第2講　圓錐曲線的標準方程與幾何性質 1．(2019·南京模擬)橢圓＋＝1的離心率是________． [解析] 由橢圓方程可得a＝5，b＝3，c＝4，e＝． [答案] 2．(2019·江蘇省高考命題研究專家原創(chuàng)卷(四))已知方程＋＝1表示雙曲線，則實數(shù)m的取值范圍是________． [解析] 因為方程＋＝1表示雙曲線，所以當焦點在x軸上時，，解得－1<m<0； 當焦點在y軸上時，，解得m<－1． 所以實數(shù)m的取值范圍是m<－1或－1<m<0． [答案] (－∞，－1)∪(－1，0) 3．(2019·南京、鹽城模擬)若雙曲線x2－y2＝a2(a＞0)的右焦點與拋物線y2＝4x的焦點重合，則a＝________． [解析] 雙曲線x2－y2＝a2的右焦點的坐標為，拋物線y2＝4x的焦點為(1，0)，從而a＝1，故a＝． [答案] 4．(2019·南通模擬)在平面直角坐標系xOy中，以直線y＝±2x為漸近線，且經過拋物線y2＝4x焦點的雙曲線的方程是________． [解析] 因為拋物線焦點為(1，0)，所以雙曲線的焦點也在x軸上，故可設所求雙曲線標準方程為－＝1(a＞0，b＞0)．又雙曲線的漸近線為y＝±2x，故＝2．即所求雙曲線的標準方程為x2－＝1． [答案] x2－＝1 5．(2019·鎮(zhèn)江期末)若雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的一個焦點到一條漸近線的距離等于焦距的，則該雙曲線的漸近線方程是________． [解析] 不妨設焦點為(c，0)，則由題意得雙曲線的漸近線方程為bx±ay＝0，故(2c)＝＝＝b，即c＝2b，從而a＝＝＝b，故雙曲線的漸近線方程為y＝±x＝±x． [答案] y＝±x 6．(2019·江蘇省高考名校聯(lián)考(三))如圖，若C是橢圓＋＝1(a＞b＞0)上位于第一象限內的點，A，B分別是橢圓的左頂點和上頂點，F(xiàn)是橢圓的右焦點，且OC＝OF，AB∥OC，則該橢圓的離心率為________． [解析] 設點C(x0，y0)，則，解得，代入橢圓方程得＋＝1，整理得2c2＝a2＋b2，又a2＝b2＋c2，故2c2＝a2＋a2－c2， 所以e2＝， 又0＜e＜1，故e＝． [答案] 7．(2019·高三第三次調研測試)在平面直角坐標系xOy中，雙曲線－＝1(a>0，b>0)的右準線與兩條漸近線分別交于A，B兩點．若△AOB的面積為，則該雙曲線的離心率為______． [解析] 雙曲線的漸近線方程為y＝±x，右準線方程為x＝，聯(lián)立可求得兩交點的縱坐標為±，所以△AOB的面積S＝××＝，得＝4，e＝＝2． [答案] 2 8．已知雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點分別為F1(－1，0)，F(xiàn)2(1，0)，P是雙曲線上任一點，若雙曲線的離心率的取值范圍為[2，4]，則·的最小值的取值范圍是________． [解析] 設P(m，n)，則－＝1， 即m2＝a2． 又F1(－1，0)，F(xiàn)2(1，0)， 則＝(－1－m，－n)，＝(1－m，－n)， ·＝n2＋m2－1＝n2＋a2－1 ＝n2＋a2－1≥a2－1， 當且僅當n＝0時取等號， 所以·的最小值為a2－1． 由2≤≤4，得≤a≤，故－≤a2－1≤－， 即·的最小值的取值范圍是． [答案] 9．(2019·江蘇高考命題研究專家原創(chuàng)卷)已知拋物線的方程為y2＝4x，過其焦點F的直線與拋物線交于A，B兩點，且|AF|＝3，O為坐標原點，則△AOF的面積和△BOF的面積的比值為________． [解析] 易知F(1，0)，不妨設A在第一象限，B在第四象限．因為|AF|＝3，所以xA＋1＝3，解得xA＝2，代入拋物線方程可得y＝4×2，得yA＝2，所以直線AB的方程為y＝(x－1)，即y＝2x－2． 聯(lián)立，消去x得，y2－y－4＝0， 所以2yB＝－4，解得yB＝－，所以△AOF的面積和△BOF的面積的比值為＝2． [答案] 2 10．(2019·南京模擬)已知橢圓x2＋＝1(0<b<1)的左焦點為F，左、右頂點分別為A、C，上頂點為B．過F、B、C作圓P，其中圓心P的坐標為(m，n)．當m＋n>0時，則橢圓離心率的取值范圍是________． [解析] 設F、B、C的坐標分別為(－c，0)，(0，b)，(1，0)，則FC、BC的中垂線分別為 x＝，y－＝． 聯(lián)立方程組解出 m＋n＝＋>0，即b－bc＋b2－c>0，即(1＋b)·(b－c)>0，所以b>c．從而b2>c2， 即有a2>2c2， 所以e2<．又e>0， 所以0<e<． [答案] 0<e< 11．(2019·揚州期末)已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的右準線l2與一條漸近線l交于點P，F(xiàn)是雙曲線的右焦點． (1)求證：PF⊥l； (2)若PF＝3，且雙曲線的離心率e＝，求該雙曲線方程． [解] (1)證明：右準線為x＝，由對稱性不妨設漸近線l為y＝x， 則P，又F(c，0)， 所以kPF＝＝－， 又因為kl＝，所以kPF·kl＝－·＝－1， 所以PF⊥l． (2)因為PF的長即F(c，0)到l：bx－ay＝0的距離， 所以＝3，即b＝3， 又e＝＝，所以＝，所以a＝4，故雙曲線方程為－＝1． 12．如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，離心率為，兩準線之間的距離為8．點P在橢圓E上，且位于第一象限，過點F1作直線PF1的垂線l1，過點F2作直線PF2的垂線l2． (1)求橢圓E的標準方程； (2)若直線l1，l2的交點Q在橢圓E上，求點P的坐標． [解] (1)設橢圓的半焦距為c． 因為橢圓E的離心率為，兩準線之間的距離為8，所以＝，＝8，解得a＝2，c＝1，于是b＝＝， 因此橢圓E的標準方程是＋＝1． (2)由(1)知，F(xiàn)1(－1，0)，F(xiàn)2(1，0)． 設P(x0，y0)，因為P為第一象限的點，故x0>0，y0>0． 當x0＝1時，l2與l1相交于F1，與題設不符， 當x0≠1時，直線PF1的斜率為，直線PF2的斜率為． 因為l1⊥PF1，l2⊥PF2，所以直線l1的斜率為－，直線l2的斜率為－， 從而直線l1的方程：y＝－(x＋1)，① 直線l2的方程：y＝－(x－1)．② 由①②，解得x＝－x0，y＝， 所以Q． 因為點Q在橢圓E上，由對稱性，得＝±y0，即x－y＝1或x＋y＝1． 又P在橢圓E上，故＋＝1． 由解得x0＝，y0＝；無解．因此點P的坐標為． 13．(2019·南通市高三第一次調研測試)如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓＋＝1(a＞b＞0)的離心率為，焦點到相應準線的距離為1． (1)求橢圓的標準方程； (2)若P為橢圓上的一點，過點O作OP的垂線交直線y＝于點Q，求＋的值． [解] (1)由題意得，＝，－c＝1， 解得a＝，c＝1，又b2＝a2－c2，所以b＝1． 所以橢圓的標準方程為＋y2＝1． (2)由題意知OP的斜率存在． 當OP的斜率為0時，OP＝，OQ＝，所以＋＝1． 當OP的斜率不為0時，設直線OP的方程為y＝kx(k≠0)． 由得(2k2＋1)x2＝2，解得x2＝， 所以y2＝， 所以OP2＝． 因為OP⊥OQ，所以直線OQ的方程為y＝－x． 由得x＝－k，所以OQ2＝2k2＋2． 所以＋＝＋＝1． 綜上可知，＋＝1． 14．(2019·江蘇名校高三入學摸底)為了保證我國東海油氣田海域的海上平臺的生產安全，海事部門在某平臺O的正西方向和正東方向設立了兩個觀測站A、B，它們到平臺O的距離都為5海里，并將到兩觀測站的距離之和不超過20海里的區(qū)域設為禁航區(qū)域． (1)建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼担蠼絽^(qū)域邊界曲線的方程； (2)某日觀察員在觀測站B處發(fā)現(xiàn)在該海上平臺正南10海里的C處，有一艘輪船正以每小時8海里的速度向北偏東30°方向航行，如果航向不變，該輪船是否會進入禁航區(qū)域？如果不進入，說明理由；如果進入，求出它在禁航區(qū)域中航行的時間． [解] (1)以O為坐標原點，AB所在的直線為x軸，線段AB的垂直平分線為y軸建立如圖所示的平面直角坐標系．依題意可知，禁航區(qū)域的邊界是以A，B為焦點的橢圓， 設橢圓方程為＋＝1(a>b>0)，則， 解得a＝10，b＝5，所以禁航區(qū)域邊界曲線的方程為＋＝1． (2)由題意得C(0，－10)，所以輪船航行直線的方程為y＝x－10． 聯(lián)立，整理得x2－16x＋60＝0， 則Δ＝(－16)2－4×60＝16>0，方程有兩個不同的實數(shù)解x1＝10，x2＝6，所以輪船航行直線與橢圓有兩個不同的交點，故輪船會駛入禁航區(qū)域． 設交點分別為M，N，不妨取M(10，0)，N(6，－4)，易得輪船在禁航區(qū)域中航行的距離為|MN|＝＝8(海里)， 所以航行時間t＝＝1(小時)，所以該輪船在禁航區(qū)域中航行的時間是1小時． - 8 -