九年級數(shù)學(xué)下冊 二次函數(shù)知識點總結(jié) 人教新課標(biāo)版
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1、二次函數(shù)知識點 一、二次函數(shù)概念: 1.二次函數(shù)的概念:一般地,形如(是常數(shù),)的函數(shù),叫做二次函數(shù)。 這里需要強(qiáng)調(diào):和一元二次方程類似,二次項系數(shù),而可以為零.二次函數(shù)的定義域是全體實數(shù). 2. 二次函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征: ⑴ 等號左邊是函數(shù),右邊是關(guān)于自變量的二次式,的最高次數(shù)是2. ⑵ 是常數(shù),是二次項系數(shù),是一次項系數(shù),是常數(shù)項. 二、二次函數(shù)的基本形式 1. 二次函數(shù)基本形式:的性質(zhì): a 的絕對值越大,拋物線的開口越小。 的符號 開口方向 頂點坐標(biāo) 對稱軸 性質(zhì) 向上 軸 時,隨的增大而增大;時,隨的增大而減小;時,有最小值.
2、 向下 軸 時,隨的增大而減小;時,隨的增大而增大;時,有最大值. 2. 的性質(zhì): 上加下減。 的符號 開口方向 頂點坐標(biāo) 對稱軸 性質(zhì) 向上 軸 時,隨的增大而增大;時,隨的增大而減??;時,有最小值. 向下 軸 時,隨的增大而減小;時,隨的增大而增大;時,有最大值. 3. 的性質(zhì): 左加右減。 的符號 開口方向 頂點坐標(biāo) 對稱軸 性質(zhì) 向上 X=h 時,隨的增大而增大;時,隨的增大而減小;時,有最小值. 向下 X=h 時,隨的增大而減小;時,隨的增
3、大而增大;時,有最大值. 4. 的性質(zhì): 的符號 開口方向 頂點坐標(biāo) 對稱軸 性質(zhì) 向上 X=h 時,隨的增大而增大;時,隨的增大而減小;時,有最小值. 向下 X=h 時,隨的增大而減小;時,隨的增大而增大;時,有最大值. 三、二次函數(shù)圖象的平移 1. 平移步驟: 方法一:⑴ 將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點式,確定其頂點坐標(biāo); ⑵ 保持拋物線的形狀不變,將其頂點平移到處,具體平移方法如下: 2. 平移規(guī)律 在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上“值正右移,負(fù)左移;值正上移,負(fù)下移”. 概括成八個字“左加右減,上加下減”. 方法二
4、: ⑴沿軸平移:向上(下)平移個單位,變成 (或) ⑵沿軸平移:向左(右)平移個單位,變成(或) 四、二次函數(shù)與的比較 從解析式上看,與是兩種不同的表達(dá)形式,后者通過配方可以得到前者,即,其中. 五、二次函數(shù)圖象的畫法 五點繪圖法:利用配方法將二次函數(shù)化為頂點式,確定其開口方向、對稱軸及頂點坐標(biāo),然后在對稱軸兩側(cè),左右對稱地描點畫圖.一般我們選取的五點為:頂點、與軸的交點、以及關(guān)于對稱軸對稱的點、與軸的交點,(若與軸沒有交點,則取兩組關(guān)于對稱軸對稱的點). 畫草圖時應(yīng)抓住以下幾點:開口方向,對稱軸,頂點,與軸的交點,與軸的交點. 六、二次函數(shù)的性質(zhì) 1. 當(dāng)時
5、,拋物線開口向上,對稱軸為,頂點坐標(biāo)為. 當(dāng)時,隨的增大而減?。划?dāng)時,隨的增大而增大;當(dāng)時,有最小值. 2. 當(dāng)時,拋物線開口向下,對稱軸為,頂點坐標(biāo)為.當(dāng)時,隨的增大而增大;當(dāng)時,隨的增大而減小;當(dāng)時,有最大值. 七、二次函數(shù)解析式的表示方法 1. 一般式:(,,為常數(shù),); 2. 頂點式:(,,為常數(shù),); 3. 兩根式:(,,是拋物線與軸兩交點的橫坐標(biāo)). 注意:任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點式,但并非所有的二次函數(shù)都可以寫成交點式,只有拋物線與軸有交點,即時,拋物線的解析式才可以用交點式表示.二次函數(shù)解析式的這三種形式可以互化. 八、二次函數(shù)的圖象與各項
6、系數(shù)之間的關(guān)系 1. 二次項系數(shù) 二次函數(shù)中,作為二次項系數(shù),顯然. ⑴ 當(dāng)時,拋物線開口向上,的值越大,開口越小,反之的值越小,開口越大; ⑵ 當(dāng)時,拋物線開口向下,的值越小,開口越小,反之的值越大,開口越大. 總結(jié)起來,決定了拋物線開口的大小和方向,的正負(fù)決定開口方向,的大小決定開口的大?。? 2. 一次項系數(shù) 在二次項系數(shù)確定的前提下,決定了拋物線的對稱軸. ⑴ 在的前提下, 當(dāng)時,,即拋物線的對稱軸在軸左側(cè); 當(dāng)時,,即拋物線的對稱軸就是軸; 當(dāng)時,,即拋物線對稱軸在軸的右側(cè). ⑵ 在的前提下,結(jié)論剛好與上述相反,即 當(dāng)時,,
7、即拋物線的對稱軸在軸右側(cè); 當(dāng)時,,即拋物線的對稱軸就是軸; 當(dāng)時,,即拋物線對稱軸在軸的左側(cè). 總結(jié)起來,在確定的前提下,決定了拋物線對稱軸的位置. 的符號的判定:對稱軸在軸左邊則,在軸的右側(cè)則,概括的說就是“左同右異” 總結(jié): 3. 常數(shù)項 ⑴ 當(dāng)時,拋物線與軸的交點在軸上方,即拋物線與軸交點的縱坐標(biāo)為正; ⑵ 當(dāng)時,拋物線與軸的交點為坐標(biāo)原點,即拋物線與軸交點的縱坐標(biāo)為; ⑶ 當(dāng)時,拋物線與軸的交點在軸下方,即拋物線與軸交點的縱坐標(biāo)為負(fù). 總結(jié)起來,決定了拋物線與軸交點的位置. 總之,只要都確定,那么這條拋物線就是唯一確
8、定的. 二次函數(shù)解析式的確定: 根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)解析式,通常利用待定系數(shù)法.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式必須根據(jù)題目的特點,選擇適當(dāng)?shù)男问剑拍苁菇忸}簡便.一般來說,有如下幾種情況: 1. 已知拋物線上三點的坐標(biāo),一般選用一般式; 2. 已知拋物線頂點或?qū)ΨQ軸或最大(小)值,一般選用頂點式; 3. 已知拋物線與軸的兩個交點的橫坐標(biāo),一般選用兩根式; 4. 已知拋物線上縱坐標(biāo)相同的兩點,常選用頂點式. 九、二次函數(shù)圖象的對稱 二次函數(shù)圖象的對稱一般有五種情況,可以用一般式或頂點式表達(dá) 1. 關(guān)于軸對稱 關(guān)于軸對稱后,得到的解析式是; 關(guān)于軸
9、對稱后,得到的解析式是; 2. 關(guān)于軸對稱 關(guān)于軸對稱后,得到的解析式是; 關(guān)于軸對稱后,得到的解析式是; 3. 關(guān)于原點對稱 關(guān)于原點對稱后,得到的解析式是; 關(guān)于原點對稱后,得到的解析式是; 4. 關(guān)于頂點對稱(即:拋物線繞頂點旋轉(zhuǎn)180°) 關(guān)于頂點對稱后,得到的解析式是; 關(guān)于頂點對稱后,得到的解析式是. 5. 關(guān)于點對稱 關(guān)于點對稱后,得到的解析式是 根據(jù)對稱的性質(zhì),顯然無論作何種對稱變換,拋物線的形狀一定不會發(fā)生變化,因此永遠(yuǎn)不變.求拋物線的對稱拋物線的表達(dá)式時,可以依據(jù)題意或方便運(yùn)算的原則,選
10、擇合適的形式,習(xí)慣上是先確定原拋物線(或表達(dá)式已知的拋物線)的頂點坐標(biāo)及開口方向,再確定其對稱拋物線的頂點坐標(biāo)及開口方向,然后再寫出其對稱拋物線的表達(dá)式. 十、二次函數(shù)與一元二次方程: 1. 二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系(二次函數(shù)與軸交點情況): 一元二次方程是二次函數(shù)當(dāng)函數(shù)值時的特殊情況. 圖象與軸的交點個數(shù): ① 當(dāng)時,圖象與軸交于兩點,其中的是一元二次方程的兩根.這兩點間的距離. ② 當(dāng)時,圖象與軸只有一個交點; ③ 當(dāng)時,圖象與軸沒有交點. 當(dāng)時,圖象落在軸的上方,無論為任何實數(shù),都有; 當(dāng)時,圖象落在軸的下方,無論為任何實數(shù),都有. 2. 拋物線
11、的圖象與軸一定相交,交點坐標(biāo)為,; 3. 二次函數(shù)常用解題方法總結(jié): ⑴ 求二次函數(shù)的圖象與軸的交點坐標(biāo),需轉(zhuǎn)化為一元二次方程; ⑵ 求二次函數(shù)的最大(小)值需要利用配方法將二次函數(shù)由一般式轉(zhuǎn)化為頂點式; ⑶ 根據(jù)圖象的位置判斷二次函數(shù)中,,的符號,或由二次函數(shù)中,,的符號判斷圖象的位置,要數(shù)形結(jié)合; ⑷ 二次函數(shù)的圖象關(guān)于對稱軸對稱,可利用這一性質(zhì),求和已知一點對稱的點坐標(biāo),或已知與軸的一個交點坐標(biāo),可由對稱性求出另一個交點坐標(biāo). 拋物線與軸有兩個交點 二次三項式的值可正、可零、可負(fù) 一元二次方程有兩個不相等實根 拋物線與軸只有一個交點 二次三項式的值為非負(fù)
12、一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根 拋物線與軸無交點 二次三項式的值恒為正 一元二次方程無實數(shù)根. ⑸ 與二次函數(shù)有關(guān)的還有二次三項式,二次三項式本身就是所含字母的二次函數(shù);下面以時為例,揭示二次函數(shù)、二次三項式和一元二次方程之間的內(nèi)在聯(lián)系: 圖像參考: 十一、函數(shù)的應(yīng)用 二次函數(shù)應(yīng)用 二次函數(shù)考查重點與常見題型 1. 考查二次函數(shù)的定義、性質(zhì),有關(guān)試題常出現(xiàn)在選擇題中,如: 已知以為自變量的二次函數(shù)的圖像經(jīng)過原點, 則的值是 2. 綜合考查正比例、反比例、一次函數(shù)、二次函數(shù)
13、的圖像,習(xí)題的特點是在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)考查兩個函數(shù)的圖像,試題類型為選擇題,如: 如圖,如果函數(shù)的圖像在第一、二、三象限內(nèi),那么函數(shù)的圖像大致是( ) y y y y 1 1 0 x o-1 x 0 x 0 -1 x A B C D 3
14、. 考查用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式,有關(guān)習(xí)題出現(xiàn)的頻率很高,習(xí)題類型有中檔解答題和選拔性的綜合題,如: 已知一條拋物線經(jīng)過(0,3),(4,6)兩點,對稱軸為,求這條拋物線的解析式。 4. 考查用配方法求拋物線的頂點坐標(biāo)、對稱軸、二次函數(shù)的極值,有關(guān)試題為解答題,如: 已知拋物線(a≠0)與x軸的兩個交點的橫坐標(biāo)是-1、3,與y軸交點的縱坐標(biāo)是- (1)確定拋物線的解析式;(2)用配方法確定拋物線的開口方向、對稱軸和頂點坐標(biāo). 5.考查代數(shù)與幾何的綜合能力,常見的作為專項壓軸題。 【例題經(jīng)典】 由拋物線的位置確定系數(shù)的符號 例1 (1)二次函數(shù)的圖像如圖1,則點在(
15、 ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 (2)已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖2所示,則下列結(jié)論:①a、b同號;②當(dāng)x=1和x=3時,函數(shù)值相等;③4a+b=0;④當(dāng)y=-2時,x的值只能取0.其中正確的個數(shù)是( ) A.1個 B.2個 C.3個 D.4個 (1) (2) 【點評】弄清拋物線的位置與系數(shù)a,b,c之間的關(guān)系,是解決問題的關(guān)鍵. 例2.已知二次
16、函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于點(-2,O)、(x1,0),且1
17、例4、(2006年煙臺市)如圖(單位:m),等腰三角形ABC以2米/秒的速度沿直線L向正方形移動,直到AB與CD重合.設(shè)x秒時,三角形與正方形重疊部分的面積為ym2. (1)寫出y與x的關(guān)系式; (2)當(dāng)x=2,3.5時,y分別是多少? (3)當(dāng)重疊部分的面積是正方形面積的一半時, 三角形移動了多長時間?求拋物線頂點坐標(biāo)、 對稱軸. 例5、已知拋物線y=x2+x-. (1)用配方法求它的頂點坐標(biāo)和對稱軸. (2)若該拋物線與x軸的兩個交點為A、B,求線段AB的長. 【點評】本題(1)是對二次函數(shù)的“基本方法”的考查,第(2)問主要考查二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系. 例6.已
18、知:二次函數(shù)y=ax2-(b+1)x-3a的圖象經(jīng)過點P(4,10),交x軸于,兩點,交y軸負(fù)半軸于C點,且滿足3AO=OB.
(1)求二次函數(shù)的解析式;(2)在二次函數(shù)的圖象上是否存在點M,使銳角∠MCO>∠ACO?若存在,請你求出M點的橫坐標(biāo)的取值范圍;若不存在,請你說明理由.
(1)解:如圖∵拋物線交x軸于點A(x1,0),B(x2,O),
則x1·x2=3<0,又∵x1 19、O),P(4,10)代入解析式得解得a=2 b=3
∴.二次函數(shù)的解析式為y-2x2-4x-6.
(2)存在點M使∠MC0<∠ACO.
(2)解:點A關(guān)于y軸的對稱點A’(1,O),
∴直線A,C解析式為y=6x-6直線A'C與拋物線交點為(0,-6),(5,24).
∴符合題意的x的范圍為-1 20、你能否求出題中的二次函數(shù)解析式?若能,請寫出求解過程,并畫出二次函數(shù)圖象;若不能,請說明理由。
(2)請你根據(jù)已有的信息,在原題中的矩形框中,填加一個適當(dāng)?shù)臈l件,把原題補(bǔ)充完整。
點評: 對于第(1)小題,要根據(jù)已知和結(jié)論中現(xiàn)有信息求出題中的二次函數(shù)解析式,就要把原來的結(jié)論“函數(shù)圖象的對稱軸是x=3”當(dāng)作已知來用,再結(jié)合條件“圖象經(jīng)過點A(c,-2)”,就可以列出兩個方程了,而解析式中只有兩個未知數(shù),所以能夠求出題中的二次函數(shù)解析式。對于第(2)小題,只要給出的條件能夠使求出的二次函數(shù)解析式是第(1)小題中的解析式就可以了。而從不同的角度考慮可以添加出不同的條件,可以考慮再給圖象上的一個 21、任意點的坐標(biāo),可以給出頂點的坐標(biāo)或與坐標(biāo)軸的一個交點的坐標(biāo)等。
[解答] (1)根據(jù)的圖象經(jīng)過點A(c,-2),圖象的對稱軸是x=3,得
解得
所以所求二次函數(shù)解析式為圖象如圖所示。
(2)在解析式中令y=0,得,解得
所以可以填“拋物線與x軸的一個交點的坐標(biāo)是(3+”或“拋物線與x軸的一個交點的坐標(biāo)是
令x=3代入解析式,得
所以拋物線的頂點坐標(biāo)為
所以也可以填拋物線的頂點坐標(biāo)為等等。
函數(shù)主要關(guān)注:通過不同的途徑(圖象、解析式等)了解函數(shù)的具體特征;借助多種現(xiàn)實背景理解函數(shù);將函數(shù)視為“變化過程中變量之間關(guān)系”的數(shù)學(xué)模型;滲透函數(shù)的思想;關(guān)注函數(shù)與相關(guān)知識的聯(lián)系。
22、
用二次函數(shù)解決最值問題
例1已知邊長為4的正方形截去一個角后成為五邊形ABCDE(如圖),其中AF=2,BF=1.試在AB上求一點P,使矩形PNDM有最大面積.
【評析】本題是一道代數(shù)幾何綜合題,把相似三角形與二次函數(shù)的知識有機(jī)的結(jié)合在一起,能很好考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力.同時,也給學(xué)生探索解題思路留下了思維空間.
例2 某產(chǎn)品每件成本10元,試銷階段每件產(chǎn)品的銷售價x(元)與產(chǎn)品的日銷售量y(件)之間的關(guān)系如下表:
x(元)
15
20
30
…
y(件)
25
20
10
…
若日銷售量y是銷售價x的一次函數(shù).
(1)求出日銷售量y(件 23、)與銷售價x(元)的函數(shù)關(guān)系式;
(2)要使每日的銷售利潤最大,每件產(chǎn)品的銷售價應(yīng)定為多少元?此時每日銷售利潤是多少元?
【解析】(1)設(shè)此一次函數(shù)表達(dá)式為y=kx+b.則 解得k=-1,b=40,即一次函數(shù)表達(dá)式為y=-x+40.
(2)設(shè)每件產(chǎn)品的銷售價應(yīng)定為x元,所獲銷售利潤為w元
w=(x-10)(40-x)=-x2+50x-400=-(x-25)2+225.
產(chǎn)品的銷售價應(yīng)定為25元,此時每日獲得最大銷售利潤為225元.
【點評】解決最值問題應(yīng)用題的思路與一般應(yīng)用題類似,也有區(qū)別,主要有兩點:(1)設(shè)未知數(shù)在“ 24、當(dāng)某某為何值時,什么最大(或最小、最?。钡脑O(shè)問中,“某某”要設(shè)為自變量,“什么”要設(shè)為函數(shù);(2)問的求解依靠配方法或最值公式,而不是解方程.
例3.你知道嗎?平時我們在跳大繩時,繩甩到最高處的形狀可近似地看為拋物線.如圖所示,正在甩繩的甲、乙兩名學(xué)生拿繩的手間距為4 m,距地面均為1m,學(xué)生丙、丁分別站在距甲拿繩的手水平距離1m、2.5 m處.繩子在甩到最高處時剛好通過他們的頭頂.已知學(xué)生丙的身高是1.5 m,則學(xué)生丁的身高為(建立的平面直角坐標(biāo)系如右圖所示)
( )
A.1.5 m B.1.625 m
C.1.66 m D.1.67 m
分析:本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用
答案:B
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