第56練 推理與證明 [基礎(chǔ)保分練] 1.命題“有些有理數(shù)是無限循環(huán)小數(shù)，整數(shù)是有理數(shù)，所以整數(shù)是無限循環(huán)小數(shù)”是假命題，推理錯(cuò)誤的原因是________. 2.甲、乙、丙、丁四位同學(xué)中僅有一人申請(qǐng)了北京大學(xué)的自主招生考試，當(dāng)他們被問到誰(shuí)申請(qǐng)了北京大學(xué)的自主招生考試時(shí)，甲說：“甲或乙申請(qǐng)了”；乙說：“丙申請(qǐng)了”；丙說：“甲和丁都沒有申請(qǐng)”；丁說：“乙申請(qǐng)了”，如果這四位同學(xué)中只有兩人說的是對(duì)的，那么申請(qǐng)了北京大學(xué)的自主招生考試的同學(xué)是________. 3.某中學(xué)的一個(gè)文學(xué)興趣小組中，學(xué)生張博、高銘和劉雨分別從莎士比亞、雨果和曹雪芹三位名家中選擇了一位進(jìn)行性格研究，并且他們選擇的名家各不相同.三位同學(xué)一起來找圖書管理員劉老師，讓劉老師猜猜他們?nèi)烁髯缘难芯繉?duì)象.劉老師猜了三句話：“①?gòu)埐┭芯康氖巧勘葋?；②劉雨研究的肯定不是曹雪芹；③高銘自然不?huì)研究莎士比亞.”很可惜，劉老師的這種猜法，只猜對(duì)了一句，據(jù)此可以推知張博、高銘和劉雨分別研究的是________. 4.完成下面的三段論： 大前提：兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)的乘積是實(shí)數(shù). 小前提：x＋yi與x－yi互為共軛復(fù)數(shù). 結(jié)論：______________________. 5.用反證法證明“已知a，b，c為正實(shí)數(shù)，求證：a＋，b＋，c＋這三個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)不小于2”時(shí)，所作出的假設(shè)為_____________________________________. 6.(2018·南通模擬)用反證法證明“a，b∈R，若a3≥b3，則a≥b”時(shí)，應(yīng)假設(shè)________. 7.設(shè)a，b是不相等的正數(shù)，x＝，y＝，則x，y的大小關(guān)系是________.(用“<”連接) 8.用反證法證明“三角形的三個(gè)內(nèi)角至少有一個(gè)不大于60°”時(shí)，應(yīng)假設(shè)______________. 9.如圖所示是網(wǎng)絡(luò)工作者經(jīng)常用來解釋網(wǎng)絡(luò)運(yùn)作的蛇形模型：數(shù)字1出現(xiàn)在第1行；數(shù)字2,3出現(xiàn)在第2行；數(shù)字6,5,4(從左到右)出現(xiàn)在第3行；數(shù)字7,8,9,10出現(xiàn)在第4行.依次類推，則第20行從左到右第4個(gè)數(shù)為______. 10.某社團(tuán)在學(xué)校組織了一次訪談，全體受訪者中，有6人是學(xué)生，2人是教師；5人是乒乓球愛好者，2人是籃球愛好者，根據(jù)以上信息可知，此次訪談中受訪者最少有________人；最多有________人. [能力提升練] 1.等式“＝”的證明過程：“等式兩邊同時(shí)乘得，左邊＝·＝＝＝1，右邊＝1，左邊＝右邊，故原不等式成立”，應(yīng)用的證明方法是________.(填“綜合法”或“分析法”) 2.在Rt△ABC中，若∠C＝，AC＝b，BC＝a，斜邊AB上的高為h，則有結(jié)論h2＝，運(yùn)用類比方法，若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩互相垂直且長(zhǎng)度分別為a，b，c，三棱錐的直角頂點(diǎn)到底面的高為h，則有h2＝________. 3.用反證法證明“若整系數(shù)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理數(shù)根，則a，b，c中至少有一個(gè)是偶數(shù)”時(shí)，下列假設(shè)正確的是________. 4.(2018·蘇州模擬)“a＝”是“對(duì)任意正數(shù)x，均有x＋≥1”的________條件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”) 5.命題p：已知橢圓＋＝1(a>b>0)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)F2作∠F1PF2的外角平分線的垂線，垂足為M，則OM的長(zhǎng)為定值.類比此命題，在雙曲線中也有命題q：已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為雙曲線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)F2作∠F1PF2的________的垂線，垂足為M，則OM的長(zhǎng)為定值. 6.若定義在區(qū)間D上的函數(shù)f(x)對(duì)于D上的n個(gè)值x1，x2，…，xn總滿足[f(x1)＋f(x2)＋…＋f(xn)]≤f ，則稱函數(shù)f(x)為D上的凸函數(shù).現(xiàn)已知f(x)＝sinx在(0，π)上是凸函數(shù)，則在△ABC中，sinA＋sinB＋sinC的最大值是______________. 答案精析 基礎(chǔ)保分練 1.使用了“三段論”，但大前提錯(cuò)誤　2.乙 3.曹雪芹、莎士比亞、雨果 解析　假設(shè)“張博研究的是莎士比亞”正確，那么“高銘自然不會(huì)研究莎士比亞”也是正確的，這不符合劉老師只猜對(duì)了一句這一條件，所以①錯(cuò)誤；假設(shè)“高銘自然不會(huì)研究莎士比亞”正確，則①不正確，即張博研究的不是莎士比亞，②不正確，即劉雨研究的肯定是曹雪芹，這樣的話莎士比亞沒人研究了，所以③錯(cuò)誤.綜上可知，“劉雨研究的肯定不是曹雪芹”就是劉老師猜對(duì)了的那個(gè)，那么其他兩句話是錯(cuò)的，即高銘研究的是莎士比亞，那么張博研究曹雪芹，劉雨研究雨果.故順序?yàn)椴苎┣?、莎士比亞、雨? 4.(x＋yi)·(x－yi)是實(shí)數(shù) 5.假設(shè)a＋，b＋，c＋這三個(gè)數(shù)都小于2 解析　題干中原命題的結(jié)論為a＋， b＋，c＋這三個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)不小于2， 否定結(jié)論可知其做出的假設(shè)為：假設(shè)a＋，b＋，c＋這三個(gè)數(shù)都小于2. 6.a<b 7.x<y 解析　由于a，b為不相等的正數(shù)， x2＝， y2＝，y2－x2＝＝>0， 所以x<y. 8.三個(gè)內(nèi)角都大于60°　9.194 10.8　15 解析　由題意得，當(dāng)乒乓球愛好者與籃球愛好者均和老師與學(xué)生重復(fù)時(shí)，最少有6＋2＝8(人)，當(dāng)所有人都不重復(fù)時(shí)，最多有6＋2＋5＋2＝15(人). 能力提升練 1.綜合法 解析　從已知出發(fā)，根據(jù)公式進(jìn)行等價(jià)變形，直至證得結(jié)論，所以是綜合法. 2. 解析　由于SA＝a，SB＝b，SC＝c， 且SA，SB，SC兩兩互相垂直， 可得S在底面ABC上的射影為H，連結(jié)CH，延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)D，連結(jié)SD， 可得SD⊥AB，CD⊥AB， 在Rt△SAB中，SD2＝， 在Rt△SDC中，可得SH2＝ ＝＝. 3.假設(shè)a，b，c都不是偶數(shù)　4.充分不必要 5.內(nèi)角平分線 解析　對(duì)于橢圓，延長(zhǎng)F2M與F1P的延長(zhǎng)線交于Q.由對(duì)稱性知，M為F2Q的中點(diǎn)，且PF2＝PQ，從而OM∥F1Q，且OM＝F1Q，而F1Q＝F1P＋PQ＝F1P＋PF2＝2a，所以O(shè)M＝a.對(duì)于雙曲線，過點(diǎn)F2作∠F1PF2的內(nèi)角平分線的垂線，垂足為M，類比可得OM＝a. 6. 解析　已知[f(x1)＋f(x2)＋…＋f(xn)]≤f.(大前提) 因?yàn)閒(x)＝sinx在(0，π)上是凸函數(shù)，(小前提) 所以f(A)＋f(B)＋f(C)≤3f，(結(jié)論) 即sinA＋sinB＋sinC≤3sin＝. 因此sinA＋sinB＋sinC的最大值是. 5