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2017年高考數(shù)學基礎突破——集合與函數(shù) 1．集合及其運算 【知識梳理】 1．集合與元素 (1)集合中元素的三個特征：確定性、互異性、無序性． (2)元素與集合的關(guān)系是屬于或不屬于兩種，用符號∈或?表示． (3)集合的表示法：列舉法、描述法、圖示法． (4)常見數(shù)集的記法 集 合 自然數(shù)集 正整數(shù)集 整數(shù)集 有理數(shù)集 實數(shù)集 符 號 N N*(或N＋) Z Q R 2.集合間的基本關(guān)系 關(guān)系 自然語言 符號語言 Venn圖 子集 集合A中所有元素都在集合B中 (即若x∈A，則x∈B) A?B (或B?A) 真子集 集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一個元素不在集合A中 AB(或BA) 集合相等 集合A，B中元素相同或集合A，B互為子集 A＝B 3.集合的運算 集合的并集 集合的交集 集合的補集 圖形 符號 A∪B＝{x|x∈A或x∈B} A∩B＝{x|x∈A且x∈B} ?UA＝{x|x∈U，且x?A} 4.集合關(guān)系與運算的常用結(jié)論 (1)若有限集A中有n個元素，則A的子集個數(shù)為2n個，非空子集個數(shù)為2n－1個，真子集有2n－1個． (2)A?B?A∩B＝A?A∪B＝B. 【基礎考點突破】 考點1．集合的含義與表示 【例1】（1）下列各組對象：①高一1班中年齡較大的男同學；②聯(lián)合國安理會常任理事國；③2017年廣州城市運動會的比賽項目； ④的所有近似值；⑤1,2,3,1．能夠組成集合的是________． （2）已知集合A含有兩個元素a－3和2a－1，若－3∈A，則實數(shù)a的值為__________． 【歸納總結(jié)】(1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含義，再看元素的限制條件，明白集合的類型，是數(shù)集、點集還是其他類型集合；(2)集合中元素的互異性常常容易忽略，求解問題時要特別注意．分類討論的思想方法常用于解決集合問題． 【變式訓練】(1)設集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，則M中的元素個數(shù)為(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 (2)設a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝，則b－a＝________. 考點2．集合間的基本關(guān)系 【例2】(1)設集合，則滿足的集合B的個數(shù)是（ ） A.1 B.3 C.4 D.8 (2)已知集合A＝{x|x2－3x＋2 <0}，B＝{x|x－3}，B＝{x|x≥2}，結(jié)合數(shù)軸可得：B?A. （2）由log2x≤2，得04. （3）或，解得，故實數(shù)的取值集合為. 考點3．集合的運算 命題點1．并集、交集、補集的簡單運算 集合的運算中要根據(jù)集合的定義把參與運算的各個集合求出，再根據(jù)交、并、補的定義進行運算．此類題目首先應看清集合中的元素的范圍，簡化集合，若是用列舉法表示的數(shù)集，可以根據(jù)交集、并集、補集的定義直接觀察或用圖表示集合運算的結(jié)果；若是用描述法表示的數(shù)集，可以借助數(shù)軸分析寫出結(jié)果，此時要注意當端點不再集合中時，應該用“空心圈”表示． 【例3】【2016高考新課標3】設集合 ，則（ ） (A) [2，3] (B)（- ，2] [3,+） (C) [3,+） (D)（0，2] [3,+） 【答案】D 【解析】由解得或，所以，所以，故選D． 【點評】集合的運算中要根據(jù)集合的定義把參與運算的各個集合求出，再利用數(shù)軸，根據(jù)交、并、補的定義進行運算． 【變式訓練】（1）若集合，，則______． （2）集合，，則_______，_______，________． 變式：【答案】（1）；（2），，. 【解析】（1）A、B的共同元素為4、7，所以． （2）因為，，在數(shù)軸上畫出A、B， 所以，，， . 【點評】集合的運算中要根據(jù)集合的定義把參與運算的各個集合求出，再利用數(shù)軸，根據(jù)交、并、補的定義進行運算． 變式：【答案】（1）；（2），，. 【解析】（1）A、B的共同元素為4、7，所以． （2）因為，，在數(shù)軸上畫出A、B， 所以，，， . 【點評】集合的運算中要根據(jù)集合的定義把參與運算的各個集合求出，再利用數(shù)軸，根據(jù)交、并、補的定義進行運算． 命題點2．已知集合的交并集求參數(shù)的取值范圍 依據(jù)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想，利用數(shù)軸分析法是解決有關(guān)集合交集、并集問題，特別是一些字母范圍問題的常用方法． 【例4】 已知，，若，求a的取值范圍． 【解析】由， （1）若，有，所以． （2）若，如下圖： ，解得． 綜上所述，的取值范圍是． 【點評】由，則要考慮和兩種情形，這樣才不會漏解． 命題點3．交并集性質(zhì)的應用 在利用集合的交集、并集性質(zhì)解題時，常常會遇到，等這類問題，解答時常借助于交、并集的定義以及集合間的關(guān)系去分析，如，． 【例5】設，． （1）若，求的值；（2）若，求的值． 【解析】． （1），． ①若，則，當時，；當時，； ②若，則，當時，，． ③若，則 由①②③得，． （2），，，又因為B中最多只有兩個元素，． 由（1）知． 【點評】要注意條件等價轉(zhuǎn)化的運用，常見轉(zhuǎn)化有，． 命題點4．補集的思想的應用 對于一些比較復雜、抽象，條件和結(jié)論之間關(guān)系不明確，難于從正面入手的問題，在解答時，應及時調(diào)整思路，從問題的反面入手，探索已知與未知之間的關(guān)系，這時能化難為易，化隱為顯，從而將問題解決． 【例6】若集合中最多有一個元素，求實數(shù)的取值范圍． 【解析】假設集合A中含有兩個元素，即有兩個不相等的實數(shù)根，則，解得且，則的取值范圍是． 在全集中，集合的補集是， 所以滿足題意的的取值范圍是． 【點評】集合A中的元素包含0個或1個，若采取分類討論的策略，所分情況比較多，求解比較麻煩，構(gòu)造其“補集”：集合A中含有兩個元素，然后再求其補集，問題就得到了簡化． 【基礎練習】 1．【2015吉林三?！吭O全集，，，則圖中陰影部分所表示的集合是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，所以圖中陰影部分所表示的集合是，故選B． 2．【2016四川高考】設集合，Z為整數(shù)集，則中元素的個數(shù)是（ ） （A）3 （B）4 （C）5 （D）6 【答案】C 【解析】由題意，，故其中的元素個數(shù)為5，選C. 3．【2016高考浙江理數(shù)】已知集合 則（ ） A．[2,3] B．( -2,3 ] C．[1,2) D． 【答案】B 【解析】根據(jù)補集的運算得，所以.故選B． 4．已知集合，，且，那么的值可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，要包含所有的小于等于1的實數(shù)，因此，故選D. 5．若集合，且，則實數(shù)的值為 ． 【答案】或或 【解析】，由題意. 當時，，則. 當時，，要使，則，解得. 綜上所述，實數(shù)的值是或或. 【能力提升】 1．【2015呼倫貝爾二?！恳阎?，則（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵，， 所以，所以=，故選C． 2．【2015濟南市高三上學期期末】已知集合，，若，則等于（ ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】C 【解析】，， 若，則，則，故選C. 3．設集合，，若，則實數(shù)的取值范圍為（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，因為，所以，解得：，所以實數(shù)的取值范圍是，故選A． 4．已知集合，，，則實數(shù)的不同取值個數(shù)為（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由題意，所以或，解得：或或，所以實數(shù)的不同取值個數(shù)為，故選B． 5．已知M=且，則（　　?。? A． B． C． D． 【答案】A 【解析】集合M表示去掉一點的直線，集合表示恒過定點的直線，因為M，所以兩直線要么平行，要么直線過點．因此或，即或-2，故選A. 【終極突破】 1．設常數(shù),集合，，若，則的取值范圍為( ) 　A. B. C.　 D. 【答案】B 【解析】集合A討論后利用數(shù)軸可知，或， 解得，所以的取值范圍是，故選B. 2．集合，． 若中恰含有一個整數(shù)u，則實數(shù)a的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由可得或．由解得．由韋達定理可得．根據(jù)題意中恰含有一個整數(shù)u，所以或(舍去由于與很接近)．即，解得，所以實數(shù)的取值范圍是，故選B． 3．集合，， 集合，若動點，則的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】集合表示平面內(nèi)由點，，，構(gòu)成的正方形與點，，，圍成的正方形，看作點距離的平方，結(jié)合坐標系可知的取值范圍是，故選A． 4．已知集合，，，現(xiàn)給出下列函數(shù)：①；② ；③；④．若時，恒有，則所有滿足條件的函數(shù)的編號是____． 【答案】①②④. 【解析】依題表示整個平面直角坐標系區(qū)域，表示如圖所示的平面區(qū)域，表示平面直角坐標系上函數(shù)的曲線， 若時，恒有，則與無公共點，依題可知①②④函數(shù)的曲線與均無公共點，對于③，當時，，又因為，所以曲線上的點必定在表示的平面區(qū)域內(nèi)，即，故應填入①②④. 【基礎練習】 1．【2015吉林三?！吭O全集，，，則圖中陰影部分所表示的集合是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，所以圖中陰影部分所表示的集合是，故選B． 2．【2016四川高考】設集合，Z為整數(shù)集，則中元素的個數(shù)是（ ） （A）3 （B）4 （C）5 （D）6 【答案】C 【解析】由題意，，故其中的元素個數(shù)為5，選C. 3．【2016高考浙江理數(shù)】已知集合 則（ ） A．[2,3] B．( -2,3 ] C．[1,2) D． 【答案】B 【解析】根據(jù)補集的運算得，所以.故選B． 4．已知集合，，且，那么的值可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，要包含所有的小于等于1的實數(shù)，因此，故選D. 5．若集合，且，則實數(shù)的值為 ． 【答案】或或 【解析】，由題意. 當時，，則. 當時，，要使，則，解得. 綜上所述，實數(shù)的值是或或. 【能力提升】 1．【2015呼倫貝爾二模】已知，，則（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵，， 所以，所以=，故選C． 2．【2015濟南市高三上學期期末】已知集合，，若，則等于（ ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】C 【解析】，， 若，則，則，故選C. 3．設集合，，若，則實數(shù)的取值范圍為（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，因為，所以，解得：，所以實數(shù)的取值范圍是，故選A． 4．已知集合，，，則實數(shù)的不同取值個數(shù)為（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由題意，所以或，解得：或或，所以實數(shù)的不同取值個數(shù)為，故選B． 5．已知M=且，則（　　?。? A． B． C． D． 【答案】A 【解析】集合M表示去掉一點的直線，集合表示恒過定點的直線，因為M，所以兩直線要么平行，要么直線過點．因此或，即或-2，故選A. 【終極突破】 1．設常數(shù),集合，，若，則的取值范圍為( ) 　A. B. C.　 D. 【答案】B 【解析】集合A討論后利用數(shù)軸可知，或， 解得，所以的取值范圍是，故選B. 2．集合，． 若中恰含有一個整數(shù)u，則實數(shù)a的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由可得或．由解得．由韋達定理可得．根據(jù)題意中恰含有一個整數(shù)u，所以或(舍去由于與很接近)．即，解得，所以實數(shù)的取值范圍是，故選B． 3．集合，， 集合，若動點，則的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】集合表示平面內(nèi)由點，，，構(gòu)成的正方形與點，，，圍成的正方形，看作點距離的平方，結(jié)合坐標系可知的取值范圍是，故選A． 4．已知集合，，，現(xiàn)給出下列函數(shù)：①；② ；③；④．若時，恒有，則所有滿足條件的函數(shù)的編號是____． 【答案】①②④. 【解析】依題表示整個平面直角坐標系區(qū)域，表示如圖所示的平面區(qū)域，表示平面直角坐標系上函數(shù)的曲線， 若時，恒有，則與無公共點，依題可知①②④函數(shù)的曲線與均無公共點，對于③，當時，，又因為，所以曲線上的點必定在表示的平面區(qū)域內(nèi)，即，故應填入①②④.