第60練 向量法求解空間角和距離問(wèn)題 [基礎(chǔ)保分練] 1.平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，向量，，兩兩的夾角均為60°，且||＝1，||＝2，||＝3，則||等于(　　) A.5B.6C.4D.8 2.在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E是C1D1的中點(diǎn)，則異面直線(xiàn)DE與AC所成的角的余弦值為(　　) A.B.C.－D.－ 3.在空間直角坐標(biāo)系O－xyz中，平面OAB的一個(gè)法向量為n＝(2，－2,1)，已知點(diǎn)P(－1,3,2)，則點(diǎn)P到平面OAB的距離d等于(　　) A.4B.2C.3D.1 4.(2019·紹興一中模擬)設(shè)點(diǎn)M是棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD—A1B1C1D1的棱AD的中點(diǎn)，點(diǎn)P在平面BCC1B1所在的平面內(nèi)，若平面D1PM分別與平面ABCD和平面BCC1B1所成的銳二面角相等，則點(diǎn)P到點(diǎn)C1的最短距離是(　　) A.B.C.1D. 5.平面α的一個(gè)法向量為n＝(1，－，0)，則y軸與平面α所成的角的大小為(　　) A.B.C.D. 6.如圖所示，在空間四邊形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，則OA與BC的夾角的余弦值為(　　) A. B. C. D. 7.已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為a，點(diǎn)M在AC1上，且＝1，N為B1B的中點(diǎn)，則||為(　　) A.aB.aC.aD.a 8.P是二面角α－AB－β棱上的一點(diǎn)，分別在α，β平面上引射線(xiàn)PM，PN，如果∠BPM＝∠BPN＝45°，∠MPN＝60°，那么二面角α－AB－β的大小為(　　) A.60°B.70°C.80°D.90° 9.如圖所示，正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱長(zhǎng)(包括底面邊長(zhǎng))都是2，E，F(xiàn)分別是AB，A1C1的中點(diǎn)，則EF與側(cè)棱C1C所成角的余弦值是________. 10.如圖所示，已知空間四邊形OABC中OB＝OC，且∠AOB＝∠AOC＝，則cos〈，〉的值為_(kāi)_______. [能力提升練] 1.已知三棱柱ABC－A1B1C1的側(cè)棱長(zhǎng)與底面邊長(zhǎng)都相等，A1在底面ABC內(nèi)的射影為△ABC的中心，則AB1與底面ABC所成角的正弦值等于(　　) A.B.C.D. 2.(2019·浙江名校聯(lián)盟聯(lián)考)在平面α內(nèi)，已知AB⊥BC，過(guò)直線(xiàn)AB，BC分別作平面β，γ，使銳二面角α－AB－β為，銳二面角α－BC－γ為，則平面β與平面γ所成的銳二面角的余弦值為(　　) A.B.C.D. 3.(2019·金華一中模擬)已知點(diǎn)P是正方體ABCD－A1B1C1D1表面上一動(dòng)點(diǎn)，且滿(mǎn)足PA＝2PB，設(shè)PD1與平面ABCD所成的角為θ，則θ的最大值為(　　) A.B.C.D. 4.過(guò)正方形ABCD的頂點(diǎn)A，引PA⊥平面ABCD.若PA＝BA，則平面ABP和平面CDP所成二面角的大小是(　　) A.30°B.45°C.60°D.90° 5.如圖，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD為正方形，∠PAD＝90°，且PA＝AD＝2，E，F(xiàn)分別是線(xiàn)段PA，CD的中點(diǎn)，則異面直線(xiàn)EF與BD所成角的余弦值為_(kāi)_________. 6.如圖，已知平面四邊形ABCD，AB＝BC＝3，CD＝1，AD＝，∠ADC＝90°，沿直線(xiàn)AC將△ACD翻折成△ACD′，直線(xiàn)AC與BD′所成角的余弦的最大值是________. 答案精析 基礎(chǔ)保分練 1．A　2.B　3.B　4.A　5.B　6.C　7．A　8.D　9.　10.0 能力提升練 1．B　[設(shè)A1在底面ABC內(nèi)的射影為O，過(guò)O作OH∥BC交AB于點(diǎn)H，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，的方向?yàn)閤軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系(圖略)． 設(shè)△ABC的邊長(zhǎng)為1， 則A，B1， ∴＝， 平面ABC的法向量n＝(0,0,1)， 則AB1與底面ABC所成角α的正弦值sinα＝|cos〈，n〉| ＝＝.] 2．A　[由題意以平面α為底面，以平面β，γ為兩相鄰的側(cè)面構(gòu)造正四棱錐E－ABCD，設(shè)正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為2，以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AB，BC所在直線(xiàn)，過(guò)點(diǎn)B垂直于平面α的直線(xiàn)分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則由題意易得B(0，0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，E(1,1，)，則＝(2,0,0)，＝(0,2,0)，＝(1,1，)， 設(shè)平面β的法向量為m＝(x，y，z)，則有 令z＝－1，得平面β的一個(gè)法向量為m＝(0，，－1)，同理可得平面γ的一個(gè)法向量為n＝(，0，－1)，則平面β和平面γ所成銳二面角的余弦值為|cos〈m，n〉|＝＝＝，故選A.] 3．A　[以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC，BA，BB1所在直線(xiàn)分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系， 設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為2，P(x，y，z)，則A(0,2,0)，因?yàn)镻A＝2PB，所以＝2，即x2＋2＋z2＝，所以點(diǎn)P的軌跡為以點(diǎn)Q為球心，為半徑的球與正方體表面的交線(xiàn)，即為如圖的，，，要使得PD1與底面ABCD所成的角最大，則PD1與底面ABCD的交點(diǎn)到點(diǎn)D的距離最短，從而點(diǎn)P在上，且在QD上，則DP＝DQ－＝－＝2，此時(shí)，tanθ＝＝1，所以θ的最大值為，故選A.] 4．B　[建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系， 設(shè)AB＝1，易得平面APB的一個(gè)法向量為n1＝(0,1,0)，平面PCD的一個(gè)法向量為n2＝(0,1,1)， 故平面ABP與平面CDP所成二面角的余弦值為＝， 故所求二面角的大小是45°.] 5. 解析　以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AP所在直線(xiàn)分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz， 則E(0,0,1)，F(xiàn)(1,2,0)，B(2,0,0)，D(0,2,0)． ＝(1,2，－1)，＝(－2,2,0)， 故cos〈，〉＝＝. 6. 解析　設(shè)直線(xiàn)AC與BD′所成角為θ，平面ACD翻折的角度為α，設(shè)O是AC中點(diǎn)，由已知得AC＝，如圖， 以O(shè)B為x軸，OA為y軸，過(guò)O與平面ABC垂直的直線(xiàn)為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系， 由A，B，C， 作DH⊥AC于H，翻折過(guò)程中，D′H始終與AC垂直，CH＝＝＝， 則OH＝，DH＝＝， 因此可設(shè)D′， 則＝， 與平行的單位向量為n＝(0,1,0)， 所以cosθ＝|cos〈，n〉| ＝＝， 所以cosα＝－1時(shí)，cosθ取最大值. 7