1與C2相交于點(diǎn)A,C1與C3相交于點(diǎn)B,求|AB|的最大值. 解:(1)曲線C2的直角坐標(biāo)方程為x2+y2-2y=0,曲線C3的直角坐標(biāo)方程為x2+y2-2x=0. 聯(lián)立解得或 所以C2與C3交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(0,0)和. (2)曲線C1的極坐標(biāo)方程為θ=α(ρ∈R,ρ≠0),其中0≤α<π. 因此A的極坐標(biāo)為(2sin α,α),B的極坐標(biāo)為 (2cos α,α). 所以|AB|=|2sin α-2cos α| =4. 當(dāng)α=時(shí),|AB|取得最大值,最大值為4.- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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