第55練 不等式小題綜合練 [基礎(chǔ)保分練] 1.給出下列命題： ①若a，b為正實(shí)數(shù)，a≠b，則a3＋b3>a2b＋ab2； ②若a，b，m為正實(shí)數(shù)，a<b，則<， ③若>，則a>b； ④當(dāng)x∈時(shí)，sinx＋的最小值為2，其中正確的是________.(填序號(hào)) 2.已知關(guān)于x的不等式x2－ax－b<0的解集是(2,3)，則a＋b的值是________. 3.若a>0，b>0，a＋b＝2，則下列不等式對(duì)一切滿足條件的a，b恒成立的是________.(寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)) ①ab≤1；②＋≤；③a2＋b2≥2；④a3＋b3≥3； ⑤＋≥2. 4.不等式≤0的解集為________. 5.已知實(shí)數(shù)x，y，若x≥0，y≥0，且x＋y＝2，則＋的最大值為________. 6.已知實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件則z＝y(tǒng)－x的最大值為________. 7.已知點(diǎn)A(1,2)，若動(dòng)點(diǎn)P(x，y)的坐標(biāo)滿足則AP的最小值為________. 8.在平面直角坐標(biāo)系中，不等式組表示的平面區(qū)域的面積為________. 9.(2018·鎮(zhèn)江模擬)已知f(x)＝則不等式f(x)>f(1)的解集是____________. 10.下列四個(gè)不等式：①a<0<b；②b<a<0；③b<0<a；④0<b<a，其中能使<成立的充分條件有________.(填序號(hào)) [能力提升練] 1.給出下列四個(gè)命題： ①若a>b>0，則a－>b－；②若a>b>0，則>；③設(shè)a，b是互不相等的正數(shù)，則|a－b|＋≥2.其中正確命題的序號(hào)是________. 2.已知a，b均為正實(shí)數(shù)，且直線ax＋by－6＝0與直線(b－3)x－2y＋5＝0互相垂直，則2a＋3b的最小值為________. 3.已知不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)镈，若?(x，y)∈D,2x＋y≤a為真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________. 4.已知變量x，y滿足設(shè)z＝x2＋y2＋2x＋2y＋2，則z的取值范圍是________. 5.(2018·蘇州調(diào)研)下列不等式 ①已知a>0，b>0，則(a＋b)≥4； ②a2＋b2＋3>2a＋2b； ③已知m>0，則<； ④＋<2. 其中恒成立的是________.(把所有成立的不等式序號(hào)都填上) 6.已知直線2ax－by＝1(a>0，b>0)過圓x2＋y2－2x＋4y＋1＝0的圓心，則＋的最小值為________. 答案精析 基礎(chǔ)保分練 1.①③　2.－1　3.①③⑤ 4.　5. 6. 解析　作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域， z＝y(tǒng)－x，即y＝x＋z，由圖象可知當(dāng)曲線y＝x＋z經(jīng)過點(diǎn)A(1,1)時(shí)，z取得最大值， 即zmax＝y(tǒng)－x＝1－＝. 7.　8.2　9.(－3,1)∪(3，＋∞) 10.①②④ 能力提升練 1.① 解析　①中a>b>0，則－>－， 故①正確； ②中－＝＝<0，故②錯(cuò)誤； ③中因?yàn)閍－b不能確定為正數(shù)，故③錯(cuò)誤. 2.25 解析　由兩直線互相垂直可得a(b－3)－2b＝0，即2b＋3a＝ab，則＋＝1. 又a，b為正數(shù)，所以2a＋3b＝(2a＋3b)·＝13＋＋≥13＋2＝25，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào)，故2a＋3b的最小值為25. 3.[5，＋∞) 解析　繪制不等式組表示的可行域如圖中陰影部分(含邊界)所示，結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義可得目標(biāo)函數(shù)z＝2x＋y在點(diǎn)B處取得最大值， 聯(lián)立直線方程 可得 即B， 則zmax＝2×＋＝5. 結(jié)合恒成立的條件可知a≥5， 即實(shí)數(shù)a的取值范圍是[5，＋∞). 4.[8,41) 解析　作可行域，P(4,3)，因?yàn)閦＝(x＋1)2＋(y＋1)2表示可行域內(nèi)的點(diǎn)到定點(diǎn)A(－1，－1)距離的平方，點(diǎn)A到直線x＋y－2＝0的距離的平方值最小，最小值為8，到P點(diǎn)的距離的平方最大，PA2＝41，所以z的取值范圍為[8,41). 5.①②④ 6. 解析　圓x2＋y2－2x＋4y＋1＝0的圓心為(1，－2). 由于直線2ax－by＝1(a>0，b>0)過圓x2＋y2－2x＋4y＋1＝0的圓心， 故有2a＋2b＝1. 所以＋＝ [2(a＋2)＋2(b＋1)] ＝ ≥[10＋2]＝， 當(dāng)且僅當(dāng)8×＝2×時(shí)等號(hào)成立. 5