《高三數(shù)學(xué)第一篇一 集合、常用邏輯用語、平面向量、不等式、復(fù)數(shù)、算法、推理與證明刺 第2講 平面向量與復(fù)數(shù) 文》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高三數(shù)學(xué)第一篇一 集合、常用邏輯用語、平面向量、不等式、復(fù)數(shù)、算法、推理與證明刺 第2講 平面向量與復(fù)數(shù) 文（35頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第第2 2講講 平面向量與復(fù)數(shù)平面向量與復(fù)數(shù)考情分析考情分析總綱目錄考點(diǎn)一 復(fù)數(shù)考點(diǎn)二 平面向量的線性運(yùn)算考點(diǎn)三 平面向量的數(shù)量積（高頻考點(diǎn)）考點(diǎn)四 平面向量的創(chuàng)新交匯問題考點(diǎn)一 復(fù)數(shù)1.復(fù)數(shù)的除法復(fù)數(shù)的除法一般是將分母實(shí)數(shù)化,即分子、分母同乘分母的共軛復(fù)數(shù),再進(jìn)一步化簡.2.復(fù)數(shù)運(yùn)算中常用的結(jié)論(1)(1i)2=2i,=i,=-i.(2)-b+ai=i(a+bi)(a,bR).(3)i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i(nN*).(4)i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0(nN*).1i1i1i1i典型例題典型例題(1)(2017課標(biāo)全國,3,5分)下列各

2、式的運(yùn)算結(jié)果為純虛數(shù)的是()A.i(1+i)2 B.i2(1-i)C.(1+i)2 D.i(1+i)(2)(2017課標(biāo)全國理,1,5分)=()A.1+2iB.1-2iC.2+iD.2-i(3)(2017課標(biāo)全國,2,5分)復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)z=i(-2+i)的點(diǎn)位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限3i1 i答案答案(1)C(2)D(3)C解析解析(1)A.i(1+i)2=i2i=-2;B.i2(1-i)=-(1-i)=-1+i;C.(1+i)2=2i;D.i(1+i)=-1+i,故選C.(2)=2-i.故選D.(3)z=i(-2+i)=-2i+i2=-2i-1=-1-2

3、i,所以復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為(-1,-2),位于第三象限.故選C.3i1 i(3i)(1 i)(1 i)(1 i)42i2方法歸納方法歸納1.與復(fù)數(shù)的相關(guān)概念和復(fù)數(shù)的幾何意義有關(guān)的問題的解題思路:(1)變形分離出實(shí)部和虛部,把復(fù)數(shù)的非代數(shù)形式化為代數(shù)形式.(2)根據(jù)條件,列方程(組)求解.2.與復(fù)數(shù)z的模|z|和共軛復(fù)數(shù)有關(guān)的問題的解題策略:(1)設(shè)出復(fù)數(shù)z的代數(shù)形式z=a+bi(a,bR),代入條件.(2)根據(jù)已知條件解決.跟蹤集訓(xùn)跟蹤集訓(xùn)1.(2017江西五市部分學(xué)校第三次聯(lián)考)已知i為虛數(shù)單位,復(fù)數(shù)z滿足z(2+i)=,則z=()A.-1-3iB.-1+3iC.1+3iD.1-3i

4、101i答案答案 D因?yàn)閦(2+i)=,所以z=1-3i.101i10(1 i)(2i)2.(2017山西八校第一次聯(lián)考)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足(1+i)z=2i,則|z|=()A.B.C.D.212222答案答案 C(1+i)z=2i,z=1+i.|z|=.2i1i2i(1 i)(1 i)(1 i)2(1 i)2221123.(2017江西南昌十校第二次模擬)已知復(fù)數(shù)z滿足z+=2(i為虛數(shù)單位),其中是z的共軛復(fù)數(shù),|z|=,則復(fù)數(shù)z的虛部為()A.1 B.iC.iD.1zz2答案答案 D設(shè)z=a+bi(a,bR),則=a-bi,由z+=2可得2a=2,解得a=1,所以z=1+bi,由|z|=,解得

5、b=1,選D.zz21b 2考點(diǎn)二 平面向量的線性運(yùn)算(1)在用三角形加法法則時(shí)要保證“首尾相接”,結(jié)果向量是第一個(gè)向量的起點(diǎn)指向最后一個(gè)向量的終點(diǎn);在用三角形減法法則時(shí)要保證“同起點(diǎn)”,結(jié)果向量的方向是指向被減向量.(2)證明三點(diǎn)共線問題,可用向量共線來解決,但應(yīng)注意向量共線與三點(diǎn)共線的區(qū)別與聯(lián)系,當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時(shí),才能得出三點(diǎn)共線.(3)=+(,為實(shí)數(shù)),若A,B,C三點(diǎn)共線,則+=1.OAOBOC典型例題典型例題(1)(2017山東曲阜模擬)已知向量a=(2,4),b=(-1,1),c=(2,3),若a+b與c共線,則實(shí)數(shù)=()A.B.-C.D.-(2)(2017河南中原名校3月

6、聯(lián)考)如圖,在直角梯形ABCD中,AB=2AD=2DC,E為BC邊上一點(diǎn),=3,F為AE的中點(diǎn),則=()A.-B.-25253535BCECBF23AB13AD13AB23ADC.-+D.-+23AB13AD13AB23AD答案答案(1)B(2)C解析解析(1)解法一:a+b=(2-,4+).因?yàn)閍+b與c共線,所以必定存在唯一實(shí)數(shù),使得a+b=c,所以解得解法二:a+b=(2-,4+),由a+b與c共線可知3(2-)=2(4+),解得=-.(2)解法一:如圖,取AB的中點(diǎn)G,連接DG,CG,則易知四邊形DCBG為平行四邊形,所以=-=-,=+=+=+=+,于是=-=-=-=-+,故選C.22

7、,43,6,52.5 25BCGDADAGAD12ABAEABBEAB23BCAB2312ADAB23AB23ADBFAFAB12AEAB122233ABADAB23AB13AD解法二:=+=+=-+=-+=-+(+)=-+.BFBAAFBA12AEAB1212ADAB CEAB121123ADABCBAB12AD14AB16CDDAAB23AB13AD方法歸納方法歸納向量線性運(yùn)算問題的求解方法(1)進(jìn)行向量的線性運(yùn)算時(shí),要盡可能地將向量轉(zhuǎn)化到同一個(gè)平行四邊形或三角形中,選用從同一頂點(diǎn)出發(fā)的基本向量或首尾相接的向量,運(yùn)用向量加、減法運(yùn)算及數(shù)乘運(yùn)算來求解.(2)除了充分利用相等向量、相反向量和線

8、段的比例關(guān)系外,有時(shí)還需要利用三角形中位線、相似三角形對應(yīng)邊成比例等平面幾何的知識(shí)把未知向量轉(zhuǎn)化為與已知向量有直接關(guān)系的向量來求解.跟蹤集訓(xùn)跟蹤集訓(xùn)1.設(shè)D為ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn),=3,則()A.=-+B.=-C.=+D.=-BCCDAD13AB43ACAD13AB43ACAD43AB13ACAD43AB13AC答案答案 A =+=+=+(-)=-.故選A.ADACCDAC13BCAC13ACAB43AC13AB2.在ABC中,點(diǎn)O在線段BC的延長線上,且|=3|,當(dāng)=x+y時(shí),則x-y=.BOCOAOABAC答案答案-2解析解析=+=+=+(-)=-+,x=-,y=,則x-y=-2.AOAB

9、BOAB32BCAB32ACAB12AB32AC1232考點(diǎn)三 平面向量的數(shù)量積(高頻考點(diǎn))命題點(diǎn)1.平面向量數(shù)量積的計(jì)算.2.求向量的夾角及模.3.由條件求參數(shù)的值或范圍.1.數(shù)量積的定義:ab=|a|b|cos.(為向量a,b的夾角)2.兩個(gè)非零向量垂直的充要條件若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則abab=0 x1x2+y1y2=0.3.平面向量的三個(gè)性質(zhì)(1)若a=(x,y),則|a|=.(2)若A(x1,y1),B(x2,y2),則|=.(3)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),為a與b的夾角,則cos=.a a22xyAB222121()()xxyy|a ba b12

10、1222221122x xy yxyxy典型例題典型例題(1)(2017課標(biāo)全國,13,5分)已知向量a=(-1,2),b=(m,1).若向量a+b與a垂直,則m=.(2)(2017課標(biāo)全國理改編,12,5分)已知ABC是邊長為2的等邊三角形,P為平面ABC內(nèi)一點(diǎn),則(+)的最小值是 .答案答案(1)7(2)-解析解析(1)a=(-1,2),b=(m,1),a+b=(m-1,3),又(a+b)a,(a+b)a=-(m-1)+6=0,解得m=7.PAPBPC32(2)設(shè)BC的中點(diǎn)為D,AD的中點(diǎn)為E,則有+=2,則(+)=2=2(+)(-)=2(-).而=,當(dāng)P與E重合時(shí),有最小值0,此時(shí)(+)

11、取最小值,最小值為-2 =-2=-.PBPCPDPAPBPCPAPDPEEAPEEA2PE2EA2AE232342PEPAPBPC2EA3432方法歸納方法歸納求解向量數(shù)量積最值問題的兩種思路(1)直接利用數(shù)量積公式得出代數(shù)式,依據(jù)代數(shù)式求最值.(2)建立平面直角坐標(biāo)系,通過坐標(biāo)運(yùn)算得出函數(shù)式,轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值.跟蹤集訓(xùn)跟蹤集訓(xùn)1.(2017課標(biāo)全國理,13,5分)已知向量a,b的夾角為60,|a|=2,|b|=1,則|a+2b|=.答案答案2 3解析解析由題意知ab=|a|b|cos 60=21=1,則|a+2b|2=(a+2b)2=|a|2+4|b|2+4ab=4+4+4=12.所以|a

12、+2b|=2.1232.(2017山東理,12,5分)已知e1,e2是互相垂直的單位向量.若e1-e2與e1+e2的夾角為60,則實(shí)數(shù)的值是 .3答案答案 33解析解析由題意不妨設(shè)e1=(1,0),e2=(0,1),則e1-e2=(,-1),e1+e2=(1,).根據(jù)向量的夾角公式得cos 60=,所以-=,解得=.332(3,1)(1,)2 1232 11232133考點(diǎn)四 平面向量的創(chuàng)新交匯問題平面向量常與三角函數(shù)、解三角形、平面解析幾何、函數(shù)、不等式等知識(shí)交匯命題.典型例題典型例題(2017課標(biāo)全國理,12,5分)在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,動(dòng)點(diǎn)P在以點(diǎn)C為圓心且與BD相切的圓

13、上.若=+,則+的最大值為()A.3 B.2 C.D.2APABAD25解析解析分別以CB、CD所在的直線為x軸、y軸建立直角坐標(biāo)系,則A(2,1),B(2,0),D(0,1).點(diǎn)P在以C為圓心且與BD相切的圓上,可設(shè)P.則=(0,-1),=(-2,0),=.又=+,=-sin+1,=-cos+1,+=2-sin-cos=2-sin(+),其中tan=,(+)max=3.22cos,sin55ABADAP22cos2,sin155APABAD2515251512答案答案 A 方法歸納方法歸納建立直角坐標(biāo)系,把點(diǎn)的坐標(biāo)表示出來,則向量的坐標(biāo)就可以求出來,從而平面向量的四大常見問題:平行、垂直、夾

14、角、模都可以套相應(yīng)的公式解決.跟蹤集訓(xùn)跟蹤集訓(xùn)(2017北京,12,5分)已知點(diǎn)P在圓x2+y2=1上,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-2,0),O為原點(diǎn),則的最大值為 .AOAP解析解析解法一:表示在方向上的投影與|的乘積,當(dāng)P在B點(diǎn)時(shí),有最大值,此時(shí)=23=6.解法二:設(shè)P(x,y),則=(2,0)(x+2,y)=2x+4,由題意知-1x1,x=1時(shí),取最大值6,的最大值為6.AOAPAPAOAOAOAPAOAPAOAPAOAPAOAP答案答案61.(2017課標(biāo)全國,2,5分)(1+i)(2+i)=()A.1-iB.1+3iC.3+iD.3+3i隨堂檢測隨堂檢測答案答案 B(1+i)(2+i)=2+i+

15、2i+i2=1+3i.故選B.2.(2017湖北武漢四月調(diào)研)設(shè)a是非零向量,是非零實(shí)數(shù),則下列結(jié)論正確的是()A.a與-a的方向相反B.|-a|a|C.a與2a的方向相同D.|-a|a答案答案 C A選項(xiàng),由于無法判斷的正負(fù),故無法判斷a與-a的方向的關(guān)系,故A錯(cuò);B選項(xiàng),由于無法判斷的大小,故無法判斷|a|與|-a|的大小,故B錯(cuò);C選項(xiàng),20,故a與2a同向,故C正確;D選項(xiàng),|a|表示向量的長度,而|a表示的是向量,兩者無法比較大小,故D錯(cuò).3.(2017課標(biāo)全國,4,5分)設(shè)非零向量a,b滿足|a+b|=|a-b|,則()A.abB.|a|=|b|C.abD.|a|b|答案答案 A由題意知,以向量a、b為鄰邊的平行四邊形為矩形,所以ab.故選A.4.若復(fù)數(shù)z滿足(1+2i)z=1-i,則|z|=.答案答案 105解析解析 z=|z|=.1i12i1 3i5 1055.(2017安徽百所重點(diǎn)高中第二次模擬)已知正方形ABCD的中心為O,且邊長為1,則(-)(+)=.ODOABABC答案答案1解析解析(-)(+)=|cos=1=1.ODOABABCADBDADBD4222