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(江蘇專用)2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 加練半小時(shí) 專題7 不等式、推理與證明、數(shù)學(xué)歸納法 第53練 基本不等式及其應(yīng)用 理(含解析)

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1、第53練 基本不等式及其應(yīng)用 [基礎(chǔ)保分練] 1.函數(shù)f(x)=ax-1-2(a>0,a≠1)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)A,若點(diǎn)A在直線mx-ny-1=0上,其中m>0,n>0,則+的最小值為_(kāi)_______. 2.若正實(shí)數(shù)x,y滿足x+y++=5,則x+y的最大值是________. 3.若兩個(gè)銳角α,β滿足α+β=,則tanαtanβ的最大值是________. 4.若正數(shù)x,y滿足x+4y-xy=0,則的最大值為_(kāi)_______. 5.已知m,n為正實(shí)數(shù),向量a=(m,1),b=(1-n,1),若a∥b,則+的最小值為_(kāi)_______. 6.(2019·常州市武進(jìn)區(qū)模擬)若正實(shí)數(shù)x,y

2、滿足x2-xy+y2=9,且|x2-y2|<9,則xy的取值范圍為_(kāi)_______. 7.已知A,B是函數(shù)y=2x的圖象上的相異兩點(diǎn),若點(diǎn)A,B到直線y=的距離相等,則點(diǎn)A,B的橫坐標(biāo)之和的取值范圍是________. 8.已知a>0,b>0,a+b=+,則+的最小值為_(kāi)_______. 9.(2018·鎮(zhèn)江模擬)函數(shù)y=x+(x>1)的最小值是________. 10.已知x<0,且x-y=1,則x+的最大值是________. [能力提升練] 1.若兩個(gè)正實(shí)數(shù)x,y滿足+=1,且x+2y>m2+2m恒成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________. 2.在銳角△ABC中,a,b,

3、c為角A,B,C所對(duì)的邊,且(a-b)·(sinA+sinB)=(c-b)sinC,若a=.則b2+c2的最大值為_(kāi)_______. 3.設(shè)正數(shù)x,y滿足x>y,x+2y=3,則+的最小值為_(kāi)_______. 4.在實(shí)數(shù)集R中定義一種運(yùn)算“*”,?a,b∈R,a*b為唯一確定的實(shí)數(shù),且具有性質(zhì):(1)對(duì)任意a∈R,a*0=a; (2)對(duì)任意a,b∈R,a*b=ab+(a*0)+(b*0). 關(guān)于函數(shù)f(x)=ex*的性質(zhì),有如下說(shuō)法: ①函數(shù)f(x)的最小值為3; ②函數(shù)f(x)為偶函數(shù); ③函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,0]. 其中正確說(shuō)法的序號(hào)為_(kāi)_______.

4、5.已知實(shí)數(shù)a≥,b≥,且a2-a=b-b2,則M=+的最大值是________. 6.雙曲線-=1的離心率為e1,雙曲線-=1的離心率為e2,則e1+e2的最小值為_(kāi)_______. 答案精析 基礎(chǔ)保分練 1.3+2 2.4 3.3-2 4. 5.3+2 6.(6,9] 解析 由x2-xy+y2=9,得9+xy=x2+y2≥2xy,當(dāng)且僅當(dāng)x=y(tǒng)時(shí)等號(hào)成立,所以xy≤9. 由|x2-y2|<9,得(x2-y2)2<81, 即(x2+y2)2-4x2y2<81, 所以(9+xy)2-4x2y2<81,即-3(xy)2+18xy+81<81,解得xy>6. 所以6<

5、xy≤9, 故xy的取值范圍為(6,9]. 7.(-∞,-2) 解析 設(shè)A(a,2a),B(b,2b), 則=, ∵a≠b,∴2a-=-, ∴2a+2b=1, 由基本不等式得2a+2b=1>2×,(等號(hào)不成立), ∴<,∴<=2-1, ∴<-1,∴a+b<-2. 8.2 解析 由a+b=+=,有ab=1, 則+≥2=2, 當(dāng)且僅當(dāng)b=2a時(shí)等號(hào)成立. 9.5 解析 由題意得y=x-1++1≥2+1=5(當(dāng)且僅當(dāng)即x=3時(shí)取等號(hào)). 10.- 解析 由x<0,且x-y=1, 可得x=y(tǒng)+1(y<-1), 則x+=y(tǒng)+1+ =y(tǒng)+++ =-+ ≤-2+=-. 當(dāng)且僅當(dāng)y=-時(shí),上式取得最大值,則x+的最大值是-. 能力提升練 1.(-4,2) 2.6 3. 4.①② 5.+1 解析 由a2-a=b-b2化簡(jiǎn)得2+2=, 又實(shí)數(shù)a≥,b≥,圖形為圓,如圖: a2-a=b-b2,可得a2=a+b-b2, b2=a+b-a2, 則M=+=+ =1+-a+1+-b =+-a-b+2. 由幾何意義得∈[-1,1+],則∈[-1,1+],則當(dāng)過(guò)點(diǎn)A或點(diǎn)B時(shí)a+b取最小值,可得M=-1+1+---+2=+1, 所以M=+的最大值是+1. 6.2 5

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