《（京津魯瓊專用）2020版高考數(shù)學二輪復習 第二部分 專題二 數(shù)列 第2講 數(shù)列通項與求和練典型習題 提數(shù)學素養(yǎng)（含解析）》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《（京津魯瓊專用）2020版高考數(shù)學二輪復習 第二部分 專題二 數(shù)列 第2講 數(shù)列通項與求和練典型習題 提數(shù)學素養(yǎng)（含解析）（9頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第2講 數(shù)列通項與求和 [A組　夯基保分專練] 一、選擇題 1．(2019·廣東省六校第一次聯(lián)考)數(shù)列{an}的前n項和為Sn＝n2＋n＋1，bn＝(－1)nan(n∈N*)，則數(shù)列{bn}的前50項和為(　　) A．49　　　　　　　　 B．50 C．99 D．100 解析：選A.由題意得，當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2n，當n＝1時，a1＝S1＝3，所以數(shù)列{bn}的前50項和為－3＋4－6＋8－10＋…＋96－98＋100＝1＋48＝49，故選A. 2．(一題多解)(2019·洛陽尖子生第二次聯(lián)考)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，則S

2、n＝(　　) A．2n－1 B． C． D． 解析：選B.法一：當n＝1時，S1＝a1＝2a2，則a2＝.當n≥2時，Sn－1＝2an，則Sn－Sn－1＝an＝2an＋1－2an，所以＝，所以當n≥2時，數(shù)列{an}是公比為的等比數(shù)列，所以an＝，所以Sn＝1＋＋×＋…＋×＝1＋＝，當n＝1時，此式也成立． 故選B. 法二：當n＝1時，S1＝a1＝2a2，則a2＝，所以S2＝1＋＝，結合選項可得只有B滿足，故選B. 3．數(shù)列{an}中，a1＝2，a2＝3，an＋1＝an－an－1(n≥2，n∈N*)，那么a2 019＝(　　) A．1 B．－2 C．3 D．－3 解析：選A.

3、因為an＋1＝an－an－1(n≥2)，所以an＝an－1－an－2(n≥3)，所以an＋1＝an－an－1＝(an－1－an－2)－an－1＝－an－2(n≥3)． 所以an＋3＝－an(n∈N*)， 所以an＋6＝－an＋3＝an， 故{an}是以6為周期的周期數(shù)列． 因為2 019＝336×6＋3， 所以a2 019＝a3＝a2－a1＝3－2＝1.故選A. 4．(2019·鄭州市第一次質(zhì)量預測)已知數(shù)列{an}滿足2an＋1＋an＝3(n≥1)，且a3＝，其前n項和為Sn，則滿足不等式|Sn－n－6|<的最小整數(shù)n是(　　) A．8 B．9 C．10 D．11 解析：選

4、C.由2an＋1＋an＝3，得2(an＋1－1)＋(an－1)＝0，即＝－(*)， 又a3＝，所以a3－1＝，代入(*)式，有a2－1＝－，a1－1＝9，所以數(shù)列{an－1}是首項為9，公比為－的等比數(shù)列．所以|Sn－n－6|＝|(a1－1)＋(a2－1)＋…＋(an－1)－6|＝＝<，又n∈N*，所以n的最小值為10.故選C. 5．(2019·江西省五校協(xié)作體試題)設Sn是數(shù)列{an}的前n項和，若an＋Sn＝2n，2bn＝2an＋2－an＋1，則＋＋…＋＝(　　) A． B． C． D． 解析：選D.因為an＋Sn＝2n①，所以an＋1＋Sn＋1＝2n＋1②，②－①得2an＋1－

5、an＝2n，所以2an＋2－an＋1＝2n＋1，又2bn＝2an＋2－an＋1＝2n＋1，所以bn＝n＋1，＝＝－，則＋＋…＋＝1－＋－＋…＋－＝1－＝，故選D. 6．(多選)一個彈性小球從100 m高處自由落下，每次著地后又跳回原來高度的再落下，設它第n次著地時，經(jīng)過的總路程記為Sn，則當n≥2時，下面說法正確的是(　　) A．Sn<500 B．Sn≤500 C．Sn的最小值為 D．Sn的最大值為400 解析：選AC.第一次著地時，共經(jīng)過了100 m，第二次著地時，共經(jīng)過了m，第三次著地時，共經(jīng)過了m，…，以此類推，第n次著地時，共經(jīng)過了 m.所以Sn＝100＋＝100

6、＋400.Sn是關于n的增函數(shù)，所以當n≥2時，Sn的最小值為S2，且S2＝.又Sn＝100＋400<100＋400＝500.故選AC. 二、填空題 7．古代數(shù)學著作《九章算術》有如下問題：“今有女子善織，日自倍，五日織五尺，問日織幾何？”意思是：“一女子善于織布，每天織的布都是前一天的2倍，已知她5天共織布5尺，問這女子每天分別織布多少？”根據(jù)上述的已知條件，可求得該女子前3天所織布的總尺數(shù)為________． 解析：設該女子第一天織布x尺， 則＝5，解得x＝， 所以該女子前3天所織布的總尺數(shù)為＝. 答案： 8．(一題多解)已知Sn是數(shù)列{an}的前n項和，且Sn＋1＝Sn＋a

7、n＋3，a4＋a5＝23，則S8＝________． 解析：法一：由Sn＋1＝Sn＋an＋3得an＋1－an＝3， 則數(shù)列{an}是公差為3的等差數(shù)列，又a4＋a5＝23＝2a1＋7d＝2a1＋21，所以a1＝1，S8＝8a1＋d＝92. 法二：由Sn＋1＝Sn＋an＋3得an＋1－an＝3，則數(shù)列{an}是公差為3的等差數(shù)列，S8＝＝＝92. 答案：92 9．(2019·江西九江統(tǒng)考改編)設數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知a1＝1，2Sn＝an＋1，bn＝(－1)n·(log3an)2，則an＝________，數(shù)列{bn}的前2n項和為________．　 解析：根據(jù)題意，數(shù)

8、列{an}滿足2Sn＝an＋1①，則當n≥2時，有2Sn－1＝an②，由①－②可得(an＋1－3an)＝0，所以an＋1－3an＝0，即an＋1＝3an(n≥2)．由2Sn＝an＋1，可求得a2＝3，a2＝3a1，則數(shù)列{an}的首項為1，公比為3的等比數(shù)列，所以an＝3n－1，bn＝(－1)n·(log3an)2＝(－1)n·(log33n－1)2＝(－1)n(n－1)2，則b2n－1＋b2n＝－(2n－2)2＋(2n－1)2＝4n－3.所以數(shù)列{bn}的前2n項和T2n＝1＋5＋9＋…＋(4n－3)＝＝2n2－n. 答案：3n－1　2n2－n 三、解答題 10．(2019·廣州市綜合

9、檢測(一))已知{an}是等差數(shù)列，且lg a1＝0，lg a4＝1. (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)若a1，ak，a6是等比數(shù)列{bn}的前3項，求k的值及數(shù)列{an＋bn}的前n項和． 解：(1)因為lg a1＝0，lg a4＝1， 所以a1＝1，a4＝10. 設等差數(shù)列{an}的公差為d， 則d＝＝3. 所以an＝a1＋3(n－1)＝3n－2. (2)由(1)知a1＝1，a6＝16， 因為a1，ak，a6是等比數(shù)列{bn}的前3項，所以a＝a1a6＝16. 又an＝3n－2>0， 所以ak＝4. 因為ak＝3k－2， 所以3k－2＝4，得k＝2. 所

10、以等比數(shù)列{bn}的公比q＝＝＝4. 所以bn＝4n－1. 所以an＋bn＝3n－2＋4n－1. 所以數(shù)列{an＋bn}的前n項和為Sn＝＋＝n2－n＋(4n－1)． 11．(2019·江西八所重點中學聯(lián)考)設數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝(n∈N*)． (1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列； (2)設bn＝－1，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn. 解：(1)證明：因為an＋1＝，所以－＝－＝－＝＝－. 又a1＝1，所以＝－1， 所以數(shù)列是以－1為首項，－為公差的等差數(shù)列． (2)由(1)知＝－1＋(n－1)＝－，所以an＝2－＝， 所以bn＝－1＝－1＝－1＝＝， 所以Tn＝

11、b1＋b2＋b3＋…＋bn ＝ ＝＝， 所以數(shù)列{bn}的前n項和Tn＝. 12．(2019·福建省質(zhì)量檢查)數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足Sn＝2an－n. (1)求證數(shù)列{an＋1}是等比數(shù)列，并求an； (2)若數(shù)列{bn}為等差數(shù)列，且b3＝a2，b7＝a3，求數(shù)列{anbn}的前n項和． 解：(1)當n＝1時，S1＝2a1－1，所以a1＝1. 因為Sn＝2an－n①，所以當n≥2時，Sn－1＝2an－1－(n－1)②，　 ①－②得an＝2an－2an－1－1，所以an＝2an－1＋1， 所以＝＝＝2. 所以{an＋1}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列． 所以an

12、＋1＝2·2n－1，所以an＝2n－1. (2)由(1)知，a2＝3，a3＝7，所以b3＝a2＝3，b7＝a3＝7. 設{bn}的公差為d，則b7＝b3＋(7－3)·d，所以d＝1. 所以bn＝b3＋(n－3)·d＝n. 所以anbn＝n(2n－1)＝n·2n－n. 設數(shù)列{n·2n}的前n項和為Kn，數(shù)列{n}的前n項和為Tn， 則Kn＝2＋2×22＋3×23＋…＋n·2n③， 2Kn＝22＋2×23＋3×24＋…＋n·2n＋1④， ③－④得， －Kn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1＝－n·2n＋1＝(1－n)·2n＋1－2， 所以Kn＝(n－1)·2n＋1＋2.

13、 又Tn＝1＋2＋3＋…＋n＝， 所以Kn－Tn＝(n－1)·2n＋1－＋2， 所以數(shù)列{anbn}的前n項和為(n－1)·2n＋1－＋2. [B組　大題增分專練] 1．(2019·江西七校第一次聯(lián)考)數(shù)列{an}滿足a1＝1，＝an＋1(n∈N*)． (1)求證：數(shù)列{a}是等差數(shù)列，并求出{an}的通項公式； (2)若bn＝，求數(shù)列{bn}的前n項和． 解：(1)由＝an＋1得a－a＝2，且a＝1， 所以數(shù)列{a}是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列， 所以a＝1＋(n－1)×2＝2n－1， 又由已知易得an>0，所以an＝(n∈N*)． (2)bn＝＝ ＝－， 故

14、數(shù)列{bn}的前n項和Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝(－1)＋(－)＋…＋(－)＝－1. 2．(2019·湖南省湘東六校聯(lián)考)已知數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足＝＋1(n≥2，n∈N)，且a1＝1. (1)求數(shù)列{an}的通項公式an； (2)記bn＝，Tn為{bn}的前n項和，求使Tn≥成立的n的最小值． 解：(1)由已知有－＝1(n≥2，n∈N)，所以數(shù)列為等差數(shù)列，又＝＝1， 所以＝n，即Sn＝n2. 當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1. 又a1＝1也滿足上式，所以an＝2n－1. (2)由(1)知，bn＝＝， 所以Tn＝＝＝. 由Tn≥得n

15、2≥4n＋2，即(n－2)2≥6，所以n≥5， 所以n的最小值為5. 3．(2019·河北省九校第二次聯(lián)考)已知{an}是各項都為正數(shù)的數(shù)列，其前n項和為Sn，且Sn為an與的等差中項． (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)設bn＝，求{bn}的前n項和Tn. 解：(1)由題意知，2Sn＝an＋，即2Snan－a＝1，① 當n＝1時，由①式可得S1＝1； 當n≥2時，an＝Sn－Sn－1，代入①式， 得2Sn(Sn－Sn－1)－(Sn－Sn－1)2＝1， 整理得S－S＝1. 所以{S}是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，S＝1＋n－1＝n. 因為{an}的各項都為正數(shù)，所

16、以Sn＝， 所以an＝Sn－Sn－1＝－(n≥2)， 又a1＝S1＝1， 所以an＝－. (2)bn＝＝＝(－1)n(＋)， 當n為奇數(shù)時， Tn＝－1＋(＋1)－(＋)＋…＋(＋)－(＋)＝－； 當n為偶數(shù)時， Tn＝－1＋(＋1)－(＋)＋…－(＋)＋(＋)＝.所以{bn}的前n項和Tn＝(－1)n. 4．(2019·高考天津卷)設{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列．已知a1＝4，b1＝6，b2＝2a2－2，b3＝2a3＋4. (1)求{an}和{bn}的通項公式； (2)設數(shù)列{cn}滿足c1＝1，cn＝其中k∈N*. ①求數(shù)列{a2n(c2n－1)}的通項公

17、式； ②求 aici（n∈N*）. 解：（1）設等差數(shù)列{an}的公差為d，等比數(shù)列{bn}的公比為q.依題意得 解得故an＝4＋（n－1）×3＝3n＋1，bn＝6×2n－1＝3×2n.,所以，{an}的通項公式為an＝3n＋1，{bn}的通項公式為bn＝3×2n. （2）①a2n（c2n－1）＝a2n（bn－1）＝（3×2n＋1）（3×2n－1）＝9×4n－1.,所以，數(shù)列{a2n（c2n－1）}的通項公式為a2n（c2n－1）＝9×4n－1. ② aici＝ [ai＋ai（ci－1）] ＝ ai＋ a2i（ci－1） ＝[2n×4＋×3]＋(9×4i－1) ＝(3×22n－1＋5×2n－1)＋9×－n ＝27×22n－1＋5×2n－1－n－12(n∈N*)． - 9 -