中難提分突破特訓(二) 1．已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝n2－2kn(k∈N*)，Sn的最小值為－9. (1)確定k的值，并求數(shù)列{an}的通項公式； (2)設bn＝(－1)n·an，求數(shù)列{bn}的前2n＋1項和T2n＋1. 解　(1)由已知得Sn＝n2－2kn＝(n－k)2－k2， 因為k∈N*，當n＝k時，(Sn)min＝－k2＝－9， 故k＝3.所以Sn＝n2－6n. 因為Sn－1＝(n－1)2－6(n－1)(n≥2)， 所以an＝Sn－Sn－1＝(n2－6n)－[(n－1)2－6(n－1)]， 得an＝2n－7(n≥2)． 當n＝1時，S1＝－5＝a1，綜上，an＝2n－7. (2)依題意，bn＝(－1)n·an＝(－1)n(2n－7)， 所以T2n＋1＝5－3＋1＋1－3＋5＋…＋(－1)2n(4n－7)＋ 2．已知具有相關關系的兩個變量x，y的幾組數(shù)據(jù)如下表所示： x 2 4 6 8 10 y 3 6 7 10 12 (1)請根據(jù)上表數(shù)據(jù)在網格紙中繪制散點圖； (2)請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關于x的線性回歸方程＝x＋，并估計當x＝20時，y的值； (3)將表格中的數(shù)據(jù)看作5個點的坐標，則從這5個點中隨機抽取3個點，記落在直線2x－y－4＝0右下方的點的個數(shù)為ξ，求ξ的分布列以及期望． 參考公式：＝，＝－ . 解　(1)散點圖如圖所示． (2)依題意，＝×(2＋4＋6＋8＋10)＝6， ＝×(3＋6＋7＋10＋12)＝7.6， ＝4＋16＋36＋64＋100＝220， iyi＝6＋24＋42＋80＋120＝272， ＝＝＝＝1.1， ∴＝7.6－1.1×6＝1， ∴線性回歸方程為＝1.1x＋1，故當x＝20時，＝23. (3)可以判斷，落在直線2x－y－4＝0右下方的點滿足2x－y－4>0， 故符合條件的點的坐標為(6,7)，(8,10)，(10,12)，故ξ的所有可能取值為1,2,3， P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝＝， P(ξ＝3)＝＝，故ξ的分布列為 ξ 1 2 3 P 故E(ξ)＝1×＋2×＋3×＝＝. 3．已知四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，DD1⊥平面ABCD，AD⊥DC，AD⊥AB，DC＝2AD＝2AB＝2，AA1＝4，點M為C1D1的中點． (1)求證：平面AB1D1∥平面BDM； (2)求直線CD1與平面AB1D1所成角的正弦值． 解　(1)證明：由題意得，DD1∥BB1，DD1＝BB1， 故四邊形DD1B1B為平行四邊形，所以D1B1∥DB， 由D1B1?平面AB1D1，DB?平面AB1D1，故DB∥平面AB1D1， 由題意可知AB∥DC，D1C1∥DC，所以，AB∥D1C1. 因為M為D1C1的中點，所以D1M＝AB＝1， 所以四邊形ABMD1為平行四邊形，所以BM∥AD1， 由AD1?平面AB1D1，BM?平面AB1D1， 所以BM∥平面AB1D1， 又由于BM，BD相交于點B，BM，BD?平面BDM， 所以平面BDM∥平面AB1D1. (2)由題意，以D為坐標原點，分別以D，D，方向為x軸、y軸、z軸正方向建立空間直角坐標系， 則點D1(0,0,4)，C(0,2,0)，A(1,0,0)，B1(1,1,4)， ＝(－1,0,4)，＝(0,1,4)， 設平面AB1D1的一個法向量為n＝(x，y，z)， 有即 令z＝1，則n＝(4，－4,1)，＝(0，－2,4)， 令θ為直線CD1與平面AB1D1所成的角， 則sinθ＝|cos〈，n〉|＝＝. 4．在直角坐標系xOy中，曲線C1：(θ為參數(shù))，在以O為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C2：ρ－2cosθ＝0. (1)求曲線C2的直角坐標方程； (2)若曲線C1上有一動點M，曲線C2上有一動點N，求|MN|的最小值． 解　(1)由ρ－2cosθ＝0，得ρ2－2ρcosθ＝0. ∵ρ2＝x2＋y2，ρcosθ＝x，∴x2＋y2－2x＝0， 即曲線C2的直角坐標方程為(x－1)2＋y2＝1. (2)由(1)可知，圓C2的圓心為C2(1,0)，半徑為1. 設曲線C1上的動點M(3cosθ，2sinθ)， 由動點N在圓C2上可得|MN|min＝|MC2|min－1. ∵|MC2|＝ ＝， ∴當cosθ＝時，|MC2|min＝， ∴|MN|min＝|MC2|min－1＝－1. 5．已知不等式|2x－3|<x與不等式x2－mx＋n<0(m，n∈R)的解集相同且非空． (1)求m－n； (2)若a，b，c∈(0,1)，且ab＋bc＋ac＝m－n，求a2＋b2＋c2的最小值． 解　(1)當x≤0時，不等式|2x－3|<x的解集為空集，不符合題意； 當x>0時，|2x－3|<x?－x<2x－3<x?1<x<3， ∴1,3是方程x2－mx＋n＝0的兩根， ∴∴∴m－n＝1. (2)由(1)得ab＋bc＋ac＝1， ∵≥ab，≥bc，≥ac， ∴a2＋b2＋c2＝＋＋≥ab＋bc＋ac＝1. ∴a2＋b2＋c2的最小值是1. - 5 -