高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第1部分 專題3 突破點(diǎn)8 回歸分析、獨(dú)立性檢驗(yàn) 理
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突破點(diǎn)8 回歸分析、獨(dú)立性檢驗(yàn) 提煉1 變量的相關(guān)性 (1)正相關(guān):在散點(diǎn)圖中,點(diǎn)散布在從左下角到右上角的區(qū)域. (2)負(fù)相關(guān):在散點(diǎn)圖中,點(diǎn)散布在從左上角到右下角的區(qū)域. (3)相關(guān)系數(shù)r:當(dāng)r>0時(shí),兩變量正相關(guān);當(dāng)r<0時(shí),兩變量負(fù)相關(guān);當(dāng)|r|≤1且|r|越接近于1,相關(guān)程度越高,當(dāng)|r|≤1且|r|越接近于0,相關(guān)程度越低. 提煉2 線性回歸方程 方程=x+稱為線性回歸方程,其中=,=-.(,)稱為樣本中心點(diǎn). 提煉3 獨(dú)立性檢驗(yàn) (1)確定分類變量,獲取樣本頻數(shù),得到列聯(lián)表. (2)求觀測(cè)值:k=. (3)根據(jù)臨界值表,作出正確判斷.如果k≥kα,就推斷“X與Y有關(guān)系”,這種推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)α,否則就認(rèn)為在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)α的前提下不能推斷“X與Y有關(guān)系”. 回訪1 變量的相關(guān)性 1.(2015全國(guó)卷Ⅱ)根據(jù)下面給出的2004年至2013年我國(guó)二氧化硫年排放量(單位:萬(wàn)噸)柱形圖,以下結(jié)論中不正確的是( ) 圖81 A.逐年比較,2008年減少二氧化硫排放量的效果最顯著 B.2007年我國(guó)治理二氧化硫排放顯現(xiàn)成效 C.2006年以來(lái)我國(guó)二氧化硫年排放量呈減少趨勢(shì) D.2006年以來(lái)我國(guó)二氧化硫年排放量與年份正相關(guān) D 對(duì)于A選項(xiàng),由圖知從2007年到2008年二氧化硫排放量下降得最多,故A正確.對(duì)于B選項(xiàng),由圖知,由2006年到2007年矩形高度明顯下降,因此B正確.對(duì)于C選項(xiàng),由圖知從2006年以后除2011年稍有上升外,其余年份都是逐年下降的,所以C正確.由圖知2006年以來(lái)我國(guó)二氧化硫年排放量與年份負(fù)相關(guān),故選D.] 2.(2012全國(guó)卷)在一組樣本數(shù)據(jù)(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)(n≥2,x1,x2,…,xn不全相等)的散點(diǎn)圖中,若所有樣本點(diǎn)(xi,yi)(i=1,2,…,n)都在直線y=x+1上,則這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)為( ) A.-1 B.0 C. D.1 D 樣本點(diǎn)都在直線上時(shí),其數(shù)據(jù)的估計(jì)值與真實(shí)值是相等的,即yi=i,代入相關(guān)系數(shù)公式r==1.] 3.(2015全國(guó)卷Ⅰ)某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi),需了解年宣傳費(fèi)x(單位:千元)對(duì)年銷售量y(單位:t)和年利潤(rùn)z(單位:千元)的影響.對(duì)近8年的年宣傳費(fèi)xi和年銷售量yi(i=1,2,…,8)數(shù)據(jù)作了初步處理,得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值. 圖82 (xi-)2 (wi-)2 (xi-)(yi-) (wi-)(yi-) 46.6 563 6.8 289.8 1.6 1 469 108.8 表中wi=,w]=wi. (1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷,y=a+bx與y=c+d哪一個(gè)適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費(fèi)x的回歸方程類型?(給出判斷即可,不必說(shuō)明理由) (2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù),建立y關(guān)于x的回歸方程; (3)已知這種產(chǎn)品的年利潤(rùn)z與x,y的關(guān)系為z=0.2y-x.根據(jù)(2)的結(jié)果回答下列問(wèn)題: ①年宣傳費(fèi)x=49時(shí),年銷售量及年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值是多少? ②年宣傳費(fèi)x為何值時(shí),年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值最大? 附:對(duì)于一組數(shù)據(jù)(u1,v1),(u2,v2),…,(un,vn),其回歸直線v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為=,=-. 解] (1)由散點(diǎn)圖可以判斷,y=c+d適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費(fèi)x的回歸方程類型.2分 (2)令w=,先建立y關(guān)于w的線性回歸方程. 由于===68, =- =563-686.8=100.6,4分 所以y關(guān)于w的線性回歸方程為=100.6+68w, 因此y關(guān)于x的回歸方程為=100.6+68.6分 (3)①由(2)知,當(dāng)x=49時(shí), 年銷售量y的預(yù)報(bào)值=100.6+68=576.6, 年利潤(rùn)z的預(yù)報(bào)值=576.60.2-49=66.32.8分 ②根據(jù)(2)的結(jié)果知,年利潤(rùn)z的預(yù)報(bào)值 =0.2(100.6+68)-x=-x+13.6+20.12.10分 所以當(dāng)==6.8,即x=46.24時(shí),取得最大值. 故年宣傳費(fèi)為46.24千元時(shí),年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值最大.12分 回訪2 獨(dú)立性檢驗(yàn) 4.(2012遼寧高考)電視傳媒公司為了解某地區(qū)電視觀眾對(duì)某類體育節(jié)目的收視情況,隨機(jī)抽取了100名觀眾進(jìn)行調(diào)查.下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的觀眾日均收看該體育節(jié)目時(shí)間的頻率分布直方圖: 圖83 將日均收看該體育節(jié)目時(shí)間不低于40分鐘的觀眾稱為“體育迷”. (1)根據(jù)已知條件完成下面的22列聯(lián)表,并據(jù)此資料你是否認(rèn)為“體育迷”與性別有關(guān)? 非體育迷 體育迷 合計(jì) 男 女 10 55 合計(jì) (2)將上述調(diào)查所得到的頻率視為概率.現(xiàn)在從該地區(qū)大量電視觀眾中,采用隨機(jī)抽樣方法每次抽取1名觀眾,抽取3次,記被抽取的3名觀眾中的“體育迷”人數(shù)為X.若每次抽取的結(jié)果是相互獨(dú)立的,求X的分布列,期望E(X)和方差D(X). 附:K2=, P(K2≥k) 0.05 0.01 k 3.841 6.635 解] (1)由頻率分布直方圖可知,在抽取的100人中,“體育迷”有25人,從而22列聯(lián)表如下: 非體育迷 體育迷 合計(jì) 男 30 15 45 女 45 10 55 合計(jì) 75 25 100 2分 將22列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式計(jì)算,得 k===≈3.030.因?yàn)?.030<3.841,所以沒(méi)有理由認(rèn)為“體育迷”與性別有關(guān).6分 (2)由頻率分布直方圖知抽到“體育迷”的頻率為0.25,將頻率視為概率,即從觀眾中抽取一名“體育迷”的概率為.8分 由題意知X~B,從而X的分布列為 X 0 1 2 3 P 10分 E(X)=np=3=, D(X)=np(1-p)=3=.12分 熱點(diǎn)題型1 回歸分析 題型分析:高考命題常以實(shí)際生活為背景,重在考查回歸分析中散點(diǎn)圖的作用、回歸方程的求法和應(yīng)用,難度中等. 在一次抽樣調(diào)查中測(cè)得樣本的5組數(shù)據(jù),得到一個(gè)變量y關(guān)于x的回歸方程模型,其對(duì)應(yīng)的數(shù)值如下表: x 0.25 0.5 1 2 4 y 16 12 5 2 1 (1)試作出散點(diǎn)圖,根據(jù)散點(diǎn)圖判斷,y=a+bx與y=+m哪一個(gè)適宜作為變量y關(guān)于x的回歸方程模型?(給出判斷即可,不必說(shuō)明理由) (2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù),建立變量y關(guān)于x的回歸方程; (3)根據(jù)(2)中所求的變量y關(guān)于x的回歸方程預(yù)測(cè):當(dāng)x=3時(shí),對(duì)應(yīng)的y值為多少?(保留四位有效數(shù)字) 解] (1)作出變量y與x之間的散點(diǎn)圖,如圖所示, 2分 由圖可知變量y與x近似地呈反比例函數(shù)關(guān)系, 那么y=+m適宜作為變量y關(guān)于x的回歸方程模型.4分 (2)由(1)知y=+m適宜作為變量y關(guān)于x的回歸方程模型,令t=,則y=kt+m,由y與x的數(shù)據(jù)表可得y與t的數(shù)據(jù)表如下: t 4 2 1 0.5 0.25 y 16 12 5 2 1 ……………6分 作出y與t的散點(diǎn)圖,如圖所示. 8分 由圖可知y與t近似地呈線性相關(guān)關(guān)系. 又=1.55,=7.2,iyi=94.25,=21.312 5, 所以k==≈4.134 4,m=-k=7.2-4.134 41.55≈0.8, 所以y=4.134 4t+0.8, 所以y關(guān)于x的回歸方程為y=+0.8.10分 (3)由(2)得y關(guān)于x的回歸方程是y=+0.8, 當(dāng)x=3時(shí),可得y=+0.8≈2.178.12分 1.正確理解計(jì)算,的公式和準(zhǔn)確的計(jì)算,是求線性回歸方程的關(guān)鍵.其中線性回歸方程必過(guò)樣本中心點(diǎn)(,). 2.在分析兩個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系時(shí),可根據(jù)樣本數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖來(lái)確定兩個(gè)變量之間是否具有相關(guān)關(guān)系,若具有線性相關(guān)關(guān)系,則可通過(guò)線性回歸方程估計(jì)和預(yù)測(cè)變量的值. 變式訓(xùn)練1] (2016石家莊二模)為了解某地區(qū)某種農(nóng)產(chǎn)品的年產(chǎn)量x(單位:噸)對(duì)價(jià)格y(單位:千元/噸)和年利潤(rùn)z的影響,對(duì)近五年該農(nóng)產(chǎn)品的年產(chǎn)量和價(jià)格統(tǒng)計(jì)如下表: x 1 2 3 4 5 y 7.0 6.5 5.5 3.8 2.2 (1)求y關(guān)于x的線性回歸方程=x+; (2)若每噸該農(nóng)產(chǎn)品的成本為2千元,假設(shè)該農(nóng)產(chǎn)品可全部賣出,預(yù)測(cè)當(dāng)年產(chǎn)量為多少時(shí),年利潤(rùn)z取到最大值?(保留兩位小數(shù)) 參考公式:==, =-. 解] (1)=3,=5,2分 i=15,i=25,iyi=62.7,=55, 解得=-1.23,=8.69,4分 所以=8.69-1.23x.6分 (2)年利潤(rùn)z=x(8.69-1.23x)-2x=-1.23x2+6.69x,10分 所以當(dāng)x=2.72,即年產(chǎn)量為2.72噸時(shí),年利潤(rùn)z取得最大值.12分 熱點(diǎn)題型2 獨(dú)立性檢驗(yàn) 題型分析:盡管全國(guó)卷Ⅰ近幾年未在該點(diǎn)命題,但其極易與分層抽樣、概率統(tǒng)計(jì)等知識(shí)交匯,是潛在的命題點(diǎn)之一,須引起足夠的重視. (2016山西四校第二次聯(lián)考)心理學(xué)家分析發(fā)現(xiàn)視覺(jué)和空間能力與性別有關(guān),某數(shù)學(xué)興趣小組為了驗(yàn)證這個(gè)結(jié)論,從興趣小組中按分層抽樣的方法抽取50名同學(xué)(男30,女20),給所有同學(xué)幾何題和代數(shù)題各一題,讓各位同學(xué)自由選擇一道題進(jìn)行解答.選題情況如下表:(單位:人) 幾何題 代數(shù)題 總計(jì) 男同學(xué) 22 8 30 女同學(xué) 8 12 20 總計(jì) 30 20 50 (1)能否據(jù)此判斷有97.5%的把握認(rèn)為視覺(jué)和空間能力與性別有關(guān)? (2)經(jīng)過(guò)多次測(cè)試后,甲每次解答一道幾何題所用的時(shí)間在5~7分鐘,乙每次解答一道幾何題所用的時(shí)間在6~8分鐘,現(xiàn)甲、乙各解同一道幾何題,求乙比甲先解答完的概率; (3)現(xiàn)從選擇做幾何題的8名女生中任意抽取2人對(duì)她們的答題情況進(jìn)行全程研究,記丙、丁2名女生被抽到的人數(shù)為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X). 附表及公式: P(K2≥k0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 K2=,n=a+b+c+d. 解題指導(dǎo)] 計(jì)算k下結(jié)論求概率求X的分布列及E(X). 解] (1)由表中數(shù)據(jù)得k==≈5.556>5.024,2分 所以有97.5%的把握認(rèn)為視覺(jué)和空間能力與性別有關(guān).3分 (2)設(shè)甲、乙解答一道幾何題的時(shí)間分別為x,y分鐘,則表示的平面區(qū)域如圖所示. 設(shè)事件A為“乙比甲先做完此道題”,則x>y滿足的區(qū)域如圖中陰影部分所示.5分 由幾何概型可得P(A)==, 即乙比甲先解答完的概率為.7分 (3)由題可知,在選擇做幾何題的8名女生中任意抽取2人的方法有C=28種,其中丙、丁2人沒(méi)有一個(gè)人被抽到的有C=15種;恰有一人被抽到的有CC=12種;2人都被抽到的有C=1種. 所以X的可能取值為0,1,2,P(X=0)=,8分 P(X=1)==,9分 P(X=2)=.10分 X的分布列為: X 0 1 2 P 11分 E(X)=0+1+2=.12分 求解獨(dú)立性檢驗(yàn)問(wèn)題時(shí)要注意:一是22列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)與公式中各個(gè)字母的對(duì)應(yīng),不能混淆;二是注意計(jì)算得到k之后的結(jié)論. 變式訓(xùn)練2] (名師押題)2016年1月1日起全國(guó)統(tǒng)一實(shí)施全面二孩政策.為了解適齡民眾對(duì)放開(kāi)生育二孩政策的態(tài)度,某市選取70后和80后作為調(diào)查對(duì)象,隨機(jī)調(diào)查了100人,得到數(shù)據(jù)如下表: 生二孩 不生二孩 總計(jì) 70后 30 15 45 80后 45 10 55 總計(jì) 75 25 100 (1)以這100人的樣本數(shù)據(jù)估計(jì)該市的總體數(shù)據(jù),且以頻率估計(jì)概率,若從該市70后公民中隨機(jī)抽取3人,記其中生二孩的人數(shù)為X,求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望; (2)根據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù),是否有90%以上的把握認(rèn)為“生二孩與年齡有關(guān)”,并說(shuō)明理由. 參考數(shù)據(jù): P(K2≥k0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 參考公式:K2=,其中 n=a+b+c+d 解] (1)由已知得70后“生二孩”的概率為,并且X~B,所以P(X=k)=Ck3-k(k=0,1,2,3),4分 X的分布列為 X 0 1 2 3 P 6分 所以E(X)=3=2.8分 (2)由表中數(shù)據(jù)知k==≈3.030>2.706,10分 所以有90%以上的把握認(rèn)為“生二孩與年齡有關(guān)”.12分- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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