《（京津魯瓊專用）2020版高考數學二輪復習 第一部分 基礎考點 自主練透 第1講 選擇、填空題的4種特殊解法練習（含解析）》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《（京津魯瓊專用）2020版高考數學二輪復習 第一部分 基礎考點 自主練透 第1講 選擇、填空題的4種特殊解法練習（含解析）（17頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、第1講　選擇、填空題的4種特殊解法 方法一　特值(例)排除法 方法詮釋 使用前提 使用技巧 常見問題 特例法是根據題設和各選項的具體情況和特點，選取滿足條件的特殊的數值、特殊的點、特殊的例子、特殊的圖形、特殊的位置、特殊的函數、特殊的方程、特殊的數列等，針對各選項進行代入對照，結合排除法，從而得到正確的答案． 滿足當一般性結論成立時，對符合條件的特殊化情況也一定成立． 找到滿足條件的合適的特殊化例子，或舉反例排除，有時甚至需要兩次或兩次以上特殊化例子才可以確定結論． 求范圍、比較大小、含字母求值、恒成立問題、任意性問題等．而對于函數圖象的判別、不等式、空間線面

2、位置關系等不宜直接求解的問題，常通過排除法解決. 真題示例 技法應用 (2019·高考全國卷Ⅰ)函數f(x)＝在[－π，π]的圖象大致為(　　) 取特殊值x＝π，結合函數的奇偶性進行排除，答案選D. 答案：D (2019·高考全國卷Ⅱ)若a>b，則(　　) A.ln(a－b)>0　　　　　　　　 B．3a<3b C.a3－b3>0 D．|a|>|b| 取a＝－1，b＝－2，則a>b，可驗證A，B，D錯誤，只有C正確. 答案：C (2018·高考全國卷Ⅲ)函數y＝－x4＋x2＋2的圖象大致為(　　) 當x＝0時，y＝2，排除A，B；當x＝0.5時，x2>x

3、4，所以此時y>2，排除C，故選D. 答案：D (2017·高考全國卷Ⅰ)已知α∈，tan α＝2，則cos＝__________. 取角α終邊上的特殊點(1，2)，利用定義代入計算，求sin α，cos α.答案為. 答案： (2017·高考全國卷Ⅰ)函數f(x)在(－∞，＋∞)單調遞減，且為奇函數．若f(1)＝－1，則滿足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范圍是(　　) A．[－2，2]　　　　　　　　 B．[－1，1] C．[0，4] D．[1，3] 當x＝4時，f(x－2)＝f(2)

4、案：D 1．設f(x)＝若f(x0)>3，則x0的取值范圍為(　　) A．(－∞，0)∪(2，＋∞)　　 B．(0，2) C．(－∞，－1)∪(3，＋∞) D．(－1，3) 解析：選C.取x0＝1，則f(1)＝＋1＝<3，故x0≠1，排除B，D；取x0＝3，則f(3)＝log28＝3，故x0≠3，排除A.故選C. 2．如果a1，a2，a3，…，an為各項都大于零的等差數列，公差d≠0，則下列關系正確的為(　　) A．a1a8>a4a5 B．a1a8a4＋a5 D．a1a8＝a4a5 解析：選B.取特殊數列，不妨設an＝n，則a1＝1，a4＝4

5、，a5＝5，a8＝8，經檢驗，只有選項B成立． 3．函數f(x)＝的圖象是(　　) 解析：選C.因為x≠±1，所以排除A；因為f(0)＝1，所以函數f(x)的圖象過點(0，1)，排除D；因為f＝＝，所以排除B，故選C. 4．如圖，點P為橢圓＋＝1上第一象限內的任意一點，過橢圓的右頂點A、上頂點B分別作y軸、x軸的平行線，它們相交于點C，過點P引BC，AC的平行線交AC于點N，交BC于點M，交AB于D、E兩點，記矩形PMCN的面積為S1，三角形PDE的面積為S2，則S1∶S2＝(　　) A．1 B．2 C． D． 解析：選A.不妨取點P， 則可計算S1＝×(5－4)＝，

6、由題易得PD＝2，PE＝， 所以S2＝×2×＝， 所以S1∶S2＝1. 5．若函數y＝f(x)對定義域D中的每一個x1，都存在唯一的x2∈D，使f(x1)·f(x2)＝1成立，則稱f(x)為“影子函數”，有下列三個命題：(　　) ①“影子函數”f(x)的值域可以是R； ②“影子函數”f(x)可以是奇函數； ③若y＝f(x)，y＝g(x)都是“影子函數”，且定義域相同，則y＝f(x)·g(x)是“影子函數”． 上述命題正確的序號是(　　) A．① B．② C．③ D．②③ 解析：選B.對于①：假設“影子函數”的值域為R，則存在x1，使得f(x1)＝0，此時不存在x2，使得f(

7、x1)f(x2)＝1，所以①錯； 對于②：函數f(x)＝x(x≠0)，對任意的x1∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，取x2＝，則f(x1)f(x2)＝1，又因為函數f(x)＝x(x≠0)為奇函數，所以“影子函數”f(x)可以是奇函數，②正確； 對于③：函數f(x)＝x(x>0)，g(x)＝(x>0)都是“影子函數”，但F(x)＝f(x)g(x)＝1(x>0)不是“影子函數”(因為對任意的x1∈(0，＋∞)，存在無數多個x2∈(0，＋∞)，使得F(x1)·F(x2)＝1)，所以③錯．綜上，應選B. 6．(一題多解)已知E為△ABC的重心，AD為BC邊上的中線，令＝a，＝b，過點E的直線分別交A

8、B，AC于P，Q兩點，且＝ma，＝nb，則＋＝(　　) A．3 B．4 C．5 D． 解析：選A.由于直線PQ是過點E的一條“動”直線，所以結果必然是一個定值．故可利用特殊直線確定所求值． 法一：如圖1，令PQ∥BC， 則＝，＝，此時，m＝n＝， 故＋＝3.故選A. 　　 法二：如圖2，直線BE與直線PQ重合，此時，＝，＝，故m＝1，n＝，所以＋＝3.故選A. 7．如圖，在三棱柱的側棱A1A和B1B上各有一動點P，Q滿足A1P＝BQ，過P，Q，C三點的截面把棱柱分成兩部分，則其體積之比為(　　) A．3∶1 B．2∶1 C．4∶1 D．∶1 解析：選B.將P，Q置于

9、特殊位置：P→A1，Q→B，此時仍滿足條件A1P＝BQ(＝0)，則有VC-AA1B＝VA1-ABC＝.因此過P、Q、C三點的截面把棱柱分成體積比為2∶1的兩部分． 8．已知AD，BE分別是△ABC的中線，若||＝||＝1，且與的夾角為120°，則·＝________． 解析：若△ABC為等邊三角形，則||＝， 所以·＝||||cos 60°＝. 答案： 方法二　驗證法 方法詮釋 使用前提 使用技巧 常見問題 驗證法是把選項代入題干中進行檢驗，或反過來從題干中找合適的驗證條件，代入各選項進行檢驗，從而可否定錯誤選項而得到正確選項的一種方法. 存在唯一正確選項. 可

10、以結合特例法、排除法等先否定一些明顯錯誤的選項，再選擇直覺認為最有可能的選項進行驗證，這樣可以快速獲得答案. 題干信息不全、選項是數值或范圍、正面求解或計算煩瑣的問題等. 真題示例 技法應用 (2017·高考山東卷)若a>b>0，且ab＝1，則下列不等式成立的是(　　) A.a＋<

11、案：B (2018·高考北京卷)設集合A＝{(x，y)|x－y≥1，ax＋y>4，x－ay≤2}，則(　　) A.對任意實數a，(2，1)∈A B.對任意實數a，(2，1)?A C.當且僅當a<0時，(2，1)?A D.當且僅當a≤時，(2，1)?A 對a取數字驗證．a＝0時，A錯；a＝2時，B錯；a＝時，C錯．所以選D. 答案：D (2018·高考全國卷Ⅰ)已知函數f(x)＝2cos2x－sin2x＋2，則(　　) A.f(x)的最小正周期為π，最大值為3 B.f(x)的最小正周期為π，最大值為4 C.f(x)的最小正周期為2π，最大值為3 D.f(x)的最小正周期為

12、2π，最大值為4 當sin x＝0，cos x＝1時，函數值為4，所以A，C錯；把x＋π代入驗證，可得f(x＋π)＝f(x)，說明D錯．故選B. 答案：B (2018·高考全國卷Ⅲ)下列函數中，其圖象與函數y＝ln x的圖象關于直線x＝1對稱的是(　　) A.y＝ln(1－x)　　　　 B．y＝ln(2－x) C.y＝ln(1＋x) D．y＝ln(2＋x) 函數y＝ln x的圖象過定點(1，0)，而(1，0)關于直線x＝1對稱的點還是(1，0)，將(1，0)代入選項驗證. 答案：B (2017·高考全國卷Ⅰ)設A、B是橢圓C：＋＝1長軸的兩個端點．若C上存在點M滿足∠AMB＝1

13、20°，則m的取值范圍是(　　) A.(0，1]∪[9，＋∞)　　 B．(0，]∪[9，＋∞) C.(0，1]∪[4，＋∞) D．(0，]∪[4，＋∞) 選取四個選項的差異值m＝，m＝4代入驗證. 答案：A 1．下列函數中，在其定義域內既是增函數又是奇函數的是(　　) A．y＝－　　　　　　 B．y＝－log2x C．y＝3x D．y＝x3＋x 解析：選D.y＝－在(0，＋∞)，(－∞，0)上單調遞增，但是在整個定義域內不是單調遞增函數，故A錯誤； y＝－log2x的定義域(0，＋∞)關于原點不對稱，不是奇函數，故B錯誤； y＝3x不是奇函數，故C錯誤； 令f(x

14、)＝y(tǒng)＝x3＋x，f(－x)＝(－x)3＋(－x)＝－x3－x＝－f(x)，是奇函數，且由冪函數的性質可知函數在R上單調遞增，故D正確，故選D. 2．下列函數為偶函數的是(　　) A．y＝x2sin x B．y＝x2cos x C．y＝|ln x| D．y＝2－x 解析：選B.因為y＝x2是偶函數，y＝sin x是奇函數，y＝cos x是偶函數，所以A選項為奇函數，B選項為偶函數；C選項中函數圖象是把對數函數y＝ln x的圖象在x軸下方部分翻折到x軸上方，其余部分的圖象保持不變，故為非奇非偶函數；D選項為指數函數y＝()x，是非奇非偶函數．故選B. 3．設函數f(x)＝cos，則下列

15、結論錯誤的是(　　) A．f(x)的一個周期為－π B．y＝f(x)的圖象關于直線x＝對稱 C．f的一個零點為x＝－ D．f(x)在區(qū)間上單調遞減 解析：選C.f(x)＝cos的周期為T＝kπ，所以A對；當x＝時，2x－＝π，cos π＝－1，所以B對；f(x＋)＝cos(2x＋)，x＝－時，2x＋＝0，cos 0＝1≠0，所以C錯；x∈時，2x－∈，y＝cos x在上遞減，所以D對．故選C. 4．已知函數f(x)＝為奇函數，g(x)＝ln x－2f(x)，則函數g(x)的零點所在區(qū)間為(　　) A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4) 解析：選C.函數

16、f(x)＝為奇函數，可得a＝0，則g(x)＝ln x－2f(x)＝ln x－，顯然函數g(x)為增函數，且有g(1)＝ln 1－2＝－2<0，g(2)＝ln 2－1<0，g(3)＝ln 3－>0，g(4)＝ln 4－>0，g(2)g(3)<0，故函數g(x)的零點所在區(qū)間為(2，3)，故選C. 5．已知函數f(x)＝sin(其中ω>0)圖象的一條對稱軸為直線x＝，則ω的最小值為(　　) A．2 B．4 C．10 D．16 解析：選B.(從選項驗證)若ω＝2，則當x＝時，f(x)＝sin＝，不符合題意；若ω＝4，則當x＝時，f(x)＝sin＝1，符合題意，所以ω的最小值為4. 6．已知

17、函數f(x)＝－x3－7x＋sin x，若f(a2)＋f(a－2)>0，則實數a的取值范圍是(　　) A．(－∞，1) B．(－∞，3) C．(－1，2) D．(－2，1) 解析：選D.(從選項驗證)若a＝1，則f(a2)＋f(a－2)＝f(1)＋f(－1)＝0，不滿足f(a2)＋f(a－2)>0，所以B，C錯；若a＝－2，則f(a2)＋f(a－2)＝f(4)＋f(－4)＝0，也不滿足f(a2)＋f(a－2)>0，所以A錯．故選D. 方法三　估算法 方法詮釋 使用前提 使用技巧 常見問題 由于選擇題提供了唯一正確的答案，又不需寫出過程，因此可以通過猜測、合情推理、估算獲得

18、答案，這樣往往可以減少運算量．估算省去了很多推導過程和復雜的計算，節(jié)省時間. 針對一些復雜的、 不易準確求值的與計算有關的命題，常與特值法結合起來使用. 對于數值計算，常采用放縮估算、整體估算、近似估算、特值估算等；對于幾何體問題，常進行分割、拼湊、位置估算. 求幾何體的表面積、幾何體的體積、三角函數的值、離心率、參數的范圍等. 真題示例 技法應用 (2019·高考全國卷Ⅰ) 古希臘時期，人們認為最美人體的頭頂至肚臍的長度與肚臍至足底的長度之比是(≈0.618，稱為黃金分割比例)，著名的“斷臂維納斯”便是如此．此外，最美人體的頭頂至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度之比也是

19、.若某人滿足上述兩個黃金分割比例，且腿長為105 cm，頭頂至脖子下端的長度為26 cm，則其身高可能是(　　) A．165 cm B．175 cm C．185 cm D．190 cm 設某人身高為m cm，脖子下端至肚臍的長度為n cm，則由腿長為105 cm，可得>≈0.618，解得m>169.890. 由頭頂至脖子下端的長度為26 cm， 可得>≈0.618，解得n<42.071. 由已知可得＝≈0.618，解得m<178.218. 綜上，此人身高m滿足169.890

20、＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，則(　　) A．a1，0c>a.故選B. 答案：B (2018·高考全國卷Ⅲ)設A，B，C，D是同一個半徑為4的球的球面上四點，△ABC為等邊三角形且其面積為9，則三棱錐D-ABC體積的最大值為(　　) A．12 B．18 C．24 D．54 等邊三角形ABC的面積為9，顯然球心不是此三角形的中心，所以三棱錐體積最大時，三棱錐的高應在區(qū)間(4，8)內，所以×9×4

21、VD-ABC<24，故選B. 答案：B (2017·高考全國卷Ⅲ)函數f(x)＝sin(x＋)＋cos(x－)的最大值為(　　) A． B．1 C． D． 當x＝時，函數值大于1，故選A. 答案：A (2017·高考全國卷Ⅱ)若a＞1，則雙曲線－y2＝1的離心率的取值范圍是(　　) A．(，＋∞) B．(，2) C．(1，) D．(1，2) 列出關于e的表達式，用a表示，根據a>1，估算e的范圍．答案為C. 答案：C 1．已知a＝log2e，b＝ln 2，c＝log，則a，b，c的大小關系為(　　) A．a>b>c　　　　　　 B．b>a>c C

22、．c>b>a D．c>a>b 解析：選D.a＝log2e>1，b＝ln 2＝∈(0，1)，c＝log＝log23>log2e，據此可得c>a>b.故選D. 2．某班設計了一個八邊形的班徽(如圖所示)，它由四個腰長為1，頂角為α的等腰三角形和一個正方形組成，則該八邊形的面積為(　　) A．2sin α－2cos α＋2 B．sin α－cos α＋3 C．3sin α－cos α＋1 D．2sin α－cos α＋1 解析：選A.當頂角α→π時，八邊形幾乎是邊長為2的正方形，面積接近于4，四個選項中，只有A符合，故選A. 3．P為雙曲線－＝1(a>0，b>0)右支上的一點，F(xiàn)1，

23、F2分別是雙曲線的左、右焦點，則△PF1F2的內切圓圓心的橫坐標為(　　) A．a B．b C． D．a＋b－ 解析：選A.如圖， 點P沿雙曲線向右頂點無限接近時，△PF1F2的內切圓越來越小，直至“點圓”，此“點圓”應為右頂點，則內切圓圓心的橫坐標為a，故選A. 4．若0<α<β<，sin α＋cos α＝a，sin β＋cos β＝b，則(　　) A．ab　 C．ab<1　 D．ab>2 解析：選A.若α→0，則sin α＋cos α＝a→1.若β→，則sin β＋cos β＝b→，從而b>a，結合選項分析，應選A. 5．如圖，在多面體ABCDEF中，

24、已知平面ABCD是邊長為3的正方形，EF∥AB，EF＝，EF與平面ABCD的距離為2，則該多面體的體積為(　　) A．　　 B．5　　　　 C．6　　 D． 解析：選D.連接BE，CE，四棱錐E-ABCD的體積為VE-ABCD＝×3×3×2＝6，多面體ABCDEF的體積大于四棱錐E-ABCD的體積，即所求幾何體的體積V>VE-ABCD＝6，而四個選項里面大于6的只有，故選D. 方法四　構造法 方法詮釋 使用前提 使用技巧 常見問題 構造法是一種創(chuàng)造性的解題方法，它很好地體現(xiàn)了數學中的發(fā)散、類比、轉化思想．利用已知條件和結論的特殊性構造函數、數列、方程或幾何圖形等，從而簡化

25、推理與計算過程，使較復雜的或不易求解的數學問題簡單化. 構造法來源于對基礎知識和基本方法的積累，需要從一般的方法原理中進行提煉概括，積極聯(lián)想，橫向類比，從類似的問題中找到構造的靈感. 所構造的函數、方程、圖形等要合理，不能超出原題的限制條件. 對于不等式、方程、函數問題常采用構造新函數，對于不規(guī)則的幾何體常構造成規(guī)則幾何體處理. 比較大小、函數導數問題、不規(guī)則的幾何體問題等. 真題示例 技法應用 (2019·高考全國卷Ⅰ)已知三棱錐P-ABC的四個頂點在球O的球面上，PA＝PB＝PC，△ABC是邊長為2的正三角形，E，F(xiàn)分別是PA，AB的中點，∠CEF＝90°，則球O的體

26、積為(　　) A.8π　　 B．4π　　 C．2π　　 D．π 由∠CEF＝90°，可得EC，利用余弦定理可求PA＝PB＝PC＝?PA⊥PB⊥PC，利用外接球的直徑是由該幾何體補成的正方體的體對角線求R，可得球的體積. 答案：D (2019·高考天津卷)設x>0，y>0，x＋2y＝5，則的最小值為________. 首先把待求式子的分子展開，再把已知條件代入，化簡后構造使用基本不等式的條件，由基本不等式即可求解. 答案：4 (2018·高考全國卷Ⅱ)在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，則異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為(　　) A.　　 B．

27、　　 C．　　 D． 在長方體ABCD-A1B1C1D1的面ABB1A1的一側再補填一個完全一樣的長方體ABC2D2-A1B1B2A2，研究△AB2D1即可. 答案：C (2016·高考全國卷Ⅱ)α，β是兩個平面，m，n是兩條直線，有下列四個命題： ①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β. ②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n. ③如果α∥β，m?α，那么m∥β. ④如果m∥n，α∥β，那么m與α所成的角和n與β所成的角相等. 其中正確的命題有________．(填寫所有正確命題的編號) 構造正方體，將有關棱與面看作問題中有關線與面，逐一判斷. 答案：②③④ (2016·

28、高考全國卷Ⅰ)若a＞b＞0，0＜c＜1，則(　　) A.logaccb 構造函數y＝logcx和y＝xc，利用函數的單調性可解決. 答案：B (2015·高考全國卷Ⅱ)設函數f′(x)是奇函數f(x)(x∈R)的導函數，f(－1)＝0，當x>0時，xf′(x)－f(x)<0，則使得f(x)>0成立的x的取值范圍是(　　) A.(－∞，－1)∪(0，1)　 B．(－1，0)∪(1，＋∞) C.(－∞，－1)∪(－1，0) D．(0，1)∪(1，＋∞) 據題意構造新函數g(x)＝，先求導再解題. 答案：A

29、 1．已知定義在R上的可導函數f(x)的導函數為f′(x)，滿足f′(x)

30、)＝＝1， 所以f(x)0.故選B. 2．已知m，n∈(2，e)，且－n B．m2＋ D．m，n的大小關系不確定 解析：選A.由不等式可得－0，故函數f(x)在(2，e)上單調遞增．因為f(n)

31、D．63 解析：選B.易知S5，S10－S5，S15－S10成等差數列，即7，14，S15－21成等差數列，所以7＋(S15－21)＝2×14，解得S15＝42.選B. 4.在我國古代數學名著《九章算術》中，將四個面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑．如圖所示，在鱉臑ABCD中，AB⊥平面BCD，且AB＝BC＝CD，則異面直線AC與BD所成角的余弦值為(　　) A． B．－ C． D．－ 解析：選A.由題意，可補成正方體，如圖，異面直線AC與BD所成角就是ED與BD所成角，而△BDE為等邊三角形，所以ED與BD所成角為，cos＝.故選A. 5．設函數f(x)的導函數為f′(x)，且對任

32、意x∈R都有f′(x)>f(x)成立，則(　　) A．3f(ln 2)>2f(ln 3) B．3f(ln 2)＝2f(ln 3) C．3f(ln 2)<2f(ln 3) D．3f(ln 2)與2f(ln 3)的大小關系不確定 解析：選C.令g(x)＝，則g′(x)＝＝.因為對任意x∈R都有f′(x)>f(x)成立，所以g′(x)>0，即g(x)在R上單調遞增．又ln 2