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1、單元質(zhì)檢九　解析幾何 (時間:100分鐘　滿分:150分) 一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分) 1.(2018全國Ⅰ,文4)已知橢圓C:x2a2+y24=1的一個焦點為(2,0),則C的離心率為(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.13 B.12 C.22 D.223 答案C 解析因為橢圓C的一個焦點為(2,0),所以其焦點在x軸上,c=2,所以a2-4=c2,所以a2=8,a=22,所以橢圓C的離心率e=ca=22. 2.到直線3x-4y+1=0的距離為3,且與此直線平行的直線方程是(　　) A.3x-4y+4=0 B.3x-4y+4=0

2、或3x-4y-2=0 C.3x-4y+16=0 D.3x-4y+16=0或3x-4y-14=0 答案D 解析設所求直線方程為3x-4y+m=0, 由|m-1|5=3,解得m=16或m=-14. 即所求直線方程為3x-4y+16=0或3x-4y-14=0. 3.與圓x2+(y-2)2=1相切,且在兩坐標軸上截距相等的直線共有(　　) A.2條 B.3條 C.4條 D.6條 答案C 解析過原點與圓x2+(y-2)2=1相切的直線有2條;斜率為-1且與圓x2+(y-2)2=1相切的直線也有2條,且此兩條切線不過原點,由此可得與圓x2+(y-2)2=1相切,且在兩坐標軸上截距相等的

3、直線共有4條. 4.若雙曲線的頂點和焦點分別為橢圓x22+y2=1的焦點和頂點,則該雙曲線的方程為(　　) A.x2-y2=1 B.x22-y2=1 C.x2-y22=1 D.x23-y22=1 答案A 解析橢圓x22+y2=1的焦點位于x軸,且a2=2,b2=1,c2=a2-b2=1,據(jù)此可知,橢圓的焦點坐標為(±1,0),x軸上的頂點坐標為(±2,0), 結(jié)合題意可知,雙曲線的焦點位于x軸,且c=2,a=1,b=1, 則該雙曲線方程為x2-y2=1. 5.已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)與雙曲線x2m2-y2n2=1(m>0,n>0)有相同的焦點(-c,0)和(

4、c,0),若c是a,m的等比中項,n2是2m2與c2的等差中項,則橢圓的離心率是(　　) A.33 B.22 C.14 D.12 答案D 解析由題意可知2n2=2m2+c2, 又m2+n2=c2,所以m=c2. 因為c是a,m的等比中項, 所以c2=am,代入m=c2,解得e=ca=12. 6.過點A(0,3),被圓(x-1)2+y2=4截得的弦長為23的直線方程是(　　) A.y=-43x+3 B.x=0或y=-43x+3 C.x=0或y=43x+3 D.x=0 答案B 解析當弦所在的直線斜率不存在時,即弦所在直線方程為x=0;此時被圓(x-1)2+y2=4截得的弦長為

5、23. 當弦所在的直線斜率存在時,設弦所在直線l的方程為y=kx+3,即kx-y+3=0. 因為弦長為23,圓的半徑為2, 所以弦心距為22-(3)2=1. 由點到直線距離公式得|k+3|k2+(-1)2=1,解得k=-43. 綜上所述,所求直線方程為x=0或y=-43x+3. 7.(2018吉林長春第二次質(zhì)量監(jiān)測)已知橢圓x24+y23=1的左、右焦點分別為F1,F2,過F2且垂直于長軸的直線交橢圓于A,B兩點,則△ABF1內(nèi)切圓的半徑為(　　) A.43 B.1 C.45 D.34 答案D 解析由x24+y23=1得a=2,c=1,根據(jù)橢圓的定義可知△ABF1的周長為4a

6、=8,△ABF1的面積為12|F1F2|×|yA-yB|=12×2×3=3=12×8×r,解得r=34,故選D. 8.(2018山東德州期末)若雙曲線的中心為原點,F(0,-2)是雙曲線的焦點,過F的直線l與雙曲線相交于M,N兩點,且MN的中點為P(3,1),則雙曲線的方程為(　　) A.x23-y2=1 B.y2-x23=1 C.y23-x2=1 D.x2-y23=1 答案B 解析由題意設該雙曲線的標準方程為y2a2-x2b2=1(a>0,b>0), M(x1,y1),N(x2,y2),則y12a2-x12b2=1,且y22a2-x22b2=1, 則(y1+y2)(y1-y2)

7、a2=(x1+x2)(x1-x2)b2, 即2(y1-y2)a2=6(x1-x2)b2, 則y1-y2x1-x2=6a22b2=1-(-2)3-0=1, 即b2=3a2,則c2=4a2=4,所以a2=1,b2=3, 即該雙曲線的方程為y2-x23=1.故選B. 9.設雙曲線x2a2-y2b2=1的兩條漸近線與直線x=a2c分別交于A,B兩點,F為該雙曲線的右焦點.若60°<∠AFB<90°,則該雙曲線的離心率的取值范圍是(　　) A.(1,2) B.(2,2) C.(1,2) D.(2,+∞) 答案B 解析雙曲線x2a2-y2b2=1的兩條漸近線方程為y=±bax, 當x=a

8、2c時,y=±abc, 所以不妨令Aa2c,abc,Ba2c,-abc. 因為60°<∠AFB<90°,所以33

9、軸長為m,可得|PF1|+|PF2|=2a,|PF1|-|PF2|=2m,可得|PF1|=a+m,|PF2|=a-m, 由余弦定理可得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos60°, 即有4c2=(a+m)2+(a-m)2-(a+m)(a-m)=a2+3m2, 由離心率公式可得1e12+3e22=4,e1e2=1, 即有e24-4e22+3=0,解得e2=3. 11.已知拋物線y2=2px(p>0)與雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的兩條漸近線分別交于兩點A,B(A,B異于原點),拋物線的焦點為F.若雙曲線的離心率為2,|AF|=7,則

10、p=(　　) A.3 B.6 C.12 D.42 答案B 解析因為雙曲線的離心率為2, 所以e2=c2a2=a2+b2a2=4,即b2=3a2, 所以雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的兩條漸近線方程為y=±3x,代入y2=2px(p>0), 得x=23p或x=0,故xA=xB=23p. 又因為|AF|=xA+p2=23p+p2=7,所以p=6. 12.已知橢圓E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦點為F,短軸的一個端點為M,直線l:3x-4y=0交橢圓E于A,B兩點.若|AF|+|BF|=4,點M到直線l的距離不小于45,則橢圓E的離心率的取值范圍是(　　

11、) A.0,32 B.0,34 C.32,1 D.34,1 答案A 解析如圖,取橢圓的左焦點F1,連接AF1,BF1. 由橢圓的對稱性知四邊形AF1BF是平行四邊形, 則|AF|+|BF|=|AF1|+|AF|=2a=4.故a=2. 不妨設M(0,b),則|3×0-4b|32+(-4)2≥45,即b≥1. 所以e=ca=1-ba2≤1-122=32. 因為0

12、標為　　　　　.? 答案(1,0) 解析由題知直線l的方程為x=1,則直線與拋物線的交點為(1,±2a)(a>0). 又直線被拋物線截得的線段長為4,所以4a=4,即a=1. 所以拋物線的焦點坐標為(1,0). 14.在平面直角坐標系xOy中,雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右支與焦點為F的拋物線x2=2py(p>0)交于A,B兩點,若|AF|+|BF|=4|OF|,則該雙曲線的漸近線方程為　　　　　.? 答案y=±22x 解析拋物線x2=2py的焦點F0,p2,準線方程為y=-p2. 設A(x1,y1),B(x2,y2), 則|AF|+|BF|=y1+p2+

13、y2+p2 =y1+y2+p=4|OF|=4·p2=2p. 所以y1+y2=p. 聯(lián)立雙曲線與拋物線方程得x2a2-y2b2=1,x2=2py, 消去x,得a2y2-2pb2y+a2b2=0. 所以y1+y2=2pb2a2=p,所以b2a2=12. 所以該雙曲線的漸近線方程為y=±22x. 15.設拋物線y2=4x的焦點為F,準線為l,已知點C在l上,以C為圓心的圓與y軸的正半軸相切于點A,若∠FAC=120°,則圓的方程為　　　　　　　　　　　.? 答案(x+1)2+(y-3)2=1 解析∵拋物線y2=4x的焦點F(1,0),準線l的方程為x=-1, 由題意可設圓C的方程

14、為(x+1)2+(y-b)2=1(b>0),則C(-1,b),A(0,b). ∵∠FAC=120°,∴kAF=tan120°=-3,直線AF的方程為y=-3x+3. ∵點A在直線AF上,∴b=3. 則圓的方程為(x+1)2+(y-3)2=1. 16.若關(guān)于x,y的方程x24-t+y2t-1=1所表示的曲線C,給出下列四個命題: ①若C為橢圓,則14或t<1; ③曲線C不可能是圓; ④若C表示橢圓,且長軸在x軸上,則10,t

15、-1>0,且4-t≠t-1, 解得14或t<1,所以②正確; 若t=52時,該曲線表示圓,所以③不正確; 若C表示橢圓,且長軸在x軸上,則4-t>t-1>0, 解得1

16、標a的取值范圍. 解(1)由y=2x-4,y=x-1,得圓心C(3,2). 又因為圓C的半徑為1, 所以圓C的方程為(x-3)2+(y-2)2=1. 顯然切線的斜率一定存在, 設所求圓C的切線方程為y=kx+3, 即kx-y+3=0,則|3k-2+3|k2+1=1, 所以|3k+1|=k2+1,即2k(4k+3)=0. 所以k=0或k=-34. 所以所求圓C的切線方程為y=3或y=-34x+3, 即y=3或3x+4y-12=0. (2)由圓C的圓心在直線l:y=2x-4上, 可設圓心C為(a,2a-4), 則圓C的方程為(x-a)2+[y-(2a-4)]2=1. 又

17、因為|MA|=2|MO|,所以設M(x,y), 則x2+(y-3)2=2x2+y2,整理得x2+(y+1)2=4. 設方程x2+(y+1)2=4表示的是圓D, 所以點M既在圓C上又在圓D上,即圓C和圓D有交點, 所以2-1≤a2+[(2a-4)-(-1)]2≤2+1, 解得a的取值范圍為0,125. 18.(12分)已知圓心在x軸上的圓C過點(0,0)和(-1,1),圓D的方程為(x-4)2+y2=4. (1)求圓C的方程; (2)由圓D上的動點P向圓C作兩條切線分別交y軸于A,B兩點,求|AB|的取值范圍. 解(1)過兩點(0,0)和(-1,1)的直線的斜率為-1, 則線

18、段AB的垂直平分線方程為y-12=1×x+12,整理得y=x+1.取y=0,得x=-1. 所以圓C的圓心坐標為(-1,0),半徑為1, 所以圓C的方程為(x+1)2+y2=1. (2)設P(x0,y0),A(0,a),B(0,b), 則直線PA方程為y-ay0-a=xx0, 整理得(y0-a)x-x0y+ax0=0. 因為直線PA與圓C相切,可得|a-y0+ax0|(y0-a)2+x02=1, 化簡得(x0+2)a2-2y0a-x0=0. 同理可得PB方程(x0+2)b2-2y0b-x0=0, 所以a,b為方程(x0+2)x2-2y0x-x0=0的兩根, 所以|AB|=|a

19、-b|=(a+b)2-4ab =2y0x0+22+4x0x0+2=22·5x0-6(x0+2)2, 令t=x0+2∈[4,8],則|AB|=22·-16t2+5t, 求得|AB|min=2,|AB|max=524. |AB|的取值范圍是2,524. 19.(12分)已知A,B是拋物線W:y=x2上的兩個點,點A的坐標為(1,1),直線AB的斜率為k(k>0).設拋物線W的焦點在直線AB的下方. (1)求k的取值范圍; (2)設C為W上一點,且AB⊥AC,過B,C兩點分別作W的切線,記兩切線的交點為D,判斷四邊形ABDC是否為梯形,并說明理由. 解(1)拋物線y=x2的焦點為0,

20、14. 由題意,得直線AB的方程為y-1=k(x-1), 令x=0,得y=1-k,即直線AB與y軸相交于點(0,1-k). 因為拋物線W的焦點在直線AB的下方, 所以1-k>14,解得k<34. 因為k>0,所以0

21、x2求導,得y'=2x, 所以拋物線y=x2在點B處的切線BD的斜率為2x1=2k-2, 拋物線y=x2在點C處的切線CD的斜率為2x2=-2k-2. 由四邊形ABDC為梯形,得AB∥CD或AC∥BD. 若AB∥CD,則k=-2k-2,即k2+2k+2=0, 因為方程k2+2k+2=0無解,所以AB與CD不平行. 若AC∥BD,則-1k=2k-2,即2k2-2k+1=0, 因為方程2k2-2k+1=0無解,所以AC與BD不平行. 所以四邊形ABDC不是梯形,與假設矛盾. 因此四邊形ABDC不可能為梯形. 20. (12分)已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的

22、右焦點為F(2,0),以原點O為圓心,OF為半徑的圓與橢圓在y軸右側(cè)交于A,B兩點,且△AOB為正三角形. (1)求橢圓方程; (2)過圓外一點M(m,0)(m>a),作傾斜角為5π6的直線l交橢圓于C,D兩點,若點F在以線段CD為直徑的圓E的內(nèi)部,求m的取值范圍. 解(1)∵△AOB為正三角形,且A,B關(guān)于x軸對稱,OF=2, ∴OA=OF=2.∴yA=1,xA=3,即點A(3,1), ∴3a2+1b2=1,又∵c=2,解得a2=6,b2=2, 故橢圓方程為x26+y22=1. (2)易知直線l:y=-33(x-m)(m>6), 聯(lián)立x26+y22=1,y=-33(x-m)消

23、去y得2x2-2mx+m2-6=0, 由Δ>0,得4m2-8(m2-6)>0,即-23

24、又∵60),

25、 ∴p2=2,解得p=4. ∴拋物線E的方程為y2=8x. (2)∵2|BC|是|AB|與|CD|的等差中項,|BC|=2r, ∴|AB|+|CD|=4|BC|=4×2r=8. ∴|AD|=|AB|+|BC|+|CD|=10. 討論: 若l垂直于x軸,則l的方程為x=2,代入y2=8x, 解得y=±4. 此時|AD|=8,不滿足題意; 若l不垂直于x軸,則設l的斜率為k(k≠0),此時l的方程為y=k(x-2), 由y=k(x-2),y2=8x, 得k2x2-(4k2+8)x+4k2=0. 設A(x1,y1),D(x2,y2),則x1+x2=4k2+8k2. ∵拋物線

26、E的準線方程為x=-2, ∴|AD|=|AF|+|DF|=(x1+2)+(x2+2)=x1+x2+4, ∴4k2+8k2+4=10,解得k=±2. 當k=±2時,k2x2-(4k2+8)x+4k2=0化為x2-6x+4=0. ∵(-6)2-4×1×4>0, ∴x2-6x+4=0有兩個不相等實數(shù)根. ∴k=±2滿足題意. ∴存在滿足要求的直線l:2x-y-4=0或2x+y-4=0. 22.(12分)已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦點為F(-c,0),右頂點為A,點E的坐標為(0,c),△EFA的面積為b22. (1)求橢圓的離心率; (2)設點Q在線段AE上

27、,|FQ|=32c,延長線段FQ與橢圓交于點P,點M,N在x軸上,PM∥QN,且直線PM與直線QN間的距離為c,四邊形PQNM的面積為3c. ①求直線FP的斜率; ②求橢圓的方程. 解(1)設橢圓的離心率為e. 由已知,可得12(c+a)c=b22. 又由b2=a2-c2,可得2c2+ac-a2=0,即2e2+e-1=0. 又因為00), 則直線FP的斜率為1m. 由(1)知a=2c,可得直線AE的方程為x2c+yc=1, 即x+2y-2c=0, 與直線FP的方程聯(lián)立,

28、可解得x=(2m-2)cm+2,y=3cm+2, 即點Q的坐標為(2m-2)cm+2,3cm+2. 由已知|FQ|=32c,有(2m-2)cm+2+c2+3cm+22=3c22, 整理得3m2-4m=0,所以m=43,即直線FP的斜率為34. ②由a=2c,可得b=3c, 故橢圓方程可以表示為x24c2+y23c2=1. 由①得直線FP的方程為3x-4y+3c=0, 與橢圓方程聯(lián)立3x-4y+3c=0,x24c2+y23c2=1,消去y, 整理得7x2+6cx-13c2=0, 解得x=-13c7(舍去)或x=c. 因此可得點Pc,3c2, 進而可得|FP|=(c+c)2+3c22=5c2, 所以|PQ|=|FP|-|FQ|=5c2-3c2=c. 由已知,線段PQ的長即為PM與QN這兩條平行直線間的距離,故直線PM和QN都垂直于直線FP. 因為QN⊥FP,所以|QN|=|FQ|·tan∠QFN=3c2×34=9c8,所以△FQN的面積為12|FQ||QN|=27c232, 同理△FPM的面積等于75c232, 由四邊形PQNM的面積為3c,得75c232-27c232=3c, 整理得c2=2c,又由c>0,得c=2. 所以,橢圓的方程為x216+y212=1. 15