2、
3．若函數(shù)f(x)＝x＋(x>2)在x＝a處取最小值，則a等于( )
A．1＋ B．1＋ C．3 D．4
答案 C
解析 ∵x＞2，∴x－2＞0，∴f(x)＝x＋＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝2＋2＝4，當(dāng)且僅當(dāng)x－2＝，即(x－2)2＝1時(shí)等號(hào)成立，解得x＝1或3.又∵x＞2，∴x＝3，即a等于3時(shí)，函數(shù)f(x)在x＝3 處取得最小值，故選C.
4．函數(shù)f(x)＝x＋(x<0)的值域?yàn)? )
A．(－∞，0) B．(－∞，－2]
C．[2，＋∞) D．(－∞，＋∞)
答案 B
解析 f(x)＝－≤－2 ＝－2，當(dāng)且僅當(dāng)－x＝，即x＝－1時(shí)，等號(hào)成立．
5．設(shè)0
3、0，∴y＝＝·≤·＝，當(dāng)且僅當(dāng)x＝2－x，即x＝1時(shí)取等號(hào)．
6．函數(shù)y＝(x>－1)的圖象的最低點(diǎn)的坐標(biāo)是( )
A．(1，2) B．(1，－2) C．(1，1) D．(0，2)
答案 D
解析 y＝＝(x＋1)＋≥2，當(dāng)x＝0時(shí)取最小值．
7．設(shè)00，即>a，D錯(cuò)誤．故選B
4、.
8．已知a>0，b>0，a，b的等比中項(xiàng)是1，且m＝b＋，n＝a＋，則m＋n的最小值是( )
A．3 B．4 C．5 D．6
答案 B
解析 由題意知ab＝1，∴m＝b＋＝2b，n＝a＋＝2a，∴m＋n＝2(a＋b)≥4＝4，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝1時(shí)取等號(hào)．
9．若2x＋2y＝1，則x＋y的取值范圍是( )
A．[0，2] B．[－2，0]
C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]
答案 D
解析 ∵1＝2x＋2y≥2＝2當(dāng)且僅當(dāng)2x＝2y＝，即x＝y(tǒng)＝－1時(shí)等號(hào)成立，∴≤，∴2x＋y≤，得x＋y≤－2.
10．下列函數(shù)中，最小值為4的是( )
A．y＝
5、B．y＝sinx＋(0＜x＜π)
C．y＝ex＋4e－x
D．y＝log3x＋4logx3
答案 C
解析 對(duì)于A，因?yàn)椤?，所以y＝＋的最小值不是4，所以不滿足題意；對(duì)于B，令sinx＝t∈(0，1]，則y＝t＋，y′＝1－＜0，因此函數(shù)y＝t＋在(0，1]上單調(diào)遞減，所以y≥5，所以不滿足題意；對(duì)于C，y≥2＝4，當(dāng)且僅當(dāng)ex＝4e－x，即x＝ln 2時(shí)取等號(hào)，故滿足題意；對(duì)于D，當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，log3x，logx3<0，所以不滿足題意．
11．某車間分批生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每批的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用為800元．若每批生產(chǎn)x件，則平均存儲(chǔ)時(shí)間為天，且每件產(chǎn)品每天的存儲(chǔ)費(fèi)用為1元．為使平均到
6、每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用與存儲(chǔ)費(fèi)用之和最小，每批應(yīng)生產(chǎn)產(chǎn)品( )
A．60件 B．80件 C．100件 D．120件
答案 B
解析 若每批生產(chǎn)x件產(chǎn)品，則每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用是元，存儲(chǔ)費(fèi)用是元，總的費(fèi)用y＝＋≥2 ＝20，當(dāng)且僅當(dāng)＝時(shí)取等號(hào)，得x＝80(件)．故選B.
12．設(shè)M＝，且a＋b＋c＝1，a，b，c∈(0，＋∞)，則M的取值范圍是________．
答案 [8，＋∞)
解析 M＝··≥＝8，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c＝時(shí)取等號(hào)．
二、高考小題
13．(2017·天津高考)已知函數(shù)f(x)＝設(shè)a∈R，若關(guān)于x的不等式f(x)≥＋a在R上恒成立，則a的取值范圍是(
7、)
A．－，2 B．－，
C．[－2，2] D．－2，
答案 A
解析 ①當(dāng)x≤1時(shí)，關(guān)于x的不等式f(x)≥＋a在R上恒成立等價(jià)于－x2＋x－3≤＋a≤x2－x＋3在R上恒成立，即有－x2＋x－3≤a≤x2－x＋3在R上恒成立．由y＝－x2＋x－3圖象的對(duì)稱軸為x＝＜1，可得在x＝處取得最大值－；由y＝x2－x＋3圖象的對(duì)稱軸為x＝＜1，可得在x＝處取得最小值，則－≤a≤.
②當(dāng)x>1時(shí)，關(guān)于x的不等式f(x)≥＋a在R上恒成立等價(jià)于－x＋≤＋a≤x＋在R上恒成立，即有－x＋≤a≤＋在R上恒成立，由于x>1，所以－x＋≤－2＝－2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝時(shí)取得最大值－2；因?yàn)閤>1，所以
8、x＋≥2＝2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝2時(shí)取得最小值2，則－2≤a≤2.
由①②可得－≤a≤2.故選A.
14．(2018·天津高考)已知a，b∈R，且a－3b＋6＝0，則2a＋的最小值為________．
答案
解析 由已知，得2a＋＝2a＋2－3b≥2＝2＝2＝，當(dāng)且僅當(dāng)2a＝2－3b時(shí)等號(hào)成立，由a＝－3b，a－3b＋6＝0，得a＝－3，b＝1，故當(dāng)a＝－3，b＝1時(shí)，2a＋取得最小值.
15．(2015·重慶高考)設(shè)a，b>0，a＋b＝5，則＋的最大值為________．
答案 3
解析 令t＝＋，
則t2＝(＋)2
＝a＋1＋b＋3＋2·
≤9＋a＋1＋b＋3＝18，
當(dāng)
9、且僅當(dāng)a＋1＝b＋3時(shí)，
即a＝，b＝時(shí)，等號(hào)成立，
所以t的最大值為3.
16．(2017·江蘇高考)某公司一年購(gòu)買某種貨物600噸，每次購(gòu)買x噸，運(yùn)費(fèi)為6萬元/次，一年的總存儲(chǔ)費(fèi)用為4x萬元．要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和最小，則x的值是________．
答案 30
解析 設(shè)總費(fèi)用為y萬元，則y＝×6＋4x＝4x＋≥240，當(dāng)且僅當(dāng)x＝，即x＝30時(shí)，等號(hào)成立．
17．(2017·天津高考)若a，b∈R，ab>0，則的最小值為________．
答案 4
解析 ∵a4＋4b4≥2a2·2b2＝4a2b2(當(dāng)且僅當(dāng)a2＝2b2時(shí)“＝”成立)，∴≥＝4ab＋，由于ab＞0，
10、∴4ab＋≥2＝4當(dāng)且僅當(dāng)4ab＝時(shí)“＝”成立，故當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，的最小值為4.
三、模擬小題
18．(2018·廊坊一模)已知m>0，n>0，2m＋n＝1，則＋的最小值為( )
A．4 B．2 C. D．16
答案 C
解析 ∵m>0，n>0，2m＋n＝1，則＋＝(2m＋n)·＋＝＋＋≥＋2＝，當(dāng)且僅當(dāng)n＝，m＝時(shí)取等號(hào)．故選C.
19．(2018·山東日照模擬)若實(shí)數(shù)x，y滿足xy>0，則＋的最大值為( )
A．2－ B．2＋
C．4＋2 D．4－2
答案 D
解析 ＋＝＋＝1＋－＝1＋＝1＋＝1＋，因?yàn)閤y>0，所以>0，>0.由基本不等式可知＋≥2，當(dāng)且僅
11、當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)等號(hào)成立，所以1＋≤1＋＝4－2.
20．(2018·四川資陽診斷)已知a>0，b>0，且2a＋b＝ab，則a＋2b的最小值為( )
A．5＋2 B．8
C．5 D．9
答案 D
解析 ∵a>0，b>0，且2a＋b＝ab，∴a＝>0，解得b>2，即b－2>0，則a＋2b＝＋2b＝1＋＋
2(b－2)＋4≥5＋2＝9，當(dāng)且僅當(dāng)b＝3，a＝3時(shí)等號(hào)成立，其最小值為9.
21．(2018·江西九校聯(lián)考)若正實(shí)數(shù)x，y滿足(2xy－1)2＝(5y＋2)·(y－2)，則x＋的最大值為( )
A．－1＋ B．1
C．1＋ D.
答案 A
解析 由(2xy－1)2
12、＝(5y＋2)·(y－2)，可得(2xy－1)2＝9y2－(2y＋2)2，即(2xy－1)2＋(2y＋2)2＝9y2，得2x－2＋2＋2＝9，又2x－2＋2＋2≥＝，當(dāng)且僅當(dāng)2x－＝2＋時(shí)等號(hào)成立，所以2x＋＋22≤18，得2x＋≤3－2，所以x＋≤，所以x＋的最大值為－1＋.故選A.
22．(2018·南昌摸底)已知函數(shù)y＝x＋(x>2)的最小值為6，則正數(shù)m的值為________．
答案 4
解析 由x>2，知x－2>0，又m>0，則y＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝2＋2，取等號(hào)的條件為x－2＝.從而依題意可知2＋2＝6，解得m＝4.
23．(2018·邯鄲模擬)設(shè)x>0，y>0，且
13、x－2＝，則當(dāng)x＋取最小值時(shí)，x2＋＝________.
答案 12
解析 ∵x>0，y>0，∴當(dāng)x＋取最小值時(shí)，x＋2取得最小值，∵x＋2＝x2＋＋，又x－2＝，∴x2＋＝＋，∴x＋2＝＋≥2＝16，∴x＋≥4，當(dāng)且僅當(dāng)＝，即x＝2y時(shí)取等號(hào)，∴當(dāng)x＋取最小值時(shí)，x＝2y，x2＋＋＝16，∴x2＋＋＝16，∴x2＋＝16－4＝12.
一、高考大題
本考點(diǎn)在近三年高考中未涉及此題型．
二、模擬大題
1．(2018·河北唐山模擬)已知x，y∈(0，＋∞)，x2＋y2＝x＋y.
(1)求＋的最小值；
(2)是否存在x，y滿足(x＋1)(y＋1)＝5？并說明理由．
解 (1)因
14、為＋＝＝≥＝2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝1時(shí)，等號(hào)成立，所以＋的最小值為2.
(2)不存在．理由如下：
因?yàn)閤2＋y2≥2xy，
所以(x＋y)2≤2(x2＋y2)＝2(x＋y)．
又x，y∈(0，＋∞)，所以x＋y≤2.
從而有(x＋1)(y＋1)≤2≤4，
因此不存在x，y滿足(x＋1)(y＋1)＝5.
2．(2018·河南駐馬店檢測(cè))某地需要修建一條大型輸油管道通過240 km寬的沙漠地帶，該段輸油管道兩端的輸油站已建好，余下工程是在該段兩端已建好的輸油站之間鋪設(shè)輸油管道和等距離修建增壓站(又稱泵站)．經(jīng)預(yù)算，修建一個(gè)增壓站的費(fèi)用為400萬元，鋪設(shè)距離為x km的相鄰兩增壓站之間的
15、輸油管道的費(fèi)用為x2＋x萬元．設(shè)余下工程的總費(fèi)用為y萬元．
(1)試將y表示成x的函數(shù)；
(2)需要修建多少個(gè)增壓站才能使y最小，其最小值為多少？
解 (1)設(shè)需要修建k個(gè)增壓站，
則(k＋1)x＝240，即k＝－1.
所以y＝400k＋(k＋1)(x2＋x)
＝400＋
＝＋240x－160.
因?yàn)閤表示相鄰兩增壓站之間的距離，則0
16、需要修建11個(gè)增壓站才能使y最小，其最小值為9440萬元．
3．(2018·保定診斷)某商人投資81萬元建一間工作室，第一年裝修費(fèi)為1萬元，以后每年增加2萬元，把工作室出租，每年收入租金30萬元．
(1)若扣除投資和各種裝修費(fèi)，則從第幾年開始獲取純利潤(rùn)？
(2)若干年后該商人為了投資其他項(xiàng)目，對(duì)該工作室有兩種處理方案：①年平均利潤(rùn)最大時(shí)，以46萬元出售該工作室；②純利潤(rùn)總和最大時(shí)，以10萬元出售該工作室．問該商人會(huì)選擇哪種方案？
解 (1)設(shè)第n年獲取利潤(rùn)為y萬元．
n年付出的裝修費(fèi)構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，n年付出的裝修費(fèi)之和為n×1＋×2＝n2，又投資81萬元，n年共
17、收入租金30n萬元，
∴利潤(rùn)y＝30n－n2－81(n∈N*)．
令y>0，即30n－n2－81>0，∴n2－30n＋81<0，
解得3
18、元)，兩種方案盈利相同，但方案①時(shí)間比較短，所以選擇方案①.
4．(2018·南京質(zhì)檢)為了凈化空氣，某科研單位根據(jù)實(shí)驗(yàn)得出，在一定范圍內(nèi)，每噴灑1個(gè)單位的凈化劑，空氣中釋放的濃度y(單位：毫克/立方米)隨著時(shí)間x(單位：天)變化的函數(shù)關(guān)系式近似為y＝若多次噴灑，則某一時(shí)刻空氣中的凈化劑濃度為每次投放的凈化劑在相應(yīng)時(shí)刻所釋放的濃度之和．由實(shí)驗(yàn)知，當(dāng)空氣中凈化劑的濃度不低于4(毫克/立方米)時(shí)，它才能起到凈化空氣的作用．
(1)若一次噴灑4個(gè)單位的凈化劑，則凈化時(shí)間可達(dá)幾天？
(2)若第一次噴灑2個(gè)單位的凈化劑，6天后再噴灑a(1≤a≤4)個(gè)單位的藥劑，要使接下來的4天中能夠持續(xù)有效凈化，
19、試求a的最小值(精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：取1.4)．
解 (1)因?yàn)橐淮螄姙?個(gè)單位的凈化劑，所以濃度
f(x)＝4y＝
則當(dāng)0≤x≤4時(shí)，
由－4≥4，解得x≥0，所以此時(shí)0≤x≤4.
當(dāng)4
2020高考數(shù)學(xué)刷題首選卷 第五章 不等式、推理與證明、算法初步與復(fù)數(shù) 考點(diǎn)測(cè)試35 基本不等式 文（含解析）
