《（新課標(biāo)）2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題八 數(shù)學(xué)文化及數(shù)學(xué)思想 第2講 函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想練習(xí) 文 新人教A版》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（新課標(biāo)）2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題八 數(shù)學(xué)文化及數(shù)學(xué)思想 第2講 函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想練習(xí) 文 新人教A版（6頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第2講　函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想 一、選擇題 1．已知向量a＝(λ，1)，b＝(λ＋2，1)，若|a＋b|＝|a－b|，則實(shí)數(shù)λ的值為(　　) A．－1　　　　　　　　　　 B．2 C．1 D．－2 解析：選A.法一：由|a＋b|＝|a－b|，可得a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2－2a·b，所以a·b＝0，故a·b＝(λ，1)·(λ＋2，1)＝λ2＋2λ＋1＝0，解得λ＝－1. 法二：a＋b＝(2λ＋2，2)，a－b＝(－2，0)． 由|a＋b|＝|a－b|， 可得(2λ＋2)2＋4＝4，解得λ＝－1. 2．(2019·高考全國(guó)卷Ⅰ)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n

2、項(xiàng)和．已知S4＝0，a5＝5，則(　　) A．a(chǎn)n＝2n－5 B．a(chǎn)n＝3n－10 C．Sn＝2n2－8n D．Sn＝n2－2n 解析：選A.法一：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d， 因?yàn)樗越獾盟詀n＝a1＋(n－1)d＝－3＋2(n－1)＝2n－5，Sn＝na1＋d＝n2－4n.故選A. 法二：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d， 因?yàn)樗越獾? 選項(xiàng)A，a1＝2×1－5＝－3； 選項(xiàng)B，a1＝3×1－10＝－7，排除B； 選項(xiàng)C，S1＝2－8＝－6，排除C； 選項(xiàng)D，S1＝－2＝－，排除D.故選A. 3．已知函數(shù)f(x)＝且關(guān)于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一個(gè)

3、實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(　　) A．(1，＋∞) B．(－1，3) C．(－∞，1) D．(2，4) 解析：選A.畫(huà)出f(x)圖象，如圖所示，則由方程有且僅有一個(gè)實(shí)根可得f(x)的圖象與直線y＝－x＋a的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，首先讓直線過(guò)(0，1)(這是我們所說(shuō)的初始位置，因?yàn)楫?dāng)直線向下平移時(shí)你會(huì)發(fā)現(xiàn)有兩個(gè)交點(diǎn))，由圖可知，只有向上平移才能滿足f(x)圖象與直線y＝－x＋a只有一個(gè)交點(diǎn)，所以a的取值范圍是(1，＋∞)． 4．(2018·高考全國(guó)卷Ⅲ)設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的左，右焦點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)．過(guò)F2作C的一條漸近線的垂線，垂足為P.若|PF1

4、|＝|OP|，則C的離心率為(　　) A. B．2 C. D. 解析：選C.不妨設(shè)一條漸近線的方程為y＝x，則F2到y(tǒng)＝x的距離d＝＝b，在Rt△F2PO中，|F2O|＝c，所以|PO|＝a，所以|PF1|＝a，又|F1O|＝c，所以在△F1PO與Rt△F2PO中，根據(jù)余弦定理得cos∠POF1＝＝－cos∠POF2＝－，即3a2＋c2－(a)2＝0，得3a2＝c2，所以e＝＝. 5．已知正六棱柱的12個(gè)頂點(diǎn)都在一個(gè)半徑為3的球面上，當(dāng)正棱柱的體積取最大值時(shí)，其高的值為(　　) A．3 B. C．2 D．2 解析：選D.設(shè)正六棱柱的底面邊長(zhǎng)為a，高為h，則可得a2

5、＋＝9，即a2＝9－，那么正六棱柱的體積V＝×h＝h＝， 令y＝－＋9h，則y′＝－＋9， 令y′＝0，解得h＝2，易知當(dāng)h＝2時(shí)，y取最大值，即正六棱柱的體積最大． 6．設(shè)函數(shù)f(x)在R上存在導(dǎo)函數(shù)f′(x)，對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x，都有f(x)＋f(－x)＝2x2，當(dāng)x<0時(shí)，f′(x)＋1<2x，若f(a＋1)≤f(－a)＋2a＋1，則實(shí)數(shù)a的最小值為(　　) A．－ B．－1 C．－ D．－2 解析：選A.設(shè)g(x)＝f(x)－x2，則g(x)＋g(－x)＝0， 所以g(x)為R上的奇函數(shù)． 當(dāng)x<0時(shí)，g′(x)＝f′(x)－2x<－1<0，所以g(x)在(－∞，

6、0)上單調(diào)遞減，所以g(x)在R上單調(diào)遞減． 因?yàn)閒(a＋1)≤f(－a)＋2a＋1， 所以f(a＋1)－(a＋1)2≤f(－a)－(－a)2， 即g(a＋1)≤g(－a)，所以a＋1≥－a， 解得a≥－，所以實(shí)數(shù)a的最小值為－. 二、填空題 7．已知等差數(shù)列{an}滿足3a4＝7a7，a1>0，Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則Sn取得最大值時(shí)n＝________． 解析：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，因?yàn)?a4＝7a7，所以3(a1＋3d)＝7(a1＋6d)，所以4a1＝－33d.因?yàn)閍1>0，所以d<0，Sn＝na1＋d＝n＋d＝＝，所以n＝9時(shí)，Sn取得最大值． 答案：9

7、 8．如圖，設(shè)直線m，n相交于點(diǎn)O，且?jiàn)A角為30°，點(diǎn)P是直線m上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A，B是直線n上的定點(diǎn)．若||＝||＝2，則·的最小值是________． 解析：以O(shè)B所在直線為x軸，過(guò)點(diǎn)O且垂直于AB的直線為y軸，建立如圖的坐標(biāo)系，則A(2，0)，B(4，0)， 設(shè)P，則＝， ＝， 所以·＝(2－a)(4－a)＋a2＝a2－6a＋8＝＋≥，所以·的最小值為. 答案： 9．若不等式≤k(x＋2)－的解集為區(qū)間[a，b]，且b－a＝2，則k＝________． 解析：如圖，分別作出直線y＝k(x＋2)－與半圓y＝. 由題意，知直線在半圓的上方，由b－a＝2，可知b＝3，a＝

8、1，所以直線y＝k(x＋2)－過(guò)點(diǎn)(1，2)，則k＝. 答案： 三、解答題 10．已知正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中，a4＝81，且a2，a3的等差中項(xiàng)為(a1＋a2)． (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)若bn＝log3a2n－1，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列{cn}滿足cn＝，Tn為數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和，求Tn. 解：(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q(q>0)，由題意，得解得所以an＝a1qn－1＝3n， (2)由(1)得bn＝log332n－1＝2n－1，又bn＋1－bn＝2， 所以數(shù)列{bn}是首項(xiàng)b1＝1、公差為2的等差數(shù)列，所以其前n項(xiàng)和Sn＝＝＝n2.

9、所以cn＝＝＝， 所以Tn＝ ＝＝. 11．已知函數(shù)f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R，a∈R. (1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值； (2)求證：當(dāng)a>ln 2－1且x>0時(shí)，ex>x2－2ax＋1. 解：(1)由f(x)＝ex－2x＋2a，知f′(x)＝ex－2. 令f′(x)＝0，得x＝ln 2. 令xln 2時(shí)，f′(x)>0，故函數(shù)f(x)在區(qū)間(ln 2，＋∞)上單調(diào)遞增． 所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，ln 2)，單調(diào)遞增區(qū)間是(ln 2，＋∞)，f(x)在x＝ln 2

10、處取得極小值f(ln 2)＝eln 2－2ln 2＋2a＝2－2ln 2＋2a. (2)證明：設(shè)g(x)＝ex－x2＋2ax－1(x≥0)， 則g′(x)＝ex－2x＋2a， 由(1)知g′(x)min＝g′(ln 2)＝2－2ln 2＋2a. 又a>ln 2－1，則g′(x)min>0. 于是對(duì)?x∈R，都有g(shù)′(x)>0，所以g(x)在R上單調(diào)遞增． 于是對(duì)?x>0，都有g(shù)(x)>g(0)＝0. 即ex－x2＋2ax－1>0，故ex>x2－2ax＋1. 12．已知橢圓C的離心率為，過(guò)上頂點(diǎn)(0，1)和左焦點(diǎn)的直線的傾斜角為，直線l過(guò)點(diǎn)E(－1，0)且與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)．

11、 (1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)△AOB的面積是否有最大值？若有，求出此最大值；若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由． 解：(1)因?yàn)閑＝＝，＝，b＝1，所以a＝2， 故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋y2＝1. (2)因?yàn)橹本€l過(guò)點(diǎn)E(－1，0)， 所以可設(shè)直線l的方程為x＝my－1或y＝0(舍去)． 聯(lián)立消去x并整理， 得(m2＋4)y2－2my－3＝0， Δ＝(－2m)2＋12(m2＋4)>0. 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，其中y1>y2， 則y1＋y2＝，y1y2＝， 所以|y2－y1|＝， 所以S△AOB＝|OE||y2－y1|＝ ＝. 設(shè)t＝，則g(t)＝t＋，t≥， 所以g′(t)＝1－>0， 所以g(t)在區(qū)間[，＋∞)上為增函數(shù)， 所以g(t)≥，所以S△AOB≤，當(dāng)且僅當(dāng)m＝0時(shí)等號(hào)成立． 所以△AOB的面積存在最大值，最大值為. - 6 -