第56練　垂直的判定與性質(zhì) [基礎(chǔ)保分練] 1.(2019·鎮(zhèn)海中學(xué)模擬)已知直線a，b，m，其中a，b在平面α內(nèi).則“m⊥a，m⊥b”是“m⊥α”的(　　) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 2.(2019·寧波十校聯(lián)考)已知α，β，γ是三個互不重合的平面，l是一條直線，下列命題中正確的是(　　) A.若α⊥β，l⊥β，則l∥α B.若l上有兩個點到α的距離相等，則l∥α C.若l⊥α，l∥β，則α⊥β D.若α⊥β，α⊥γ，則γ⊥β 3.設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，則下列命題正確的是(　　) ①若m⊥α，α⊥β，則m∥β； ②若m⊥α，α∥β，n?β，則m⊥n； ③若m?α，n?β，m∥n，則α∥β； ④若n⊥α，n⊥β，m⊥β，則m⊥α. A.①②B.③④C.①③D.②④ 4.“直線l垂直于平面α”的一個必要不充分條件是(　　) A.直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線垂直 B.過直線l的任意一個平面與平面α垂直 C.存在平行于直線l的直線與平面α垂直 D.經(jīng)過直線l的某一個平面與平面α垂直 5.已知直線a∥平面α，則“直線a⊥平面β”是“平面α⊥平面β”的(　　) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 6.(2018·北京)某四棱錐的三視圖如圖所示，在此四棱錐的側(cè)面中，直角三角形的個數(shù)為(　　) A.1B.2C.3D.4 7.已知m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，給出四個命題： ①若α∩β＝m，n?α，n⊥m，則α⊥β； ②若m⊥α，m⊥β，則α∥β； ③若m⊥α，n⊥β，m⊥n，則α⊥β； ④若m∥α，n∥β，m∥n，則α∥β. 其中正確的命題是(　　) A.①②B.②③C.①④D.③④ 8.已知在正四面體P－ABC中，D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，CA的中點，則下面四個結(jié)論中不正確的是(　　) A.BC∥平面PDF B.DF⊥平面PAE C.平面PDF⊥平面ABC D.平面PAE⊥平面ABC 9.如圖，PA⊥⊙O所在平面，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點，AE⊥PC，AF⊥PB，給出下列結(jié)論： ①AE⊥BC；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC. 其中真命題的序號是________. 10.設(shè)a，b為不重合的兩條直線，α，β為不重合的兩個平面，給出下列命題： ①若a∥α且b∥α，則a∥b；②若a⊥α且a⊥β，則α∥β； ③若α⊥β，則一定存在平面γ，使得γ⊥α，γ⊥β； ④若α⊥β，則一定存在直線l，使得l⊥α，l∥β. 上面命題中，所有真命題的序號是________. [能力提升練] 1.如圖，在三棱錐P－ABC中，不能得出AP⊥BC的條件是(　　) A.AP⊥PB，AP⊥PC B.AP⊥PB，BC⊥PB C.平面PBC⊥平面APC，BC⊥PC D.AP⊥平面PBC 2.如圖所示，O為正方體ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD的中心，則下列直線中與B1O垂直的是(　　) A.A1D B.AA1 C.A1D1 D.A1C1 3.已知在空間四邊形ABCD中，AD⊥BC，AD⊥BD，且△BCD是銳角三角形，則必有(　　) A.平面ABD⊥平面ADC B.平面ABD⊥平面ABC C.平面ADC⊥平面BDC D.平面ABC⊥平面BDC 4.已知矩形ABCD中，AB＝1，BC＝.將△ABD沿矩形的對角線BD所在直線進行翻折，在翻折過程中(　　) A.存在某個位置，使得直線AC與直線BD垂直 B.存在某個位置，使得直線AB與直線CD垂直 C.存在某個位置，使得直線AD與直線BC垂直 D.對任意位置，三對直線“AC與BD”“AB與CD”“AD與BC”均不垂直 5.已知α，β是兩個不同的平面，m，n是兩條不同的直線，給出下列命題： ①若m⊥α，m?β，則α⊥β； ②若m⊥α，n?α，m∥β，n∥β，則α∥β； ③如果m?α，n?α，m，n是異面直線，那么n與α相交； ④若α∩β＝m，n∥m，且n?α，n?β，則n∥α且n∥β. 其中的真命題是________.(填序號) 6.如圖所示，已知△ABC為直角三角形，其中∠ACB＝90°，M為AB的中點，PM垂直于△ABC所在平面，那么PA________PB________PC.(填“>”或“<”或“＝”) 答案精析 基礎(chǔ)保分練 1．B　2.C　3.D　4.D　5.A　6.C　7.B　8.C　9.①②④　10.②③④ 能力提升練 1．B　[A中，因為AP⊥PB，AP⊥PC，PB∩PC＝P， 所以AP⊥平面PBC.又BC?平面PBC，所以AP⊥BC，故A可以得出AP⊥BC； C中，因為平面BPC⊥平面APC，且平面BPC∩平面APC＝PC，BC⊥PC，BC?平面PBC，所以BC⊥平面APC. 又AP?平面APC，所以PA⊥BC， 故C可以得出AP⊥BC； D中，由A知D可以得出AP⊥BC； B中條件不能得出AP⊥BC，故選B.] 2．D　[由題易知A1C1⊥平面BB1D1D， 又OB1?平面BB1D1D，∴A1C1⊥B1O.] 3．C　[∵AD⊥BC，AD⊥BD，BC∩BD＝B， BC，BD?平面BDC，∴AD⊥平面BDC， 又AD?平面ADC， ∴平面ADC⊥平面BDC.] 4．B　[在矩形ABCD中，作AE⊥BD于E，連接CE.在翻折過程中，AE⊥BD，假設(shè)存在某個位置使AC⊥BD，則BD⊥平面AEC，則BD⊥CE，由條件知BD與CE不垂直，故A錯誤；對于C，在翻折過程中，若AD⊥BC，則AD⊥平面ABC，得AD⊥AC，從而△ACD為直角三角形，得∠CAD＝90°，而CD<AD，這種情況是不可能的，故C錯誤；若AB⊥CD，由BC⊥CD，可得CD⊥平面ACB，則CD⊥AC，則AB＝CD＝1，BC＝AD＝，可得AC＝1，那么存在AC＝1這樣的位置，使得AB⊥CD成立，故B正確，D錯誤．] 5．①④ 解析　若m⊥α，m?β，由線面垂直的相關(guān)性質(zhì)可得面面垂直，即α⊥β，①正確；若m⊥α，n?α，m∥β，n∥β，由線面垂直與線面平行的相關(guān)性質(zhì)可得α⊥β，②錯誤；如果m?α，n?α，m，n是異面直線，也可出現(xiàn)n與α平行，③錯誤；α∩β＝m，n∥m，且n?α，n?β，由線面平行的相關(guān)性質(zhì)可得n∥α且n∥β，④正確． 6．＝?。? 5