第30講　平面向量應(yīng)用 考 點(diǎn) 集 訓(xùn)　【p203】 A組 1．設(shè)a、b是不共線的兩個(gè)非零向量，已知＝2a＋pb，＝a＋b，＝a－2b.若A、B、D三點(diǎn)共線，則p的值為(　　) A．1 B．2 C．－2 D．－1 【解析】＝＋＝2a－b，＝2a＋pb，由A、B、D三點(diǎn)共線知，存在實(shí)數(shù)λ，使2a＋pb＝2λa－λb， ∵a、b不共線，∴∴p＝－1. 【答案】D 2．已知兩個(gè)力F1，F(xiàn)2的夾角為90°，它們的合力大小為10 N，合力與F1的夾角為60°，那么F2的大小為(　　) A．5 N B．5 N C．10 N D．5 N 【解析】由題意可知：對(duì)應(yīng)向量如圖，由于α＝60°，∴F2的大小為|F合|·sin 60°＝10×＝5.故選A. 【答案】A 3．在四邊形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝5a－3b，則四邊形ABCD的形狀是(　　) A．矩形 B．鄰邊不相等的平行四邊形 C．菱形 D．梯形 【解析】因?yàn)椋絘＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b， 所以＝＋＋＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2， 所以AD∥BC，AD≠BC， 因此四邊形ABCD為梯形，選D. 【答案】D 4．設(shè)O是平面ABC內(nèi)一定點(diǎn)，P為平面ABC內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，若(－)·(＋)＝(－)·(＋)＝(－)·(＋)＝0，則O為△ABC的(　　) A．內(nèi)心 B．外心 C．重心 D．垂心 【解析】若(－)·(＋)＝(－)·(＋)＝(－)·(＋)＝0， 可得·(＋)＝·(＋)＝·(＋)＝0， 即為(－)·(＋)＝(－)·(＋)＝(－)·(＋)＝0. 即有||2＝||2＝||2， 則||＝||＝||， 故O為△ABC的外心． 故選B. 【答案】B 5．已知兩定點(diǎn)A(1，1)，B(－1，－1)，動(dòng)點(diǎn)P(x，y)滿足·＝，則點(diǎn)P的軌跡是(　　) A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線 【解析】由題知＝(1－x，1－y)，＝(－1－x，－1－y)， 所以·＝(1－x)(－1－x)＋(1－y)(－1－y)＝x2＋y2－2. 由已知x2＋y2－2＝，得＋＝1，所以點(diǎn)P的軌跡為橢圓． 【答案】B 6．若函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示，M，N分別是這段圖象的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，且·＝0(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則A等于(　　) A. B.π C.π D.π【解析】由題意知M，N， 又∵·＝×－A2＝0，∴A＝π. 【答案】B 7．已知圓C：x2＋y2＝4分別交x軸正半軸及y軸負(fù)半軸于M、N兩點(diǎn)，點(diǎn)P為圓O上任意一點(diǎn)，則·的最大值為_(kāi)_________． 【解析】令x＝0，得y2＝4，解得y＝±2，取N(0，－2)， 令y＝0，得x2＝4，解得x＝±2，取M(2，0)， 設(shè)點(diǎn)P(2cos θ，2sin θ)(θ∈[0，2π))， 則·＝(2－2cos θ，－2sin θ)·(－2cos θ，－2－2sin θ)＝4sin θ－4cos θ＋4＝4sin＋4， 當(dāng)sin＝1時(shí)，·取得最大值，最大值為4＋4. 【答案】4＋4 8．如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E是BC邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)F在邊CD上． (1)若點(diǎn)F是CD上靠近C的三等分點(diǎn)，設(shè)＝λ＋μ，求λ＋μ的值； (2)若AB＝，BC＝2，當(dāng)·＝1時(shí)，求DF的長(zhǎng)．【解析】(1)∵E是BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)F是CD上靠近C的三等分點(diǎn)， ∴＝＋＝＋. 矩形ABCD中，＝，＝－， ∴＝－＋， ∴λ＝－，μ＝，λ＋μ＝－＋＝. (2)設(shè)＝m(0＜m＜1)， 則＝(m－1)， ∵＝＋＝＋， ＝＋＝(m－1)＋＝(m－1)＋， 又·＝0， ∴·＝·[(m－1)＋] ＝(m－1)2＋2＝3(m－1)＋2＝1， 解得m＝，故DF的長(zhǎng)為. B組 1．設(shè)向量a與b滿足＝2，b在a方向上的投影為1，若存在實(shí)數(shù)λ，使得a與a－λb垂直，則λ＝(　　) A. B．1 C．2 D. 3 【解析】∵a⊥(a－λb)，∴a·(a－λb)＝a2－λa·b＝0， ∴λa·b＝4，① 又∵|b|cos〈a，b〉＝1，即＝1，∴a·b＝2，② ∴聯(lián)立①②得：λ＝2. 【答案】C 2．已知向量＝(2，0)，向量＝(2，2)，向量＝(cos α，sin α)，則向量與向量的夾角的取值范圍是(　　) A. B. C. D. 【解析】由＝(cos α，sin α)，知點(diǎn)A在以C(2，2)為圓心，為半徑的圓周上(如圖)， 過(guò)原點(diǎn)O作圓C的切線OA′，A′為切點(diǎn)， 由＝2，＝知∠A′OC＝， 有∠A′OB＝－＝， 過(guò)點(diǎn)O作另一切線OA″，A″為切點(diǎn)， 則∠A″OB＝＋＝，選D. 【答案】D 3．已知a，b是單位向量，a·b＝0，若向量c滿足|c－a－b|＝1，則|c|的最大值是__________． 【解析】∵|a|＝|b|＝1，且a·b＝0， ∴可設(shè)a＝(1，0)，b＝(0，1)，c＝(x，y)． ∴c－a－b＝(x－1，y－1)． ∵|c－a－b|＝1， ∴＝1，即(x－1)2＋(y－1)2＝1. ∴|c|的最大值＝＋1＝＋1. 【答案】＋1 4．如圖所示，在xOy平面上，點(diǎn)A(1，0)，點(diǎn)B在單位圓上，∠AOB＝θ(0＜θ＜π)． (1)若點(diǎn)B，求tan的值； (2)若＋＝，四邊形OACB的面積用Sθ表示，求Sθ＋·的取值范圍．【解析】(1)由條件得B，∠AOB＝θ， ∴tan θ＝＝－， ∴tan 2θ＝＝＝， ∴tan＝＝＝－. (2)由題意得Sθ＝||||sin(π－θ)＝sin θ. ∵＝(1，0)，＝(cos θ，sin θ)， ∴＝＋＝(1＋cos θ，sin θ)， ∴·＝1＋cos θ， ∴Sθ＋·＝sin θ＋cos θ＋1＝sin＋1(0＜θ＜π)， ∵＜θ＋＜， ∴－＜sin≤1， ∴0＜Sθ＋·≤＋1. ∴Sθ＋·的取值范圍為(0，＋1]． - 6 -