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高中數(shù)學 第2章 推理與證明 2.1.1 合情推理自我小測 蘇教版選修2-2 1．把1,3,6,10,15,21，…這些數(shù)叫做三角形數(shù)，這是因為這些數(shù)目的點可以排成一個正三角形，如圖所示，則第七個三角形數(shù)是________． 2．我們把1,4,9,16,25，…這些數(shù)稱為正方形數(shù)，這是因為這些數(shù)目的點可以排成一個正方形，如下圖所示，則第n個正方形數(shù)是________． 3．如圖所示，觀察圖形規(guī)律，在其右下角的空格處畫上合適的圖形，應為__________． 4．有兩種花色的正六邊形地面磚，按下圖的規(guī)律拼成若干個圖案，則第六個圖案中有菱形紋的正六邊形的個數(shù)是__________． 5．已知扇形的弧長為l，半徑為r，類比三角形的面積公式，可推知扇形面積公式S扇＝________. 6．已知f1(x)＝cos x，f2(x)＝f′1(x)，f3(x)＝f′2(x)，f4(x)＝f′3(x)，…，fn(x)＝f′n－1(x)，n≥2，且n∈N*，則f2 011(x)＝__________. 7．下圖所示為一串黑白相間排列的珠子，第36顆珠子應是__________顏色的． 8．觀察下列等式：13＋23＝(1＋2)2,13＋23＋33＝(1＋2＋3)2，13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2，…，根據上述規(guī)律，第五個等式為________________． 9．已知函數(shù)，.分別計算f(4)－5f(2)g(2)和f(9)－5f(3)g(3)的值，由此概括出涉及f(x)和g(x)對所有不等于零的實數(shù)x都成立的一個等式． 10．類比等差數(shù)列的定義，給出等和數(shù)列的概念，并利用等和數(shù)列的性質解題： 已知數(shù)列{an}是等和數(shù)列，a1＝2，公和為5，求a18和S21.  參考答案 1答案：28　解析：第n個三角形數(shù)比前一個多n.故答案為28. 2答案：n2　解析：1,4,9,16,25分別為序號的平方，所以第n個正方形數(shù)為n2. 3答案：　解析：觀察圖中每一行，每一列的規(guī)律，從形狀和是否有陰影入手.每一行，每一列中三種圖形都有，故填長方形.又每一行，每一列中的圖形的顏色應有二黑一白.故填. 4答案：31　解析：有菱形紋的正六邊形個數(shù)如下表： 圖案 1 2 3 … 個數(shù) 6 11 16 … 由表可以看出有菱形紋的正六邊形的個數(shù)依次組成一個以6為首項，以5為公差的等差數(shù)列，所以第六個圖案中有菱形紋的正六邊形的個數(shù)是6＋5(6－1)＝31. 5答案：　解析：類比方法：扇形→三角形，弧長→底邊長，半徑→高，猜想S扇＝lr. 6答案：－cos x　解析：f1(x)＝cos x，f2(x)＝f′1(x)＝－sin x，f′3(x)＝f′2(x)＝－cos x，f4(x)＝f′3(x)＝sin x，f5(x)＝f′4(x)＝cos x，…，再繼續(xù)下去會重復出現(xiàn)，周期為4， ∴f2 011(x)＝f3(x)＝－cos x. 7答案：白　解析：5個珠子為一個周期，第36顆與第1顆顏色一致. 8答案：13＋23＋33＋43＋53＋63＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)2＝212　解析：觀察等式，發(fā)現(xiàn)等式左邊各加數(shù)的底數(shù)之和等于右邊數(shù)的底數(shù)，右邊數(shù)的指數(shù)均為2，故猜想第五個等式應為13＋23＋33＋43＋53＋63＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)2＝212. 9答案：解：f(4)－5f(2)g(2) ＝ ＝ ＝. 同理可得：f(9)－5f(3)g(3)＝0， ∴對任意x∈R，x≠0，有f(x2)－5f(x)g(x)＝0. 證明：f(x2)－5f(x)g(x) ＝ ＝ ＝， ∴結論得證. 10答案：解：等和數(shù)列的概念： 一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的和等于同一常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等和數(shù)列，這個常數(shù)叫做等和數(shù)列的公和. 由題意可知a1＋a2＝5， 又a1＝2，∴a2＝3， 又a2＋a3＝5，∴a3＝2. 故數(shù)列{an}的形式為：2,3,2,3,2,3，…， ∴a18＝3， ∴S21＝S20＋a21＝10(2＋3)＋2＝52.