《（名師導學）2020版高考數(shù)學總復(fù)習 第三章 導數(shù)及其應(yīng)用 第15講 導數(shù)的概念及運算練習 理（含解析）新人教A版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（名師導學）2020版高考數(shù)學總復(fù)習 第三章 導數(shù)及其應(yīng)用 第15講 導數(shù)的概念及運算練習 理（含解析）新人教A版（19頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第三章　導數(shù)及其應(yīng)用 　【p33】 第15講　導數(shù)的概念及運算 夯實基礎(chǔ)　【p33】 【學習目標】 1．了解導數(shù)概念的實際背景． 2．理解導數(shù)的意義及幾何意義． 3．能根據(jù)導數(shù)定義求函數(shù)y＝C(C為常數(shù))，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的導數(shù)． 4．能利用基本初等函數(shù)的導數(shù)公式及導數(shù)運算法則進行某些函數(shù)的求導． 【基礎(chǔ)檢測】 1．—個物體的運動方程為s＝1－t＋t2，其中s的單位是米，t的單位是秒，那么物體在5秒末的瞬時速度是(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．6米/秒B．7米/秒 C．8米/秒D．9米/秒 【解析】物體的運動方

2、程為s＝1－t＋t2， s′＝－1＋2t，s′|t＝5＝9. 【答案】D 2．已知函數(shù)f(x)＝sin x－x，則f′(0)＝(　　) A．0 B．－1 C．1 D．－2 【解析】由函數(shù)的解析式可得：f′(x)＝cos x－1， 則f′(0)＝cos 0－1＝1－1＝0. 【答案】A 3．已知曲線f(x)＝x2＋2x上一點A(2，8)，則lim＝(　　) A．3 B．－3 C．6 D．－6 【解析】由題得f′(x)＝2x＋2, ∴f′(2)＝6， lim＝－lim＝－×6＝－3. 【答案】B 4．曲線y＝e－5x＋2在點(0，3)處的切線方程為______

3、__． 【解析】y＝e－5x＋2的導數(shù)y′＝－5e－5x， 則在x＝0處的切線斜率為－5e0＝－5，切點為(0，3)， 則在x＝0處的切線方程為：y＝－5x＋3，即為5x＋y－3＝0. 【答案】5x＋y－3＝0 5．若函數(shù)f(x)＝f′(1)ex－1－f(0)x＋x2，則f′(1)＝________． 【解析】f′(x)＝f′(1)ex－1－f(0)＋2x，則f′(1)＝f′(1)－f(0)＋2，所以f(0)＝2，故f(x)＝f′(1)ex－1－2x＋x2，則有f(0)＝f′(1)e－1，解得f′(1)＝2e. 【答案】2e 【知識要點】 1．平均變化率及瞬時變化率 (1)

4、函數(shù)y＝f(x)從x1到x2的平均變化率用____表示，且＝. (2)函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的瞬時變化率是：＝. 2．導數(shù)的概念 (1)函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導數(shù)就是函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的瞬時變化率，記作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝. (2)函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導數(shù)f′(x0)是一個確定的數(shù)，當x變化時，f′(x)是x的一個函數(shù)，稱f′(x)為f(x)的導函數(shù)(簡稱導數(shù))，即f′(x)＝. 3．導數(shù)的幾何意義和物理意義 幾何意義：函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導數(shù)就是曲線y＝f(x)上__點(x0，f(x0))處切線__的斜率k，即

5、k＝__f′(x0)__；切線方程為__y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)__． 物理意義：若物體位移隨時間變化的關(guān)系為s＝f(t)，則f′(t0)是物體運動在t＝t0時刻的__瞬時速度__． 4．基本初等函數(shù)的導數(shù)公式 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (1)常用函數(shù)的導數(shù) ①(C)′＝__0__(C為常數(shù)); ②(x)′＝__1__； ③(x2)′＝__2x__；④′＝__－__； ⑤()′＝____． (2)初等函數(shù)的導數(shù)公式 ①(xn)′＝__nxn－1__；②(sin x)′＝__cos__x__； ③(cos x)′＝__－sin__x__

6、；④(ex)′＝__ex__； ⑤(ax)′＝__axln__a__；⑥(ln x)′＝____； ⑦(logax)′＝____． 5．導數(shù)的運算法則 (1)[f(x)±g(x)]′＝__f′(x)±g′(x)__； (2)[f(x)·g(x)]′＝__f′(x)·g(x)＋f(x)·g′(x)__； (3)′＝__(g(x)≠0)__． 6．復(fù)合函數(shù)的導數(shù) (1)對于兩個函數(shù)y＝f(u)和u＝g(x)，如果通過變量u，y可以表示成x的函數(shù)，那么稱這兩個函數(shù)(函數(shù)y＝f(u)和u＝g(x))的復(fù)合函數(shù)為y＝f(g(x))． (2)復(fù)合函數(shù)y＝f(g(x))的導數(shù)和函數(shù)y＝f(

7、u)，u＝g(x)的導數(shù)間的關(guān)系為__y′x＝y(tǒng)′u·u′x__，即y對x的導數(shù)等于y對u的導數(shù)與u對x的導數(shù)的乘積． 典例剖析　【p34】 考點1　導數(shù)的運算法則及應(yīng)用 求下列函數(shù)的導數(shù)： (1)y＝(3x2－4x)(2x＋1)； (2)y＝x2sin x； (3)y＝3xex－2x＋e； (4)y＝. 【解析】(1)∵y＝(3x2－4x)(2x＋1)＝6x3＋3x2－8x2－4x＝6x3－5x2－4x， ∴y′＝18x2－10x－4. (2)y′＝(x2)′sin x＋x2(sin x)′＝2xsin x＋x2cos x. (3)y′＝(3xex)′－(2x)′＋e′

8、＝(3x)′ex＋3x(ex)′－(2x)′ ＝3xexln 3＋3xex－2xln 2 ＝(ln 3＋1)·(3e)x－2xln 2. (4)y′＝＝ ＝. 【點評】求導之前，應(yīng)利用代數(shù)、三角恒等式等變形對函數(shù)進行化簡，然后求導，這樣可以減少運算量，提高運算速度，減少差錯；遇到函數(shù)的商的形式時，如能化簡則化簡，這樣可避免使用商的求導法則，減少運算量． 考點2　復(fù)合函數(shù)的導數(shù) 求下列函數(shù)的導數(shù)： (1)y＝(2x＋1)5； (2)y＝； (3)y＝sin2； (4)y＝xsincos； (5)y＝x. 【解析】(1)設(shè)u＝2x＋1，則y＝u5， ∴y′＝y(tǒng)′u·u′

9、x＝(u5)′u·(2x＋1)′x＝5u4·2＝5(2x＋1)4·2＝10(2x＋1)4. (2)設(shè)u＝1－3x，則y＝u－4， ∴y′x＝y(tǒng)′u·u′x＝(u－4)′u·(1－3x)′x＝－4u－5·(－3)＝12u－5＝. (3)y′＝′＝2sin·′＝2sin·cos·′ ＝2sin·cos·2＝2sin. (4)∵y＝xsincos＝xsin(4x＋π)＝－xsin 4x， ∴y′＝－sin 4x－x·4cos 4x＝－sin 4x－2xcos 4x. (5)y′＝(x)′＝x′·＋x·()′＝＋＝. 【點評】求復(fù)合函數(shù)的導數(shù)，關(guān)鍵在于分析函數(shù)的復(fù)合關(guān)系，適當確定中間變

10、量，然后“由外及內(nèi)”逐層求導． 考點3　導數(shù)運算的應(yīng)用 (1)若函數(shù)f(x)在R上可導，且f(x)＝x2＋2f′(1)x＋3，則(　　) A．f(0)f(4) D．以上都不對 【解析】函數(shù)的導數(shù)f′(x)＝2x＋2f′(1)， 令x＝1，得f′(1)＝2＋2f′(1)，即f′(1)＝－2， 故f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，函數(shù)的對稱軸為x＝2，則f(0)＝f(4)． 【答案】B (2)已知f′(x)是函數(shù)f(x)的導函數(shù)，且對任意的實數(shù)x都有f′(x)＝ex(2x－2)＋f(x)，f(0)＝1，則(　　)

11、A．f(x)＝ex(x＋1) B．f(x)＝ex(x－1) C．f(x)＝ex(x＋1)2 D．f(x)＝ex(x－1)2 【解析】令G(x)＝，則G′(x)＝＝2x－2， 可設(shè)G(x)＝x2－2x＋c， ∵G(0)＝f(0)＝1.∴c＝1. ∴f(x)＝(x2－2x＋1)ex＝ex(x－1)2. 【答案】D (3)在直角坐標系xOy中，點A(2，1)，B(3，0)，E(x，0)(x≥0)，過點E作OB的垂線l.記△AOB在直線l左側(cè)部分的面積為S，則函數(shù)S＝f(x)的圖象為下圖中的(　　) 【解析】函數(shù)的定義域為[0，＋∞)，當x∈[0，2]時，在單位長度變化量Δx內(nèi)

12、面積變化量ΔS大于0且越來越大，即斜率f′(x)在[0，2]內(nèi)大于0且越來越大，因此，函數(shù)S＝f(x)的圖象是上升的，且圖象是下凸的； 當x∈(2，3)時，在單位長度變化量Δx內(nèi)面積變化量ΔS大于0且越來越小，即斜率f′(x)在(2，3)內(nèi)大于0且越來越小，因此，函數(shù)S＝f(x)的圖象是上升的，且圖象是上凸的； 當x∈[3，＋∞)時，在單位長度變化量Δx內(nèi)面積變化量ΔS為0，即斜率f′(x)在[3，＋∞)內(nèi)為常數(shù)0，此時，函數(shù)圖象為平行于x軸的射線． 【答案】D 【點評】函數(shù)圖象在每一點處的切線斜率的變化情況反映函數(shù)圖象在相應(yīng)點處的變化情況，由切線的傾斜程度可以判斷出函數(shù)圖象升降的快慢

13、． 考點4　導數(shù)的幾何意義 (1)函數(shù)f(x)＝ln x＋x2－bx＋a (b>0，a∈R)的圖象在點(b，f(b))處的切線斜率的最小值是(　　) A．2 B. C．1 D．2 【解析】∵f′(x)＝＋2x－b，∴k＝f′(b)＝＋b≥2＝2，當且僅當b＝1時取等號，因此切線斜率的最小值是2. 【答案】D (2)設(shè)函數(shù)f(x)＝2x3＋(a＋3)xsin x＋ax.若f(x)為奇函數(shù)，則曲線y＝f(x)在點(0，0)處的切線方程為(　　) A．y＝－x B．y＝－2x C．y＝－4x D．y＝－3x 【解析】∵函數(shù)f(x)＝2x3＋(a＋3)xsin x＋ax為奇

14、函數(shù)， ∴f(－x)＝－f(x)，即2(－x)3＋(a＋3)(－x)sin(－x)＋a·(－x)＝－2x3＋(a＋3)xsin x－ax. ∴a＋3＝0，即a＝－3. ∴f(x)＝2x3－3x，則f′(x)＝6x2－3. ∴曲線y＝f(x)在點(0，0)處的切線的斜率為f′(0)＝－3. ∵f(0)＝0， ∴曲線y＝f(x)在點(0，0)處的切線方程為y＝－3x. 【答案】D (3)過點(e，－e)作曲線y＝ex－x的切線，則切線方程為(　　) A．y＝(－1－e)x＋e2 B．y＝(e－1)x－e2 C．y＝(ee＋1－1)x－ee＋2 D．y＝(ee－1)x－ee＋

15、1 【解析】由y＝ex－x，得y′＝ex－1， 設(shè)切點為(x0，ex0－x0)，則y′|x＝x0＝ex0－1， ∴切線方程為y－ex0＋x0＝(ex0－1)(x－x0)， ∵切線過點(e，－e)， ∴－ex0＝ex0(e－x0)， 解得：x0＝e＋1. ∴切線方程為y－ee＋1＋e＋1＝(ee＋1－1)(x－e－1)， 整理得：y＝(ee＋1－1)x－ee＋2. 【答案】C (4)設(shè)對函數(shù)f(x)＝－ex－x圖象上任意一點處的切線為l1，若總存在函數(shù)g(x)＝ax＋2cos x圖象上一點處的切線l2，使得l1⊥l2，則實數(shù)a的取值范圍是(　　) A．[－1，2] B．(

16、－1，2) C．[－2，1] D．(－2，1) 【解析】f(x)＝－ex－x，則f′(x)＝－ex－1， ∵ex＋1>1，∴－ex－1<－1， 由g(x)＝ax＋2cos x，可得g′(x)＝a－2sin x， 又－2sin x∈[－2，2]， ∴a－2sin x∈[－2＋a，2＋a]， 要使得過曲線f(x)＝－ex－x上任意一點的切線為l1，總存在過曲線g(x)＝ax＋2cos x上一點處的切線l2，使得l1⊥l2， 則解得－1≤a≤2. 即實數(shù)a的取值范圍是[－1，2]． 【答案】A 【點評】導數(shù)的幾何意義是切點處切線的斜率，應(yīng)用時主要體現(xiàn)在以下幾個方面： (

17、1)已知切點A(x0，f(x0))求斜率k，即求該點處的導數(shù)值：k＝f′(x0)． (2)已知斜率k，求切點A(x1，f(x1))，即解方程f′(x1)＝k. (3)若求過點P(x0，y0)的切線方程，可設(shè)切點為(x1，y1)，由求解即可． 方法總結(jié)　　【p35】 1．應(yīng)用基本初等函數(shù)的導數(shù)公式進行導數(shù)計算時應(yīng)注意：①公式(xn)′＝nxn－1中，n為有理數(shù)；②公式(ax)′＝axln a，(logax)′＝與(ex)′＝ex，(ln x)′＝，清楚地區(qū)分和熟記． 2．復(fù)合函數(shù)的導數(shù)計算關(guān)鍵是聯(lián)想基本初等函數(shù)，準確地通過中間量對復(fù)合函數(shù)進行分拆，同時最后結(jié)果是關(guān)于x的函數(shù)解析式．

18、3．導數(shù)的幾何意義是高考考查的熱點問題，應(yīng)特別注意“過點P的切線”與“在點P處的切線”意義完全不一樣，前者點P不一定是切點，而后者點P一定是切點，且在曲線上． 走進高考　　【p35】 1．(2018·全國卷Ⅰ)設(shè)函數(shù)f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax.若f(x)為奇函數(shù)，則曲線y＝f(x)在點(0，0)處的切線方程為(　　) A．y＝－2x B．y＝－x C．y＝2x D．y＝x 【解析】由f(x)為奇函數(shù)易知a＝1，所以f(x)＝x3＋x，f′(x)＝3x2＋1，所以f′(0)＝1，所以直線y＝f(x)在(0，0)處的切線方程為y＝x. 【答案】D 2．(2018·全國卷

19、Ⅲ)曲線y＝(ax＋1)ex在點(0，1)處的切線的斜率為－2，則a＝________． 【解析】y′＝aex＋(ax＋1)ex，則f′(0)＝a＋1＝－2，所以a＝－3. 【答案】－3 考點集訓　　【p192】 A組題 1．有一機器人的運動方程為s(t)＝t2＋(t是時間，s是位移)，則該機器人在時刻t＝2時的瞬時速度為(　　) A. B. C. D. 【解析】由題意知，機器人的速度方程為v(t)＝s′(t)＝2t－， 故當t＝2時，機器人的瞬時速度為v(2)＝2×2－＝. 【答案】D 2．設(shè)函數(shù)f(x)可導，則等于(　　) A．f′(1) B．3f′(1)

20、C.f′(1) D．f′(3) 【解析】根據(jù)函數(shù)f(x)在x＝x0處導數(shù)定義， f′(1)＝＝3·， ∴＝·f′(1)． 【答案】C 3．下列求導①(sin x)′＝－cos x；②′＝；③(e2x)′＝2e2x；④′＝，正確的有(　　) A．0個 B．1個 C．2個 D．3個 【解析】(sin x)′＝cos x，故①錯誤； ′＝－，故②錯誤； (e2x)′＝2e2x，故③正確； ＝＝，故④錯誤． 正確的有一個． 【答案】B 4．求曲線f(x)＝x－2ln x在點A(1，f(1))處的切線方程(　　) A．x＋y－2＝0 B．x－y－2＝0 C．x＋y

21、＋2＝0 D．x－y＋2＝0 【解析】f′(x)＝1－，所以f′(1)＝－1，f(1)＝1，所以切線方程為y－1＝－(x－1)，化簡得x＋y－2＝0. 【答案】A 5．已知函數(shù)f(x)＝ln(x＋1)·cos x－ax在(0，f(0))處的切線的傾斜角為45°，則a＝(　　) A．－2 B．－1 C．0 D．3 【解析】求出導函數(shù)f′(x)＝－ln(x＋1)·sin x－a， 又函數(shù)f(x)＝ln(x＋1)·cos x－ax在(0，f(0))處的切線的傾斜角為45°， ∴1－a＝1，即a＝0. 【答案】C 6．若函數(shù)f(x)＝xex＋f′(1)x2，則f′(1)＝__

22、______． 【解析】∵函數(shù)f(x)＝xex＋f′(1)x2， ∴f′(x)＝ex＋xex＋2f′(1)x， ∴f′(1)＝e＋e＋2f′(1)，即f′(1)＝－2e. 【答案】－2e 7．設(shè)函數(shù)f(x)＝，其中a>0.若對于任意x∈R，f′(x)≥0，則實數(shù)a的取值范圍是________． 【解析】由題可知，f′(x)＝， 令g(x)＝ax2－2ax＋1，則g(x)與f′(x)符號相同， ∵對于任意x∈R，f′(x)≥0， ∴對于任意x∈R，g(x)≥0恒成立， 又∵a>0， 根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，得Δ＝(－2a)2－4a≤0，解得0＜a≤1， ∴實數(shù)a的取值范

23、圍是(0，1]． 【答案】(0，1] 8．已知函數(shù)f(x)＝ln x＋. (1)當函數(shù)f(x)在點(1，f(1))處的切線與直線4y－x＋1＝0垂直時，求實數(shù)m的值； (2)若x≥1時，f(x)≥1恒成立，求實數(shù)m的取值范圍． 【解析】(1)f′(x)＝－， ∴函數(shù)f(x)在點(1，f(1))處的切線的斜率k＝f′(1)＝1－m， 函數(shù)f(x)在點(1，f(1))處的切線與直線4y－x＋1＝0垂直， 又因為直線4y－x＋1＝0的斜率為. ∴(1－m)＝－1， ∴1－m＝－4，∴m＝5. (2)依題意可得不等式ln x＋≥1在x≥1時恒成立， 即m≥x－xln x在x≥1

24、時恒成立． 設(shè)g(x)＝x－xln x(x≥1)． 則g′(x)＝1－ln x－1＝－ln x≤0， 所以函數(shù)g(x)在[1，＋∞)上為減函數(shù)， ∴g(x)≤g(1)＝1－1·ln 1＝1. ∴m≥1. B組題 1．已知直線l：x－ty－2＝0(t≠0)與函數(shù)f(x)＝(x>0)的圖象相切，則切點的橫坐標為(　　) A．2± B．2±2 C．2 D．1＋ 【解析】由f(x)＝(x>0)可得f′(x)＝， 設(shè)切點坐標為(m，n)(m>0)， 則解得m＝2±. 【答案】A 2．已知函數(shù)f(x)及其導數(shù)f′(x)，若存在x0，使得f(x0)＝f′(x0)，則稱x0是f

25、(x)的一個“巧值點”，則下列函數(shù)中有“巧值點”的是________． ①f(x)＝x2；②f(x)＝e－x；③f(x)＝ln x；④f(x)＝tan x；⑤f(x)＝. 【解析】①f′(x)＝2x，x2＝2x得x＝0或x＝2，有“巧值點”；②f′(x)＝－e－x，e－x＝－e－x無解，無“巧值點”；③f′(x)＝，方程ln x＝有解，有“巧值點”；④f′(x)＝，方程tan x＝無解，無“巧值點”；⑤，方程f′(x)＝－，方程＝－有解，x＝－1，有“巧值點”． 【答案】①③⑤ 3．已知函數(shù)f(x)，x∈(0，＋∞)的導函數(shù)為f′，且滿足xf′－2f＝x3ex，f(1)＝e－1，則f(

26、x)在處的切線方程為____________． 【解析】∵xf′－2f＝x3ex，∴＝ex. 令g＝，則g′＝＝ex， ∴g＝＝ex＋c(c為常數(shù))， ∴f＝x2， 又f＝e＋c＝e－1，∴c＝－1. ∴f＝x2， ∴f′＝2x＋x2ex＝ex－2x， ∴f′＝8e2－4. 又f＝4， ∴所求切線方程為y－4＝，即y＝x－12e2＋4. 【答案】y＝x－12e2＋4 4．設(shè)函數(shù)f(x)＝xln x－ax2＋(b－1)x，g(x)＝ex－ex(e為自然對數(shù)的底數(shù))． (1)求g(x)在(1，0)處的切線方程； (2)當b＝0時，函數(shù)f(x)有兩個極值點，求a的取值范圍

27、； (3)若y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線與x軸平行，且函數(shù)h(x)＝f(x)＋g(x)在x∈(1，＋∞)時，其圖象上每一點處切線的傾斜角均為銳角，求a的取值范圍． 【解析】(1)由題得g′(x)＝ex－e，∴k＝g′(1)＝e－e＝0， 所以切線方程為y＝0. (2)當b＝0時，f(x)＝xln x－ax2－x，f′(x)＝ln x－2ax， 所以f(x)＝xln x－ax2－x有兩個極值點就是方程ln x－2ax＝0有兩個解， 即y＝2a與m(x)＝的圖象的交點有兩個． ∵m′(x)＝，當x∈(0，e)時，m′(x)>0，m(x)單調(diào)遞增；當x∈(e，＋∞)時，m′

28、(x)<0，m(x)單調(diào)遞減．m(x)有極大值，又因為x∈(0，1]時，m(x)≤0；當x∈(1，＋∞)時，0＜m(x)＜. 當a∈時，y＝2a與m(x)＝的圖象的交點有0個； 當a∈(－∞，0]或a＝時，y＝2a與m(x)＝的圖象的交點有1個； 當a∈時，y＝2a與m(x)＝的圖象的交點有2個； 綜上a∈. (3)函數(shù)y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線與x軸平行， 所以f′(1)＝0且f(1)≠0，因為f′(x)＝ln x－2ax＋b， 所以b＝2a且a≠1； h(x)＝xln x－ax2＋(b－1)x＋ex－ex在x∈(1，＋∞)時，其圖象的每一點處的切線的傾斜角均為

29、銳角， 即當x>1時，h′(x)＝f′(x)＋g′(x)＞0恒成立， 即ln x＋ex－2ax＋2a－e>0， 令t(x)＝ln x＋ex－2ax＋2a－e，∴t′(x)＝＋ex－2a， 設(shè)φ(x)＝＋ex－2a，φ′(x)＝ex－， 因為x>1，所以ex>e，＜1，∴φ′(x)＞0， ∴φ(x)在(1，＋∞)單調(diào)遞增，即t′(x)在(1，＋∞)單調(diào)遞增， ∴t′(x)＞t′(1)＝1＋e－2a， 當a≤且a≠1時，t′(x)≥0， 所以t(x)＝ln x＋ex－2ax＋2a－e在(1，＋∞)單調(diào)遞增， ∴t(x)>t(1)＝0成立； 當a>時，因為t′(x)在(1，＋∞)單調(diào)遞增，所以t′(1)＝1＋e－2a<0，t′(ln 2a)＝＋2a－2a>0， 所以存在x0∈(1，ln 2a)有t′(x0)＝0， 當x∈(1，x0)時，t′(x)<0，t(x)單調(diào)遞減，所以有t(x0)0不恒成立； 所以實數(shù)a的取值范圍是(－∞，1)∪. 19