《(新課標(biāo) 全國(guó)I卷)2010-2019學(xué)年高考數(shù)學(xué) 真題分類(lèi)匯編 專(zhuān)題18 不等式選講 文(含解析)》由會(huì)員分享,可在線(xiàn)閱讀,更多相關(guān)《(新課標(biāo) 全國(guó)I卷)2010-2019學(xué)年高考數(shù)學(xué) 真題分類(lèi)匯編 專(zhuān)題18 不等式選講 文(含解析)(8頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、專(zhuān)題18 不等式選講
不等式選講大題:10年10考,而且是作為2個(gè)選做題之一出現(xiàn)的,主要考絕對(duì)值不等式的解法(出現(xiàn)頻率太高了,應(yīng)當(dāng)高度重視),偶爾也考基本不等式.全國(guó)卷很少考不等式小題,如果說(shuō)有考的話(huà),可以認(rèn)為在其它小題中考一些解法之類(lèi)的問(wèn)題.不等式作為一種工具,解題經(jīng)常用到,不單獨(dú)命小題顯然也是合理的.不等式的證明一般考在函數(shù)與導(dǎo)數(shù)綜合題中出現(xiàn).
1.(2019年)已知a,b,c為正數(shù),且滿(mǎn)足abc=1.證明:
(1)++≤a2+b2+c2;
(2)(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24.
【解析】(1)要證++≤a2+b2+c2;因?yàn)閍bc=1.
就要證:++≤a2+b
2、2+c2;
即證:bc+ac+ab≤a2+b2+c2;
即:2bc+2ac+2ab≤2a2+2b2+2c2;
2a2+2b2+2c2﹣2bc﹣2ac﹣2ab≥0
(a﹣b)2+(a﹣c)2+(b﹣c)2≥0;
∵a,b,c為正數(shù),且滿(mǎn)足abc=1.
∴(a﹣b)2≥0;(a﹣c)2≥0;(b﹣c)2≥0恒成立;當(dāng)且僅當(dāng):a=b=c=1時(shí)取等號(hào).
即(a﹣b)2+(a﹣c)2+(b﹣c)2≥0得證.
故++≤a2+b2+c2得證.
(2)證(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24成立;
即:已知a,b,c為正數(shù),且滿(mǎn)足abc=1.
(a+b)為正數(shù);(b+c)為正數(shù);
3、(c+a)為正數(shù);
(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥3(a+b)?(b+c)?(c+a);
當(dāng)且僅當(dāng)(a+b)=(b+c)=(c+a)時(shí)取等號(hào);即:a=b=c=1時(shí)取等號(hào);
∵a,b,c為正數(shù),且滿(mǎn)足abc=1.
(a+b)≥2;(b+c)≥2;(c+a)≥2;
當(dāng)且僅當(dāng)a=b,b=c;c=a時(shí)取等號(hào);即:a=b=c=1時(shí)取等號(hào);
∴(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥3(a+b)?(b+c)?(c+a)≥3×8??=24abc=24;
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=1時(shí)取等號(hào);
故(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24.得證.
故得證.
2.(2018年)已
4、知f(x)=|x+1|﹣|ax﹣1|.
(1)當(dāng)a=1時(shí),求不等式f(x)>1的解集;
(2)若x∈(0,1)時(shí)不等式f(x)>x成立,求a的取值范圍.
【解析】(1)當(dāng)a=1時(shí),f(x)=|x+1|﹣|x﹣1|=,
由f(x)>1,
∴或,
解得x>,
故不等式f(x)>1的解集為(,+∞),
(2)當(dāng)x∈(0,1)時(shí)不等式f(x)>x成立,
∴|x+1|﹣|ax﹣1|﹣x>0,
即x+1﹣|ax﹣1|﹣x>0,
即|ax﹣1|<1,
∴﹣1<ax﹣1<1,
∴0<ax<2,
∵x∈(0,1),
∴a>0,
∴0<x<,
∴a<,
∵>2,
∴0<a≤2
5、,
故a的取值范圍為(0,2].
3.(2017年)已知函數(shù)f(x)=﹣x2+ax+4,g(x)=|x+1|+|x﹣1|.
(1)當(dāng)a=1時(shí),求不等式f(x)≥g(x)的解集;
(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[﹣1,1],求a的取值范圍.
【解析】(1)當(dāng)a=1時(shí),f(x)=﹣x2+x+4,是開(kāi)口向下,對(duì)稱(chēng)軸為x=的二次函數(shù),
g(x)=|x+1|+|x﹣1|=,
當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),令﹣x2+x+4=2x,解得x=,g(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增,f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞減,∴此時(shí)f(x)≥g(x)的解集為(1,];
當(dāng)x∈[﹣1,1]時(shí),g(x)=2,
6、f(x)≥f(﹣1)=2.
當(dāng)x∈(﹣∞,﹣1)時(shí),g(x)單調(diào)遞減,f(x)單調(diào)遞增,且g(﹣1)=f(﹣1)=2.
綜上所述,f(x)≥g(x)的解集為[﹣1,];
(2)依題意得:﹣x2+ax+4≥2在[﹣1,1]恒成立,即x2﹣ax﹣2≤0在[﹣1,1]恒成立,則只需,解得﹣1≤a≤1,
故a的取值范圍是[﹣1,1].
4.(2016年)已知函數(shù)f(x)=|x+1|﹣|2x﹣3|.
(1)在圖中畫(huà)出y=f(x)的圖象;
(2)求不等式|f(x)|>1的解集.
【解析】(1)f(x)=,
由分段函數(shù)的圖象畫(huà)法,可得f(x)的圖象,如圖:
(2)由|f(x)|>
7、1,可得
當(dāng)x≤﹣1時(shí),|x﹣4|>1,解得x>5或x<3,即有x≤﹣1;
當(dāng)﹣1<x<時(shí),|3x﹣2|>1,解得x>1或x<,
即有﹣1<x<或1<x<;
當(dāng)x≥時(shí),|4﹣x|>1,解得x>5或x<3,即有x>5或≤x<3.
綜上可得,x<或1<x<3或x>5.
則|f(x)|>1的解集為(﹣∞,)∪(1,3)∪(5,+∞).
5.(2015年)已知函數(shù)f(x)=|x+1|﹣2|x﹣a|,a>0.
(1)當(dāng)a=1時(shí),求不等式f(x)>1的解集;
(2)若f(x)的圖象與x軸圍成的三角形面積大于6,求a的取值范圍.
【解析】(1)當(dāng)a=1時(shí),不等式f(x)>1,即|x+1|
8、﹣2|x﹣1|>1,
即①,或②,或③.
解①求得x∈?,解②求得<x<1,解③求得1≤x<2.
綜上可得,原不等式的解集為(,2).
(2)函數(shù)f(x)=|x+1|﹣2|x﹣a|=,
由此求得f(x)的圖象與x軸的交點(diǎn)A (,0),B(2a+1,0),
故f(x)的圖象與x軸圍成的三角形的第三個(gè)頂點(diǎn)C(a,a+1),
由△ABC的面積大于6,
可得[2a+1﹣](a+1)>6,求得a>2.
故要求的a的范圍為(2,+∞).
6.(2014年)若a>0,b>0,且+=.
(1)求a3+b3的最小值;
(2)是否存在a,b,使得2a+3b=6?并說(shuō)明理由.
【解析】
9、(1)∵a>0,b>0,且+=,
∴=+≥,∴ab≥2,
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=時(shí)取等號(hào).
∵a3+b3 ≥≥=,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=時(shí)取等號(hào),
∴a3+b3的最小值為.
(2)∵2a+3b≥=,當(dāng)且僅當(dāng)2a=3b時(shí),取等號(hào).
而由(1)可知,≥=>6,
故不存在a,b,使得2a+3b=6成立.
7.(2013年)已知函數(shù)f(x)=|2x﹣1|+|2x+a|,g(x)=x+3.
(1)當(dāng)a=﹣2時(shí),求不等式f(x)<g(x)的解集;
(2)設(shè)a>﹣1,且當(dāng)x∈[,]時(shí),f(x)≤g(x),求a的取值范圍.
【解析】(1)當(dāng)a=﹣2時(shí),求不等式f(x)<g(x)化為|2x﹣1|+|2
10、x﹣2|﹣x﹣3<0.
設(shè)y=|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3,則y=,它的圖象如圖所示:
結(jié)合圖象可得,y<0的解集為(0,2),故原不等式的解集為(0,2).
(2)設(shè)a>﹣1,且當(dāng)x∈[,]時(shí),f(x)=1+a,不等式化為1+a≤x+3,
故x≥a﹣2對(duì)x∈[,]都成立.
故≥a﹣2,
解得a≤,
故a的取值范圍為(﹣1,].
8.(2012年)已知函數(shù)f(x)=|x+a|+|x﹣2|
(1)當(dāng)a=﹣3時(shí),求不等式f(x)≥3的解集;
(2)f(x)≤|x﹣4|若的解集包含[1,2],求a的取值范圍.
【解析】(1)當(dāng)a=﹣3時(shí),f(x)≥3 即|x﹣3|+|
11、x﹣2|≥3,即
,可得x≤1;
,可得x∈?;
,可得x≥4.
取并集可得不等式的解集為 {x|x≤1或x≥4}.
(2)原命題即f(x)≤|x﹣4|在[1,2]上恒成立,等價(jià)于|x+a|+2﹣x≤4﹣x在[1,2]上恒成立,
等價(jià)于|x+a|≤2,等價(jià)于﹣2≤x+a≤2,﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1,2]上恒成立.
故當(dāng) 1≤x≤2時(shí),﹣2﹣x的最大值為﹣2﹣1=﹣3,2﹣x的最小值為0,
故a的取值范圍為[﹣3,0].
9.(2011年)設(shè)函數(shù)f(x)=|x﹣a|+3x,其中a>0.
(1)當(dāng)a=1時(shí),求不等式f(x)≥3x+2的解集
(2)若不等式f(x)≤0的解集
12、為{x|x≤﹣1},求a的值.
【解析】(1)當(dāng)a=1時(shí),f(x)≥3x+2可化為|x﹣1|≥2.
由此可得x≥3或x≤﹣1.
故不等式f(x)≥3x+2的解集為{x|x≥3或x≤﹣1}.
(2)由f(x)≤0得|x﹣a|+3x≤0,
此不等式化為不等式組或,
即或,
因?yàn)閍>0,所以不等式組的解集為{x|x},
由題設(shè)可得=﹣1,故a=2.
10.(2010年)設(shè)函數(shù)f(x)=|2x﹣4|+1.
(1)畫(huà)出函數(shù)y=f(x)的圖象;
(2)若不等式f(x)≤ax的解集非空,求a的取值范圍.
【解析】(1)由于f(x)=,
函數(shù)y=f(x)的圖象如圖所示.
(2)由函數(shù)y=f(x)與函數(shù)y=ax的圖象可知,極小值在點(diǎn)(2,1)
當(dāng)且僅當(dāng)a<﹣2或a≥時(shí),函數(shù)y=f(x)與函數(shù)y=ax的圖象有交點(diǎn).
故不等式f(x)≤ax的解集非空時(shí),a的取值范圍為(﹣∞,﹣2)∪[,+∞).
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