《（廣西課標(biāo)版）2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專(zhuān)題能力訓(xùn)練12 數(shù)列的通項(xiàng)與求和 文》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（廣西課標(biāo)版）2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專(zhuān)題能力訓(xùn)練12 數(shù)列的通項(xiàng)與求和 文（10頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、專(zhuān)題能力訓(xùn)練12　數(shù)列的通項(xiàng)與求和 一、能力突破訓(xùn)練 1.已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列,a1=tan 225°,a5=13a1,設(shè)Sn為數(shù)列{(-1)nan}的前n項(xiàng)和,則S2 016=(　　) A.2 016 B.-2 016 C.3 024 D.-3 024 2.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且Sn=n2+n,數(shù)列{bn}滿足bn=1ana?n+1(n∈N*),Tn是數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和,則T9等于(　　) A.919 B.1819 C.2021 D.940 3.(2019河北衡水中學(xué)二調(diào),6)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a1=1,a2=2,且對(duì)于任意n>1,n∈N*

2、,滿足Sn+1+Sn-1=2(Sn+1),則S10的值為(　　) A.90 B.91 C.96 D.100 4.設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且a1=1,{Sn+nan}為常數(shù)列,則an=(　　) A.13n-1 B.2n(n+1) C.1(n+1)(n+2) D.5-2n3 5.已知數(shù)列{an},構(gòu)造一個(gè)新數(shù)列a1,a2-a1,a3-a2,…,an-an-1,…,此數(shù)列是首項(xiàng)為1,公比為13的等比數(shù)列,則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為(　　) A.an=32-32×13n,n∈N* B.an=32+32×13n,n∈N* C.an=1,n=1,32+32×13n,n>2,且n∈

3、N* D.an=1,n∈N* 6.若數(shù)列{an}滿足an+1=11-an,a11=2,則a1=　　　　　.? 7.(2019云南師范大學(xué)附中高三月考,15)在數(shù)列{an}中,a2=5,an+1-an=2n(n∈N*),則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=　　　　　.? 8.(2019福建廈門(mén)高二檢測(cè),15)已知數(shù)列{an}滿足3a1+32a2+33a3+…+3nan=2n+1,則{an}的通項(xiàng)公式為　　　　　　　　　　　　.? 9.設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.已知S2=4,an+1=2Sn+1,n∈N*. (1)求通項(xiàng)公式an; (2)求數(shù)列{|an-n-2|}的前n項(xiàng)和.

4、 10.(2019廣東汕頭一模,17)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且2Sn=nan+2an-1. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式; (2)若數(shù)列1an2的前n項(xiàng)和為T(mén)n,證明:Tn<4. 11.已知數(shù)列{an}和{bn}滿足a1=2,b1=1,an+1=2an(n∈N*),b1+12b2+13b3+…+1nbn=bn+1-1(n∈N*). (1)求an與bn; (2)記數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和為T(mén)n,求Tn. 二、思維提升訓(xùn)練 12.(2019安徽合肥第二次質(zhì)檢,11)“垛積術(shù)”(隙

5、積術(shù))是由北宋科學(xué)家沈括在《夢(mèng)溪筆談》中首創(chuàng),南宋數(shù)學(xué)家楊輝、元代數(shù)學(xué)家朱世杰豐富和發(fā)展的一類(lèi)數(shù)列求和方法,有茭草垛、方垛、芻童垛、三角垛等.如圖,某倉(cāng)庫(kù)中部分貨物堆放成“菱草垛”:自上而下,第一層1件,以后每一層比上一層多1件,最后一層是n件.已知第一層貨物的單價(jià)是1萬(wàn)元,從第二層起,貨物的單價(jià)是上一層單價(jià)的910.若這堆貨物的總價(jià)是100-200910n萬(wàn)元,則n的值為(　　) A.7 B.8 C.9 D.10 13.設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,且a1=-1,an+1=SnSn+1,則Sn=　　　　　.? 14.設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,已知a1=1,a2=2,且an+

6、2=3Sn-Sn+1+3,n∈N*. (1)證明:an+2=3an; (2)求Sn. 15.已知{an}是等比數(shù)列,前n項(xiàng)和為Sn(n∈N*),且1a1-1a2=2a3,S6=63. (1)求{an}的通項(xiàng)公式; (2)若對(duì)任意的n∈N*,bn是log2an和log2an+1的等差中項(xiàng),求數(shù)列{(-1)nbn2}的前2n項(xiàng)和. 16.(2019湖南湘西四校聯(lián)考,17)已知數(shù)列{an},{bn},Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,a1=2b1,Sn=2an-2,nbn+1-(n+1)bn=n2+n. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式; (2)證明

7、:數(shù)列bnn為等差數(shù)列; (3)若cn=-anbn2,n為奇數(shù),anbn4,n為偶數(shù),求數(shù)列{cn}的前2n項(xiàng)和. 專(zhuān)題能力訓(xùn)練12　數(shù)列的通項(xiàng)與求和 一、能力突破訓(xùn)練 1.C　解析∵a1=tan225°=1,∴a5=13a1=13,則公差d=a5-a15-1=13-14=3,∴an=3n-2. 又(-1)nan=(-1)n(3n-2), ∴S2016=(a2-a1)+(a4-a3)+(a6-a5)+…+(a2014-a2013)+(a2016-a2015)=1008d=3024. 2.D　解析∵數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且Sn=n2+n, ∴當(dāng)n=1時(shí),a1=2;當(dāng)n≥2

8、時(shí),an=Sn-Sn-1=2n, ∴an=2n(n∈N*), ∴bn=1anan+1=12n(2n+2)=141n-1n+1, T9=141-12+12-13+…+19-110=14×1-110=940. 3.B　解析∵Sn+1+Sn-1=2(Sn+1), ∴Sn+1-Sn=Sn-Sn-1+2, ∴an+1-an=2. ∴當(dāng)n≥2時(shí),數(shù)列{an}是等差數(shù)列,公差為2.又a1=1,a2=2, ∴S10=1+9×2+9×82×2=91. 4.B　解析∵數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且a1=1,∴S1+1×a1=1+1=2. ∵{Sn+nan}為常數(shù)列,∴Sn+nan=2. 當(dāng)

9、n≥2時(shí),(n+1)an=(n-1)an-1,從而a2a1·a3a2·a4a3·…·anan-1=13·24·…·n-1n+1, ∴an=2n(n+1).當(dāng)n=1時(shí)上式成立,∴an=2n(n+1). 5.A　解析因?yàn)閿?shù)列a1,a2-a1,a3-a2,…,an-an-1,…是首項(xiàng)為1,公比為13的等比數(shù)列, 所以an-an-1=13n-1,n≥2. 所以當(dāng)n≥2時(shí), an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1) =1+13+132+…+13n-1 =1-13n1-13=32-32×13n. 又當(dāng)n=1時(shí),an=32-32×13n=1, 則an=32-32×

10、13n,n∈N*. 6.12　解析由a11=2及an+1=11-an,得a10=12. 同理a9=-1,a8=2,a7=12,…. 所以數(shù)列{an}是周期為3的數(shù)列.所以a1=a10=12. 7.2n+1　解析由題意可得an-an-1=2n-1,an-1-an-2=2n-2,…a2-a1=2, 利用累加法,得an-a1=2(2n-1-1)2-1=2n-2. 又a2-a1=2,a2=5,則a1=3, 所以an=2n+1. 8.an=1,n=1,13×23n-1,n≥2　解析當(dāng)n=1時(shí),由3a1=2+1=3,得a1=1; 當(dāng)n≥2時(shí),由3a1+32a2+33a3+…+3nan=2

11、n+1, 得3a1+32a2+33a3+…+3n-1an-1=2n-1+1, 兩式相減,得3nan=2n-1,即an=13×23n-1,故an=1,n=1,13×23n-1,n≥2. 9.解(1)由題意,得a1+a2=4,a2=2a1+1,則a1=1,a2=3. 又當(dāng)n≥2時(shí),由an+1-an=(2Sn+1)-(2Sn-1+1)=2an, 得an+1=3an. 所以,數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=3n-1,n∈N*. (2)設(shè)bn=|3n-1-n-2|,n∈N*,b1=2,b2=1. 當(dāng)n≥3時(shí),由于3n-1>n+2,故bn=3n-1-n-2,n≥3. 設(shè)數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)

12、和為T(mén)n,則T1=2,T2=3. 當(dāng)n≥3時(shí),Tn=3+9(1-3n-2)1-3-(n+7)(n-2)2=3n-n2-5n+112, 所以Tn=2,n=1,3n-n2-5n+112,n≥2,n∈N*. 10.(1)解當(dāng)n=1時(shí),2S1=a1+2a1-1,則a1=1. 當(dāng)n≥2時(shí),2Sn=nan+2an-1,① 2Sn-1=(n-1)an-1+2an-1-1,② ①-②,得2an=nan-(n-1)an-1+2an-2an-1,即nan=(n+1)an-1, 所以ann+1=an-1n,且a12=12, 所以數(shù)列ann+1為常數(shù)列,ann+1=12,即an=n+12(n∈N*).

13、 (2)證明由(1)得an=n+12,所以1an2=4(n+1)2<4n(n+1)=41n-1n+1. 所以Tn=422+432+442+…+4(n+1)2<41×2+42×3+43×4+…+4n(n+1) =41-12+12-13+13-14+…+1n-1n+1=41-1n+1<4. 11.解(1)由a1=2,an+1=2an, 得an=2n(n∈N*). 由題意知,當(dāng)n=1時(shí),b1=b2-1,故b2=2. 當(dāng)n≥2時(shí),1nbn=bn+1-bn, 整理得bn+1n+1=bnn,所以bn=n(n∈N*). (2)由(1)知anbn=n·2n, 因此Tn=2+2·22+3·2

14、3+…+n·2n, 2Tn=22+2·23+3·24+…+n·2n+1, 所以Tn-2Tn=2+22+23+…+2n-n·2n+1. 故Tn=(n-1)2n+1+2(n∈N*). 二、思維提升訓(xùn)練 12.D　解析由題意,得第n層貨物的總價(jià)為n·910n-1萬(wàn)元. 這堆貨物的總價(jià)W=1+2×910+3×9102+…+n·910n-1, 910W=1×910+2×9102+3×9103+…+n·910n, 兩式相減,得110W=-n·910n+1+910+9102+9103+…+910n-1 =-n·910n+1-910n1-910=-n·910n+10-10·910n, 則W

15、=-10n·910n+100-100·910n=100-200910n,解得n=10. 13.-1n　解析由an+1=Sn+1-Sn=SnSn+1,得1Sn-1Sn+1=1,即1Sn+1-1Sn=-1,則1Sn為等差數(shù)列,首項(xiàng)為1S1=-1,公差為d=-1,∴1Sn=-n,∴Sn=-1n. 14.(1)證明由條件,對(duì)任意n∈N*,有an+2=3Sn-Sn+1+3, 因而對(duì)任意n∈N*,n≥2,有an+1=3Sn-1-Sn+3. 兩式相減,得an+2-an+1=3an-an+1,即an+2=3an,n≥2. 又a1=1,a2=2, 所以a3=3S1-S2+3=3a1-(a1+a2)+

16、3=3a1, 故對(duì)一切n∈N*,an+2=3an. (2)解由(1)知,an≠0,所以an+2an=3,于是數(shù)列{a2n-1}是首項(xiàng)a1=1,公比為3的等比數(shù)列;數(shù)列{a2n}是首項(xiàng)a2=2,公比為3的等比數(shù)列. 因此a2n-1=3n-1,a2n=2×3n-1. 于是S2n=a1+a2+…+a2n =(a1+a3+…+a2n-1)+(a2+a4+…+a2n) =(1+3+…+3n-1)+2(1+3+…+3n-1) =3(1+3+…+3n-1)=3(3n-1)2, 從而S2n-1=S2n-a2n=3(3n-1)2-2×3n-1=32(5×3n-2-1). 綜上所述,Sn=32(

17、5×3n-32-1),n是奇數(shù),32(3n2-1),n是偶數(shù). 15.解(1)設(shè)數(shù)列{an}的公比為q.由已知,有1a1-1a1q=2a1q2,解得q=2或q=-1. 又由S6=a1·1-q61-q=63,知q≠-1, 所以a1·1-261-2=63,得a1=1.所以an=2n-1. (2)由題意,得bn=12(log2an+log2an+1)=12(log22n-1+log22n)=n-12, 即{bn}是首項(xiàng)為12,公差為1的等差數(shù)列. 設(shè)數(shù)列{(-1)nbn2}的前n項(xiàng)和為T(mén)n,則T2n=(-b12+b22)+(-b32+b42)+…+(-b2n-12+b2n2)=b1+b2

18、+b3+b4+…+b2n-1+b2n=2n(b1+b2n)2=2n2. 16.(1)解∵Sn=2an-2,∴Sn-1=2an-1-2(n≥2), ∴an=2an-2an-1(n≥2),∴an=2an-1(n≥2), ∴數(shù)列{an}是以2為公比的等比數(shù)列. 又a1=S1=2a1-2,∴a1=2,∴an=2·2n-1=2n. (2)證明∵nbn+1-(n+1)bn=n2+n=n(n+1), ∴bn+1n+1-bnn=1, ∴數(shù)列bnn是以1為公差的等差數(shù)列. (3)解∵b1=1,由(2)知bnn=b1+(n-1)×1=n,∴bn=n2, ∴cn=-n2·2n-1,n為奇數(shù),n2·2n-2,n為偶數(shù), ∴c2n-1+c2n=-(2n-1)222n-2+(2n)222n-2=(4n-1)·4n-1, ∴T2n=3×40+7×41+…+(4n-1)·4n-1,① ∴4T2n=3×41+7×42+…+(4n-5)·4n-1+(4n-1)·4n,② ∴-3T2n=3+4×41+42+…+4n-1-(4n-1)·4n=3+16×(1-4n-1)1-4-(4n-1)·4n =4n+1-73-(4n-1)·4n=-4n(12n-3)+4n+1-73, ∴T2n=4n(12n-7)+79. 10