《數(shù)學 第三章 空間向量與立體幾何 3.1.3 空間向量基本定理 3.1.4 空間向量的坐標表示 蘇教版選修2-1》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《數(shù)學 第三章 空間向量與立體幾何 3.1.3 空間向量基本定理 3.1.4 空間向量的坐標表示 蘇教版選修2-1（45頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、3.1.3空間向量基本定理3.1.4空間向量的坐標表示學習目標1.理解空間向量基本定理，并能用基本定理解決一些幾何問題.2.理解正交基底、基向量及向量的線性組合的概念.3.掌握空間向量的坐標表示，能在適當?shù)淖鴺讼抵袑懗鱿蛄康淖鴺?題型探究問題導學內(nèi)容索引當堂訓練問題導學知識點一空間向量基本定理思考1平面向量基本定理的內(nèi)容是什么？如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對實數(shù)1，2，使a1e12e2，其中，不共線的e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.答案只有兩兩垂直的三個向量才能作為空間向量的一組基底嗎？不一定，只需三個向量不共面，就可作

2、為空間向量的一組基底，不需要兩兩垂直.答案思考2梳理梳理空間向量基本定理(1)定理內(nèi)容：條件：三個向量e1，e2，e3 .結(jié)論：對空間中任一向量p，存在惟一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使 .不共面pxe1ye2ze3(2)基底：定義在空間向量基本定理中，e1，e2，e3是空間 的三個向量，則把e1，e2，e3稱為空間的一個 ，叫做基向量正交基底與單位正交基底如果空間一個基底的三個基向量是兩兩互相 ，那么這個基底叫做正交基底.特別地，當一個正交基底的三個基向量都是 時，稱這個基底為單位正交基底，通常用 表示不共面基底e1，e2，e3垂直單位向量i，j，k(3)推論：條件：O，A，B，C是 的四點

3、.結(jié)論：對空間中任意一點P，都存在惟一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使得 .不共面知識點二空間向量的坐標表示思考1對于空間任意兩個向量a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2)，若a與b共線，則一定有 嗎？不一定.當b中的x2，y2，z2中存在0時，式子 無意義，故此種說法錯誤.答案思考2若向量 (x1，y1，z1)，則點B的坐標一定為(x1，y1，z1)嗎？不一定.由向量的坐標表示知，若向量 的起點A與原點重合，則B點的坐標為(x1，y1，z1)，若向量 的起點A不與原點重合，則B點的坐標就不為(x1，y1，z1).答案梳理梳理(1)空間向量的坐標表示向量a的坐標：在空間直角坐標系Oxyz

4、中，分別取與x軸、y軸、z軸方向相同的 向量i，j，k作為基向量，對于空間任意一個向量a，根據(jù)空間向量基本定理，存在 的有序?qū)崝?shù)組 ，使 ，有序?qū)崝?shù)組 叫做向量a在空間直角坐標系Oxyz中的坐標，記作 .單位惟一(x，y，z)(x，y，z)axiyjzka(x，y，z)(2)空間中有向線段的坐標表示設A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，坐標表示：.語言敘述：空間向量的坐標等于表示這個向量的有向線段的_ .(x2x1，y2y1，z2z1)終點坐標減去它的起點坐標(3)空間向量的加減法和數(shù)乘的坐標表示設a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，試根據(jù)下面的提示填空.運算表示方法加

5、法ab_減法ab_數(shù)乘a_(R)(4)空間向量平行的坐標表示若a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，且a0，則abb1a1，b2a2，b3a3(R).(a1b1，a2b2，a3b3)(a1b1，a2b2，a3b3)(a1，a2，a3)題型探究類型一空間向量基本定理及應用命題角度命題角度1空間基底的概念空間基底的概念解答由向量共面的充要條件知存在實數(shù)x，y，基底判斷的基本思路及方法(1)基本思路：判斷三個空間向量是否共面，若共面，則不能構(gòu)成基底；若不共面，則能構(gòu)成基底.(2)方法：如果向量中存在零向量，則不能作為基底；如果存在一個向量可以用另外的向量線性表示，則不能構(gòu)成基底.假設abc

6、，運用空間向量基本定理，建立，的方程組，若有解，則共面，不能作為基底；若無解，則不共面，能作為基底.反思與感悟跟蹤訓練跟蹤訓練1以下四個命題中正確的是_.空間的任何一個向量都可用三個給定向量表示；若a，b，c為空間的一個基底，則a，b，c全不是零向量；如果向量a，b與任何向量都不能構(gòu)成空間的一個基底，則一定有a與b共線；任何三個不共線的向量都可構(gòu)成空間的一個基底.答案解析因為空間中的任何一個向量都可用其他三個不共面的向量來表示，故不正確；正確；由空間向量基本定理可知只有不共線的兩向量才可以與另外一個向量構(gòu)成基底，故正確；空間向量基底是由三個不共面的向量組成的，故不正確.命題角度命題角度2空間向

7、量基本定理的應用空間向量基本定理的應用解答引申探究引申探究若將本例中的“G是ABC的重心”改為“G是AD的中點”，其他條件不變，應如何表示解答用空間向量基本定理時，選擇合適的基底是解題的關鍵.反思與感悟解答連結(jié)AC，AD.解答解答解答類型二空間向量的坐標表示解答例例3棱長為1的正方體ABCDABCD中，E、F、G分別為棱DD、DC、BC的中點，以 為基底，求下列向量的坐標.解答引申探究引申探究解答反思與感悟用坐標表示空間向量的步驟答案解析OM2MA，點M在OA上，類型三空間向量的坐標運算及應用例例4已知空間三點A(2,0,2)，B(1,1,2)，C(3,0,4).解答假設存在x，yR滿足條件，

8、由已知可得 (2，1,2).由題意得(1,0,2)x(1,1,0)y(2，1,2)，所以(1,0,2)(x2y，xy,2y)，所以存在實數(shù)x1，y1使得結(jié)論成立.解答反思與感悟向量的坐標可由其兩個端點的坐標確定，即向量的坐標等于其終點的坐標減去始點的坐標.特別地，當向量的起點為坐標原點時，向量的坐標即是終點的坐標.進行空間向量的加減、數(shù)乘的坐標運算的關鍵是運用好其運算性質(zhì).ba(t1,2t1,0)，跟蹤訓練跟蹤訓練4已知a(1t,1t，t)，b(2，t，t)，求|ba|的最小值.解答當堂訓練正確.作為基底的向量必須不共面；正確；不正確.a，b不共線，當cab時，a、b、c共面，故只有正確.1.

9、有下列三個命題三個非零向量a、b、c不能構(gòu)成空間的一個基底，則a、b、c共面；不兩兩垂直的三個不共面的向量也可以作為空間向量的一組基底；若a、b是兩個不共線的向量，而cab(、R且0)，則a，b，c構(gòu)成空間的一個基底.其中為真命題的是_.答案解析2345123451依題意，得ba(1,2，1)a(1，2,1)2(1，2,1)(2，4,2).2.已知a(1，2,1)，ab(1,2，1)，則b_.答案解析(2，4,2)234514a2b4(3，2,1)2(2,4,0)(12，8,4)(4,8,0)(8,0,4).3.已知向量a(3，2,1)，b(2,4,0)，則4a2b_.答案解析(8,0,4)23451根據(jù)已建立的空間直角坐標系知A(0,0,0)，C1(2，2,1)，D1(0,2,1)，則 的坐標為(0,2,1)，的坐標為(2,2,1).4.如圖所示，在長方體ABCDA1B1C1D1中建立空間直角坐標系.已知ABAD2，BB11，則 的坐標為_，的坐標為_.答案解析(0,2,1)(2,2,1)23451答案解析規(guī)律與方法用基底表示空間向量，一般要用向量的加法、減法、數(shù)乘的運算法則，及加法的平行四邊形法則，加法、減法的三角形法則，逐步向基向量過渡，直到全部用基向量表示.本課結(jié)束