專題突破練1　選擇題、填空題的解法 一、選擇題 1.方程ax2+2x+1=0至少有一個(gè)負(fù)根的充要條件是(　　) A.0<a≤1 B.a<1 C.a≤1 D.0<a≤1或a<0 2.(2019北京海淀區(qū)高三一模,理6)已知復(fù)數(shù)z=a+i(a∈R),則下面結(jié)論正確的是(　　) A.z=-a+i B.|z|≥1 C.z一定不是純虛數(shù) D.在復(fù)平面上,z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)可能在第三象限 3.(2019河北衡水中學(xué)高三三模,文6)已知向量a,b滿足|a|=|b|=1,且其夾角為θ,則“|a-b|>1”是“θ∈π3,π”的(　　) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件 4.設(shè)f(x)=ln x,0<a<b,若p=f(ab),q=fa+b2,r=12[f(a)+f(b)],則下列關(guān)系式中正確的是(　　) A.q=r<p B.q=r>p C.p=r<q D.p=r>q 5.在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若a,b,c成等差數(shù)列,則cosA+cosC1+cosAcosC等于(　　) A.35 B.45 C.34 D.43 6.(2019安徽宣城高三二調(diào),理7)已知a,b,c,d都是常數(shù),a>b,c>d.若f(x)=2 019+(x-a)(x-b)的零點(diǎn)為c,d,則下列不等式正確的是(　　) A.a>c>d>b B.a>d>c>b C.c>d>a>b D.c>a>b>d 7.(2019安徽滁州一中高三模擬,文10)已知F為拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn).點(diǎn)A在拋物線上,若點(diǎn)P是拋物線準(zhǔn)線上的動(dòng)點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),且|AF|=5,則|PA|+|PO|的最小值為(　　) A.5 B.13 C.25 D.213 8.設(shè)函數(shù)f(x)=3x-1,x<1,2x,x≥1,則滿足f(f(a))=2f(a)的a的取值范圍是(　　) A.23,1 B.[0,1] C.23,+∞ D.[1,+∞) 9.(2019天津高三二模,文7)已知四面體ABCD的四個(gè)面都為直角三角形,且AB⊥平面BCD,AB=BD=CD=2.若該四面體的四個(gè)頂點(diǎn)都在球O的表面上,則球O的表面積為(　　) A.3π B.23π C.43π D.12π 10.(2019山西高三二模,文12)已知函數(shù)f(x)=xlnx+ax+1只有一個(gè)零點(diǎn),則a的取值范圍為(　　) A.-1e,0 B.-1e,0 C.(-∞,0]∪1e D.(-∞,0)∪1e 二、填空題 11.設(shè)a>b>1,則logab,logba,logabb的大小關(guān)系是　　　　　.(用“<”連接)  12.(2019河北邯鄲一中高三二模,文14)已知直線l過點(diǎn)(1,1),過點(diǎn)P(-1,3)作直線m⊥l,垂足為M,則點(diǎn)M到點(diǎn)Q(2,4)距離的取值范圍為　　　　　.  13.已知函數(shù)f(x)是定義在R上的可導(dǎo)函數(shù),其導(dǎo)函數(shù)記為f'(x),若對(duì)于?x∈R,有f(x)>f'(x),且y=f(x)-1是奇函數(shù),則不等式f(x)<ex的解集為　　　　　.  14.(2019江蘇無錫高三期末)已知直線y=k(x+2)(k>0)與函數(shù)y=|cos x|的圖象恰有四個(gè)公共點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4)(其中x1<x2<x3<x4),則x4+1tanx4=　　　　　.  15.設(shè)函數(shù)g(x)=x2-2(x∈R),f(x)=g(x)+x+4,x<g(x),g(x)-x,x≥g(x),則f(x)的值域?yàn)椤　　　　?  16.(2019山西晉城高三三模,文16)記數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,若Sn=3an+2n-3,則數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=. 　　　　　　　　　　　　　　　　 參考答案 專題突破練1　選擇題、填空題的解法 1.C　解析當(dāng)a=0時(shí),x=-12,符合題意,排除A,D;當(dāng)a=1時(shí),x=-1,符合題意,排除B.故選C. 2.B　解析z=a+i的共軛復(fù)數(shù)為z=a-i,所以A錯(cuò)誤;|z|=a2+1≥1,所以B正確;當(dāng)a=0時(shí),z是純虛數(shù),所以C錯(cuò)誤;復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(a,1),因?yàn)榭v坐標(biāo)y=1,所以不可能在第三象限,D也錯(cuò)誤.故選B. 3.C　解析∵|a|=|b|=1,且其夾角為θ,(1)由|a-b|>1得,(a-b)2=a2-2a·b+b2=1-2cosθ+1>1,∴cosθ<12.又0≤θ≤π,∴π3<θ≤π.即θ∈π3,π. 故|a-b|>1是θ∈π3,π的充分條件. (2)由θ∈π3,π得cosθ<12,∴1-2cosθ+1>1,∴a2-2a·b+b2=(a-b)2>1,∴|a-b|>1.故|a-b|>1是θ∈π3,π的必要條件. 綜上得,“|a-b|>1”是“θ∈π3,π”的充分必要條件.故選C. 4.C　解析f(x)=lnx是增函數(shù),根據(jù)條件不妨取a=1,b=e,則p=f(e)=lne=12,q=f1+e2>f(e)=12,r=12·[f(1)+f(e)]=12.在這種特例情況下滿足p=r<q,所以選C. 5.B　解析(法一)由題意可取特殊值a=3,b=4,c=5,則cosA=45,cosC=0,cosA+cosC1+cosAcosC=45.故選B. (法二)由題意可取特殊角A=B=C=60°,cosA=cosC=12,cosA+cosC1+cosAcosC=45.故選B. 6.A　解析由題意設(shè)g(x)=(x-a)(x-b),則f(x)=2019+g(x), 所以g(x)=0的兩個(gè)根是a,b.由題意知f(x)=0的兩個(gè)根c,d,也就是g(x)=-2019的兩個(gè)根,畫出g(x)(開口向上)以及直線y=-2019的大致圖象,則與f(x)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是c,d,f(x)與x軸交點(diǎn)就是a,b.又a>b,c>d,則c,d在a,b內(nèi),由圖象得,a>c>d>b.故選A. 7.D　解析∵|AF|=5,∴點(diǎn)A到準(zhǔn)線的距離為5,由拋物線焦半徑公式可知:點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為4.又點(diǎn)A在拋物線上,∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(4,±4).∵坐標(biāo)原點(diǎn)關(guān)于準(zhǔn)線對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為B(-2,0),∴|PA|+|PO|=|PA|+|PB|≥|AB|=(-2-4)2+(0±4)2=213.故選D. 8.C　解析當(dāng)a=2時(shí),f(a)=f(2)=22=4>1,f(f(a))=2f(a),∴a=2滿足題意,排除A,B選項(xiàng);當(dāng)a=23時(shí),f(a)=f23=3×23-1=1,f(f(a))=2f(a),∴a=23滿足題意,排除D選項(xiàng),故答案為C. 9.D　解析∵BD=CD=2且△BCD為直角三角形,∴BD⊥CD.又AB⊥平面BCD,CD?平面BCD,∴CD⊥AB.∴CD⊥平面ABD.由此可將四面體ABCD放入邊長(zhǎng)為2的正方體中,如圖所示. ∴正方體的外接球即為該四面體的外接球O,正方體外接球半徑為體對(duì)角線的一半,即R=12·22+22+22=3,∴球O的表面積為S=4πR2=12π,故選D. 10.C　解析∵f(x)=xlnx+ax+1只有一個(gè)零點(diǎn),∴xlnx+a=0只有一解,即a=-xlnx只有一解.設(shè)g(x)=-xlnx(x>0),則g'(x)=-lnx-1=-(lnx+1),當(dāng)0<x<1e時(shí),g'(x)>0,當(dāng)x>1e時(shí),g'(x)<0,∴g(x)在0,1e上單調(diào)遞增,在1e,+∞上單調(diào)遞減.故當(dāng)x=1e時(shí),g(x)取得最大值g1e=1e,且當(dāng)x→0時(shí),g(x)→0,當(dāng)x→+∞時(shí),g(x)→-∞.∵a=g(x)只有一解,∴a≤0或a=1e.故選C. 11.logabb<logab<logba　解析考慮到兩個(gè)數(shù)的大小關(guān)系是確定的,不妨令a=4,b=2,則logab=12,logba=2,logabb=13,顯然13<12<2,∴l(xiāng)ogabb<logab<logba. 12.[2,32]　解析 直線l過定點(diǎn)設(shè)為A,則有A(1,1),設(shè)M(x,y),因?yàn)橹本€m⊥l,則MP⊥MA,所以MP·MA=0,即(-1-x,3-y)·(1-x,1-y)=0,化簡(jiǎn)為:x2+(y-2)2=2,所以點(diǎn)M的軌跡為以C(0,2)為圓心,2為半徑的圓.∵|CQ|=22+22=22,∴|CQ|-2≤|MQ|≤|CQ|+2,即2≤|MQ|≤32.故答案為[2,32]. 13.(0,+∞)　解析由題意令g(x)=f(x)ex,則g'(x)=f'(x)ex-(ex)'f(x)(ex)2=f'(x)-f(x)ex, ∵f(x)>f'(x),∴g'(x)<0, 故函數(shù)g(x)=f(x)ex在R上單調(diào)遞減. ∵y=f(x)-1是奇函數(shù), ∴f(0)-1=0,即f(0)=1,g(0)=1,則不等式f(x)<ex等價(jià)為f(x)ex<1=g(0),即g(x)<g(0),解得x>0. 14.-2　解析直線y=k(x+2)過定點(diǎn)(-2,0),如圖所示. 由圖可知,直線與余弦函數(shù)圖象在x4處相切,且x4∈π2,π,即k(x4+2)=-cosx4,所以k=-cosx4x4+2.又y'=(-cosx)'=sinx,即直線的斜率為k=sinx4,因此k=-cosx4x4+2=sinx4,即cosx4sinx4=-x4-2,所以x4+1tanx4=x4+cosx4sinx4=x4-x4-2=-2. 15.-94,0∪(2,+∞)　解析由x<g(x),得x<x2-2, ∴x<-1或x>2; 由x≥g(x),得x≥x2-2, ∴-1≤x≤2. ∴f(x)=x2+x+2,x<-1或x>2,x2-x-2,-1≤x≤2, 即f(x)= x+122+74,x<-1或x>2,x-122-94,-1≤x≤2. 當(dāng)x<-1時(shí),f(x)>2;當(dāng)x>2時(shí),f(x)>8. ∴當(dāng)x∈(-∞,-1)∪(2,+∞)時(shí),函數(shù)的值域?yàn)?2,+∞). 當(dāng)-1≤x≤2時(shí),-94≤f(x)≤0. ∴當(dāng)x∈[-1,2]時(shí),函數(shù)的值域?yàn)?94,0.綜上可知,f(x)的值域?yàn)?94,0∪(2,+∞). 16.2-32n　解析當(dāng)n=1時(shí),S1=a1=3a1-1,解得a1=12;當(dāng)n≥2時(shí),Sn=3an+2n-3,Sn-1=3an-1+2n-5,兩式相減可得an=3an-3an-1+2,故an=32an-1-1.設(shè)an+λ=32(an-1+λ),故λ=-2,即an-2=32(an-1-2),故an-2an-1-2=32.故數(shù)列an-2是以-32為首項(xiàng),32為公比的等比數(shù)列,故an-2=-32·32n-1.故an=2-32n. 8