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1、
中考數(shù)學(xué)專題 新概念型問(wèn)題
一、中考專題詮釋
所謂“新概念”型問(wèn)題,主要是指在問(wèn)題中概念了中學(xué)數(shù)學(xué)中沒(méi)有學(xué)過(guò)的一些概念、新運(yùn)算、新符號(hào),要求學(xué)生讀懂題意并結(jié)合已有知識(shí)、能力進(jìn)行理解,根據(jù)新概念進(jìn)行運(yùn)算、推理、遷移的一種題型.“新概念”型問(wèn)題成為近年來(lái)中考數(shù)學(xué)壓軸題的新亮點(diǎn).在復(fù)習(xí)中應(yīng)重視學(xué)生應(yīng)用新的知識(shí)解決問(wèn)題的能力
二、解題策略和解法精講
“新概念型專題”關(guān)鍵要把握兩點(diǎn):一是掌握問(wèn)題原型的特點(diǎn)及其問(wèn)題解決的思想方法;二是根據(jù)問(wèn)題情景的變化,通過(guò)認(rèn)真思考,合理進(jìn)行思想方法的遷移.
三、中考典例剖析
考點(diǎn)一:規(guī)律題型中的新概念
例1我們把按照一定順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列,如1
2、,3,9,19,33,…就是一個(gè)數(shù)列,如果一個(gè)數(shù)列從第二個(gè)數(shù)起,每一個(gè)數(shù)及它前一個(gè)數(shù)的差等于同一個(gè)常數(shù),那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列,這個(gè)常數(shù)叫做這個(gè)等差數(shù)列的公差.如2,4,6,8,10就是一個(gè)等差數(shù)列,它的公差為2.如果一個(gè)數(shù)列的后一個(gè)數(shù)及前一個(gè)數(shù)的差組成的新數(shù)列是等差數(shù)列,則稱這個(gè)數(shù)列為二階等差數(shù)列.例如數(shù)列1,3,9,19,33,…,它的后一個(gè)數(shù)及前一個(gè)數(shù)的差組成的新數(shù)列是2,6,10,14,…,這是一個(gè)公差為4的等差數(shù)列,所以,數(shù)列1,3,9,19,33,…是一個(gè)二階等差數(shù)列.那么,請(qǐng)問(wèn)二階等差數(shù)列1,3,7,13,…的第五個(gè)數(shù)應(yīng)是 21
.
對(duì)應(yīng)訓(xùn)練
3、
1.若x是不等于1的實(shí)數(shù),我們把 稱為x的差倒數(shù),如2的差倒數(shù)是 =-1,-1的差倒數(shù)為 = ,現(xiàn)已知x1=- ,x2是x1的差倒數(shù),x3是x2的差倒數(shù),x4是x3的差倒數(shù),…,依次類推,則x2012= .
考點(diǎn)二:運(yùn)算題型中的新概念
例2 將4個(gè)數(shù)a,b,c,d排成2行、2列,兩邊各加一條豎直線記成,概念=ad-bc,上述記號(hào)就叫做2階行列式.若=8,則x= 2
.
點(diǎn)評(píng):此題考查了整式的混合運(yùn)算,屬于新概念的題型,涉及的知識(shí)有:完全平方公式,去括號(hào)、合并同類項(xiàng)法則,根據(jù)題意將所求的方程化為普通方程是解本題的關(guān)鍵.
對(duì)應(yīng)訓(xùn)練
2.若
4、(x1,y1)?(x2,y2)=x1x2+y1y2,則(4,5)?(6,8)= ?。?
考點(diǎn)三:探索題型中的新概念
例3 如果一條拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)及x軸有兩個(gè)交點(diǎn),那么以該拋物線的頂點(diǎn)和這兩個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形稱為這條拋物線的“拋物線三角形”.
(1)“拋物線三角形”一定是 等腰
三角形;
(2)若拋物線y=-x2+bx(b>0)的“拋物線三角形”是等腰直角三角形,求b的值;
(3)如圖,△OAB是拋物線y=-x2+b′x(b′>0)的“拋物線三角形”,是否存在以原點(diǎn)O為對(duì)稱中心的矩形ABCD?若存在,求出過(guò)O、C、D三點(diǎn)的拋物線的
5、表達(dá)式;若不存在,說(shuō)明理由.
考點(diǎn)四:開(kāi)放題型中的新概念
例4 在平面直角坐標(biāo)系xOy中,對(duì)于任意兩點(diǎn)P1(x1,y1)及P2(x2,y2)的“非常距離”,給出如下概念:
若|x1-x2|≥|y1-y2|,則點(diǎn)P1及點(diǎn)P2的“非常距離”為|x1-x2|;
若|x1-x2|<|y1-y2|,則點(diǎn)P1及點(diǎn)P2的“非常距離”為|y1-y2|.
例如:點(diǎn)P1(1,2),點(diǎn)P2(3,5),因?yàn)閨1-3|<|2-5|,所以點(diǎn)P1及點(diǎn)P2的“非常距離”為|2-5|=3,也就是圖1中線段P1Q及線段P2Q長(zhǎng)度的較大值(點(diǎn)Q為垂直于y軸的直線P1Q及垂直于x軸的直線P2Q交點(diǎn)
6、).
(1)已知點(diǎn)A(-,0),B為y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),
①若點(diǎn)A及點(diǎn)B的“非常距離”為2,寫(xiě)出一個(gè)滿足條件的點(diǎn)B的坐標(biāo);
②直接寫(xiě)出點(diǎn)A及點(diǎn)B的“非常距離”的最小值;
(2)已知C是直線y=x+3上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),
①如圖2,點(diǎn)D的坐標(biāo)是(0,1),求點(diǎn)C及點(diǎn)D的“非常距離”的最小值及相應(yīng)的點(diǎn)C的坐標(biāo);
②如圖3,E是以原點(diǎn)O為圓心,1為半徑的圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),求點(diǎn)C及點(diǎn)E的“非常距離”的最小值及相應(yīng)的點(diǎn)E及點(diǎn)C的坐標(biāo).
思路分析:(1)①根據(jù)點(diǎn)B位于y軸上,可以設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,y).由“非常距離”的概念可以確定|0-y|=2,據(jù)此可以求得y的值;
②設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,y)
7、.因?yàn)閨- -0|≥|0-y|,所以點(diǎn)A及點(diǎn)B的“非常距離”最小值為|- -0|= ;
(2)①設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(x0,x0+3).根據(jù)材料“若|x1-x2|≥|y1-y2|,則點(diǎn)P1及點(diǎn)P2的“非常距離”為|x1-x2|”知,C、D兩點(diǎn)的“非常距離”的最小值為-x0= x0+2,據(jù)此可以求得點(diǎn)C的坐標(biāo);
②當(dāng)點(diǎn)E在過(guò)原點(diǎn)且及直線y= x+3垂直的直線上時(shí),點(diǎn)C及點(diǎn)E的“非常距離”最小,即E(- , ).解答思路同上.
解:(1)①∵B為y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),
∴設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,y).
∵|--0|=≠2,
∴|0-y|=2,
解得,y=2或y=-2;
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)是(0,2)或
8、(0,-2);
②點(diǎn)A及點(diǎn)B的“非常距離”的最小值為;
(2)①∵C是直線y=x+3上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),
∴設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(x0,x0+3),
∴-x0=x0+2,
此時(shí),x0=-,
∴點(diǎn)C及點(diǎn)D的“非常距離”的最小值為:,
此時(shí)C(-,);
②E(-,).
--x0=x0+3-,
解得,x0=-,
則點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-,),
最小值為1.
點(diǎn)評(píng):本題考查了一次函數(shù)綜合題.對(duì)于信息給予題,一定要弄清楚題干中的已知條件.本題中的“非常距離”的概念是正確解題的關(guān)鍵.
對(duì)應(yīng)訓(xùn)練
4.(2012?臺(tái)州)請(qǐng)你規(guī)定一種適合任意非零實(shí)數(shù)a,b的新運(yùn)算“a⊕b”,使得下列算式成立
9、:
1⊕2=2⊕1=3,(-3)⊕(-4)=(-4)⊕(-3)=- ,(-3)⊕5=5⊕(-3)=- ,…
你規(guī)定的新運(yùn)算a⊕b= (用a,b的一個(gè)代數(shù)式表示).
考點(diǎn)五:閱讀材料題型中的新概念
將△ABC繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)θ度,并使各邊長(zhǎng)變?yōu)樵瓉?lái)的n倍,得△AB′C′,即如圖①,我們將這種變換記為[θ,n].
(1)如圖①,對(duì)△ABC作變換[60°,]得△AB′C′,則S△AB′C′:S△ABC= 3
;直線BC及直線B′C′所夾的銳角為 60
度;
(2)如圖②,△ABC中,∠BAC=30°,∠ACB=90°,對(duì)△ABC?作變換[θ,n]得△AB'C',使點(diǎn)B、C、C′在同一直線上,且四邊形ABB'C'為矩形,求θ和n的值;
(3)如圖③,△ABC中,AB=AC,∠BAC=36°,BC=l,對(duì)△ABC作變換[θ,n]得△AB′C′,使點(diǎn)B、C、B′在同一直線上,且四邊形ABB'C'為平行四邊形,求θ和n的值.