《（京津魯瓊專用）2020版高考數(shù)學二輪復習 第二部分 專題七 數(shù)學文化及數(shù)學思想 第1講 數(shù)學文化練習（含解析）》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（京津魯瓊專用）2020版高考數(shù)學二輪復習 第二部分 專題七 數(shù)學文化及數(shù)學思想 第1講 數(shù)學文化練習（含解析）（15頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第1講　數(shù)學文化 函數(shù)中的數(shù)學文化題 [典型例題] 在《九章算術(shù)》中，將四個面都是直角三角形的四面體稱為鱉臑，如圖所示，鱉臑ABCD中，AB⊥平面BCD，且BD⊥CD，AB＝BD＝CD，點P在棱AC上運動，設(shè)CP的長度為x，若△PBD的面積為f(x)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象大致是(　　) 【解析】　如圖，作PQ⊥BC于Q，作QR⊥BD于R，連接PR，則PQ∥AB，QR∥CD.　 因為PQ⊥BD，又PQ∩QR＝Q，所以BD⊥平面PQR，所以BD⊥PR，即PR為△PBD中BD邊上的高． 設(shè)AB＝BD＝CD＝1，則＝＝，即PQ＝， 又＝＝＝，所以QR＝， 所以

2、PR＝＝＝，所以f(x)＝＝，故選A. 【答案】　A 中華太極圖，悠悠千古昭著于世，像朝日那樣輝煌宏麗，又像明月那樣清亮壯美．它是我們?nèi)A夏先祖的智慧結(jié)晶，它是中國傳統(tǒng)文化的驕傲象征，它更是中華民族獻給人類文明的無價之寶．試題通過太極圖展示了數(shù)學文化的民族性與世界性．　 [對點訓練] (2019·福建泉州兩校聯(lián)考)我國古代數(shù)學著作《九章算術(shù)》中有如下問題：“今有人持金出五關(guān)，前關(guān)二而稅一，次關(guān)三而稅一，次關(guān)四而稅一，次關(guān)五而稅一，次關(guān)六而稅一，并五關(guān)所稅，適重一斤．”其意思為：“今有人持金出五關(guān)，第1關(guān)所收稅金為持金的，第2關(guān)所收稅金為剩余持金的，第3關(guān)所收稅金為剩余持金的，第

3、4關(guān)所收稅金為剩余持金的，第5關(guān)所收稅金為剩余持金的，5關(guān)所收稅金之和恰好重1斤．”則在此問題中，第5關(guān)所收稅金為(　　) A．斤　　　　　　 B．斤 C．斤 D．斤 解析：選C.設(shè)此人持金x斤，根據(jù)題意知第1關(guān)所收稅金為斤；第2關(guān)所收稅金為斤；第3關(guān)所收稅金為斤；第4關(guān)所收稅金為斤；第5關(guān)所收稅金為斤．易知＋＋＋＋＝1，解得x＝.則第5關(guān)所收稅金為斤．故選C. 數(shù)列中的數(shù)學文化題 [典型例題] (2019·河北辛集中學期中)中國古代數(shù)學著作《張丘建算經(jīng)》中記載：“今有馬行轉(zhuǎn)遲，次日減半，疾七日，行七百里．”其意思是：“現(xiàn)有一匹馬行走的速度逐漸變慢，每天走的里數(shù)是前一天的一半

4、，連續(xù)行走7天，共走了700里．”若該匹馬按此規(guī)律繼續(xù)行走7天，則它這14天內(nèi)所走的總路程為(　　) A．里　　　　　　　 B．1 050里 C．里 D．2 100里 【解析】　由題意可知，馬每天行走的路程組成一個等比數(shù)列，設(shè)該數(shù)列為{an}，則該匹馬首日行走的路程為a1，公比為，則有＝700，則a1＝，則＝(里)．故選C. 【答案】　C (1)數(shù)列中的數(shù)學文化題一般以我國古代數(shù)學名著中的等差數(shù)列和等比數(shù)列問題為背景，考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的概念、通項公式和前n項和公式． (2)解決這類問題的關(guān)鍵是將古代實際問題轉(zhuǎn)化為現(xiàn)代數(shù)學問題，掌握等比(差)數(shù)列的概念、通項公式和前

5、n項和公式．　 [對點訓練] (一題多解)《九章算術(shù)》中有一題：今有牛、馬、羊食人苗．苗主責之粟五斗．羊主曰：“我羊食半馬．”馬主曰：“我馬食半牛．”今欲衰償之，問各出幾何．其意思是：今有牛、馬、羊吃了別人的禾苗，禾苗主人要求賠償五斗粟．羊主人說：“我羊所吃的禾苗只有馬的一半．”馬主人說：“我馬所吃的禾苗只有牛的一半．”若按此比例償還，牛、馬、羊的主人各應賠償多少粟？在這個問題中，牛主人比羊主人多賠償(　　) A．斗粟 B．斗粟 C．斗粟 D．斗粟 解：選C.法一：設(shè)羊、馬、牛主人賠償?shù)乃诘亩窋?shù)分別為a1，a2，a3，則這3個數(shù)依次成等比數(shù)列，公比q＝2，所以a1＋2a1＋4a1＝

6、5，解得a1＝，故a3＝，a3－a1＝－＝，故選C. 法二：羊、馬、牛主人賠償?shù)谋壤?∶2∶4，故牛主人應賠償5×＝(斗)，羊主人應賠償5×＝(斗)，故牛主人比羊主人多賠償了－＝(斗)，故選C. 三角函數(shù)中的數(shù)學文化題 [典型例題] 《數(shù)書九章》中給出了“已知三角形三邊長求三角形面積的求法”，填補了我國傳統(tǒng)數(shù)學的一個空白，與著名的海倫公式完全等價，由此可以看出我國古代人具有很高的數(shù)學水平，其求法是“以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上；以小斜冪乘大斜冪，減上，余四約之，為實；一為從隅，開平方得積”．若把這段文字寫成公式，即S＝，現(xiàn)有周長為2＋的△ABC滿足sin A∶si

7、n B∶sin C＝(－1)∶∶(＋1)，用上面給出的公式求得△ABC的面積為(　　) A．　　　　　　　　　　 B． C． D． 【解析】　由正弦定理得sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c＝(－1)∶∶(＋1)，可設(shè)三角形的三邊分別為a＝(－1)x，b＝x，c＝(＋1)x，由題意得(－1)x＋x＋(＋1)x＝(2＋)x＝2＋，則x＝1，故由三角形的面積公式可得△ABC的面積S＝＝，故選B. 【答案】　B 我國南宋數(shù)學家秦九韶發(fā)現(xiàn)的“三斜求積術(shù)”雖然與海倫公式(S＝，其中p＝(a＋b＋c))在形式上不一樣，但兩者完全等價，它填補了我國傳統(tǒng)數(shù)學的一項空白，從中可以看出

8、我國古代已經(jīng)具有很高的數(shù)學水平．　 [對點訓練] 　(2019·濟南市學習質(zhì)量評估)我國《物權(quán)法》規(guī)定：建造建筑物，不得違反國家有關(guān)工程建設(shè)標準，妨礙相鄰建筑物的通風、采光和日照．已知某小區(qū)的住宅樓的底部均在同一水平面上，且樓高均為45 m，依據(jù)規(guī)定，該小區(qū)內(nèi)住宅樓樓間距應不小于52 m．若該小區(qū)內(nèi)某居民在距離樓底27 m高處的某陽臺觀測點，測得該小區(qū)內(nèi)正對面住宅樓樓頂?shù)难鼋桥c樓底的俯角之和為45°，則該小區(qū)的住宅樓樓間距實際為________m. 解析：設(shè)兩住宅樓樓間距實際為x m．如圖， 根據(jù)題意可得，tan∠DCA＝，tan∠DCB＝＝，又∠DCA＋∠DCB＝45°，所以t

9、an(∠DCA＋∠DCB)＝＝1，整理得x2－45x－27×18＝0，解得x＝54或x＝－9(舍去)．所以該小區(qū)住宅樓樓間距實際為54 m. 答案：54 立體幾何中的數(shù)學文化題 [典型例題] 《九章算術(shù)》中對一些特殊的幾何體有特定的稱謂，例如，將底面為直角三角形的直三棱柱稱為塹堵．將一塹堵沿其一頂點與相對的棱所在平面切開，得到一個陽馬(底面是長方形，且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐)和一個鱉臑(四個面均為直角三角形的四面體)．在如圖所示的塹堵ABC-A1B1C1中，AA1＝AC＝5，AB＝3，BC＝4，則陽馬C1-ABB1A1的外接球的表面積是(　　) A．25π　　　　　　

10、　 B．50π C．100π D．200π 【解析】　由題意得陽馬C1-ABB1A1的外接球即為塹堵ABC-A1B1C1的外接球，球心在正方形ACC1A1的中心，所以外接球的半徑R＝，表面積為4πR2＝50π.故選B. 【答案】　B 立體幾何中的數(shù)學文化題一般以我國古代發(fā)現(xiàn)的球的體積公式、圓柱的體積公式、圓錐的體積公式、圓臺的體積公式和“牟合方蓋”“陽馬”“鱉臑”“塹堵”“芻薨”等中國古代幾何名詞為背景考查空間幾何體的體積與表面積等．　 [對點訓練] 《九章算術(shù)》中有這樣一個問題：“今有圓堢壔，周四丈八尺，高一丈一尺．問積幾何？術(shù)曰：周自相乘，以高乘之，十二而一．”這里所

11、說的圓堢壔就是圓柱體，它的體積為“周自相乘，以高乘之，十二而一”，意思是圓柱體的體積為V＝×底面圓的周長的平方×高，由此可推得圓周率π的取值為(　　) A．3 B．3.1 C．3.14 D．3.2 解析：選A.設(shè)圓柱體的底面半徑為r，高為h，由圓柱的體積公式得體積為V＝πr2h.由題意知V＝×(2πr)2×h，所以πr2h＝×(2πr)2×h，解得π＝3.故選A. 概率中的數(shù)學文化題 [典型例題] (1)齊王與田忌賽馬，田忌的上等馬優(yōu)于齊王的中等馬，劣于齊王的上等馬，田忌的中等馬優(yōu)于齊王的下等馬，劣于齊王的中等馬，田忌的下等馬劣于齊王的下等馬，現(xiàn)從雙方的馬匹中隨機選一匹馬進行

12、一場比賽，田忌獲勝的概率是(　　) A．　　　　　　　　　 B． C． D． (2)太極圖是以黑白兩個魚形紋組成的圖案，它形象化地表達了陰陽輪轉(zhuǎn)、相反相成是萬物生成變化根源的哲理，展現(xiàn)了一種相互轉(zhuǎn)化，相對統(tǒng)一的形式美．按照太極圖的構(gòu)圖方法，在平面直角坐標系中，圓O被函數(shù)y＝3sin x的圖象分割為兩個對稱的魚形圖案，如圖所示，其中小圓的半徑均為1，現(xiàn)從大圓內(nèi)隨機取一點，則此點取自陰影部分的概率為(　　) A． B． C． D． 【解析】　(1)從雙方的馬匹中隨機選一匹馬進行一場比賽，對陣情況如下表： 齊王的馬 上 上 上 中 中 中 下 下 下 田忌的馬

13、 上 中 下 上 中 下 上 中 下 雙方馬的對陣中，有3種對抗情況田忌能贏，所以田忌獲勝的概率P＝＝.故選A. (2)函數(shù)y＝3sin x的圖象與x軸相交于點(6，0)和點(－6，0)，則大圓的半徑為6，面積為36π，而小圓的半徑為1，兩個小圓的面積和為2π，所以所求的概率是＝.故選B. 【答案】　(1)A　(2)B (1)本例(1)選取田忌賽馬這一為人熟知的故事作為背景，考查了古典概型，趣味性很強，利于緩解考生在考場的緊張心理，體現(xiàn)了對考生的人文關(guān)懷．　 (2)本例(2)以中國優(yōu)秀傳統(tǒng)文化太極圖為背景，考查幾何概型，角度新穎，所給圖形有利于考生分析

14、問題和解決問題，給出了如何將抽象的數(shù)學問題形象化的范例． [對點訓練] 我國數(shù)學家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中做出了重大貢獻．哥德巴赫猜想是“任一大于2的偶數(shù)都可寫成兩個質(zhì)數(shù)的和”，如32＝13＋19.在不超過32的質(zhì)數(shù)中，隨機選取兩個不同的數(shù)，其和等于30的概率是(　　) A． B． C． D． 解析：選C.不超過32的質(zhì)數(shù)有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，共11個，隨機選取兩個不同的數(shù)，共有C＝55種不同的選法，因為7＋23＝11＋19＝13＋17＝30，所以隨機選取兩個不同的數(shù)，其和等于30的有3種選法，所以概率為，故選C. 一、選擇題 1．我

15、國古代數(shù)學著作《九章算術(shù)》中有一衰分問題：今有北鄉(xiāng)八千一百人，西鄉(xiāng)七千四百八十八人，南鄉(xiāng)六千九百一十二人，凡三鄉(xiāng)，發(fā)役三百人，則北鄉(xiāng)遣(　　) A．104人　　　　　　　 B．108人 C．112人 D．120人 解析：選B.由題設(shè)可知這是一個分層抽樣的問題，其中北鄉(xiāng)可抽取的人數(shù)為300×＝300×＝108.故選B. 2．“干支紀年法”是中國自古以來就一直使用的紀年方法．干支是天干和地支的總稱．天干、地支互相配合，配成六十組為一周，周而復始，依次循環(huán)．甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸十個符號為天干；子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥為地支．如：公元1984年為農(nóng)歷甲子

16、年、公元1985年為農(nóng)歷乙丑年，公元1986年為農(nóng)歷丙寅年．則2049年為農(nóng)歷(　　) A．己亥年 B．己巳年 C．己卯年 D．戊辰年 解析：選B.法一：由公元1984年為農(nóng)歷甲子年、公元1985年為農(nóng)歷乙丑年，公元1986年為農(nóng)歷丙寅年，可知以公元紀年的尾數(shù)在天干中找出對應該尾數(shù)的天干，再將公元紀年除以12，用除不盡的余數(shù)在地支中查出對應該余數(shù)的地支，這樣就得到了公元紀年的干支紀年.2049年對應的天干為“己”，因其除以12的余數(shù)為9，所以2049年對應的地支為“巳”，故2049年為農(nóng)歷己巳年．故選B. 法二：易知(年份－3)除以10所得的余數(shù)對應天干，則2 049－3＝2 046，

17、2 046除以10所得的余數(shù)是6，即對應的天干為“己”． (年份－3)除以12所得的余數(shù)對應地支，則2 049－3＝2 046，2 046除以12所得的余數(shù)是6，即對應的地支為“巳”，所以2049年為農(nóng)歷己巳年．故選B. 3．(2019·山東淄博模擬)我國古代數(shù)學著作《九章算術(shù)》有如下問題：“今有金箠，長五尺，斬本一尺，重四斤，斬末一尺，重二斤，問次一尺各重幾何？”意思是：“現(xiàn)有一根金箠，長5尺，一頭粗，一頭細，在粗的一端截下1尺，重4斤，在細的一端截下1尺，重2斤，問依次每一尺各重多少斤？”設(shè)該金箠由粗到細是均勻變化的，其重量為M，現(xiàn)將該金箠截成長度相等的10段，記第i段的重量為ai(i

18、＝1，2，…，10)，且a1

19、，問五人各得多少錢？(“錢”是古代的一種重量單位)在這個問題中，丙所得為(　　) A．錢 B．錢 C．錢 D．1錢 解析：選D.因為甲、乙、丙、丁、戊每人所得依次成等差數(shù)列，設(shè)每人所得依次為a－2d、a－d、a、a＋d、a＋2d，則a－2d＋a－d＋a＋a＋d＋a＋2d＝5，解得a＝1，即丙所得為1錢，故選D. 5．《數(shù)術(shù)記遺》相傳是漢末徐岳(約公元2世紀)所著，該書主要記述了：積算(即籌算)、太乙算、兩儀算、三才算、五行算、八卦算、九宮算、運籌算、了知算、成數(shù)算、把頭算、龜算、珠算、計數(shù)共14種計算方法．某研究性學習小組3人分工搜集整理該14種計算方法的相關(guān)資料，其中一人4種，其余兩

20、人每人5種，則不同的分配方法種數(shù)是(　　) A． B． C． D．CCC 解析：選A.先將14種計算方法分為三組，方法有種，再分配給3個人，方法有×A種．故選A. 6．我國古代的天文學和數(shù)學著作《周髀算經(jīng)》中記載：一年有二十四個節(jié)氣，每個節(jié)氣晷(ɡuǐ)長損益相同(晷是按照日影測定時刻的儀器，晷長即為所測量影子的長度)．二十四個節(jié)氣及晷長變化如圖所示，相鄰兩個節(jié)氣晷長的變化量相同，周而復始．若冬至晷長一丈三尺五寸，夏至晷長一尺五寸(一丈等于十尺，一尺等于十寸)，則夏至之后的那個節(jié)氣(小暑)晷長是(　　) A．五寸 B．二尺五寸 C．三尺五寸 D．四尺五寸 解析：選B.設(shè)從夏至

21、到冬至的晷長依次構(gòu)成等差數(shù)列{an}，公差為d，a1＝15，a13＝135，則15＋12d＝135，解得d＝10.所以a2＝15＋10＝25，所以小暑的晷長是25寸．故選B. 7．(2019·江西七校第一次聯(lián)考)意大利著名數(shù)學家斐波那契在研究兔子繁殖問題時，發(fā)現(xiàn)有這樣一列數(shù)：1，1，2，3，5，8，13，…，該數(shù)列的特點是：前兩個數(shù)都是1，從第三個數(shù)起，每一個數(shù)都等于它前面兩個數(shù)的和，人們把這樣的一列數(shù)組成的數(shù)列{an}稱為“斐波那契數(shù)列”，則a2 017·a2 019－a等于(　　) A．1 B．－1 C．2 017 D．－2 017 解析：選A.因為a1a3－a＝1×2－1＝1，a

22、2a4－a＝1×3－22＝－1，a3a5－a＝2×5－32＝1，a4a6－a＝3×8－52＝－1，…，由此可知anan＋2－a＝(－1)n＋1，所以a2 017a2 019－a＝(－1)2 017＋1＝1，故選A. 8．《周易》歷來被人們視作儒家群經(jīng)之首，它表現(xiàn)了古代中華民族對萬事萬物深刻而又樸素的認識，是中華人文文化的基礎(chǔ)，它反映出中國古代的二進制計數(shù)的思想方法．我們用近代術(shù)語解釋為：把陽爻“”當作數(shù)字“1”，把陰爻“”當作數(shù)字“0”，則八卦所代表的數(shù)表示如下： 卦名 符號 表示的二進制數(shù) 表示的十進制數(shù) 坤 000 0 艮 001 1 坎 010 2

23、 巽 011 3 依次類推，則六十四卦中的“屯”卦，符號為“”，其表示的十進制數(shù)是(　　) A．33 B．34 C．36 D．35 解析：選B.由題意類推，可知六十四卦中的“屯”卦的符號“”表示的二進制數(shù)為100010，轉(zhuǎn)化為十進制數(shù)為0×20＋1×21＋0×22＋0×23＋0×24＋1×25＝34.故選B. 9．《算數(shù)書》竹簡于上世紀八十年代在湖北省江陵縣張家山出土，這是我國現(xiàn)存最早的有系統(tǒng)的數(shù)學典籍，其中記載有求“囷蓋”的術(shù)：“置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成一．”該術(shù)相當于給出了由圓錐的底面周長L與高h，計算其體積V的近似公式V≈L2h.它實際上是將圓錐體

24、積公式中的圓周率π近似取為3.那么，近似公式V≈L2h相當于將圓錐體積公式中的π近似取為(　　) A．　　　　　　　　 B． C． D． 解析：選A.依題意，設(shè)圓錐的底面半徑為r，則V＝πr2h≈L2h＝(2πr)2h，化簡得π≈.故選A. 10．中國古代名詞“芻童”原來是草堆的意思，關(guān)于“芻童”體積計算的描述，《九章算術(shù)》注曰：“倍上袤，下袤從之．亦倍下袤，上袤從之．各以其廣乘之，并，以高乘之，六而一．”其計算方法是：將上底面的長乘二，與下底面的長相加，再與上底面的寬相乘；將下底面的長乘二，與上底面的長相加，再與下底面的寬相乘；把這兩個數(shù)值相加，與高相乘，再取其六分之一．已知一個“芻

25、童”的下底面是周長為18的矩形，上底面矩形的長為3，寬為2，“芻童”的高為3，則該“芻童”的體積的最大值為(　　) A． B． C．39 D． 解析：選B.設(shè)下底面的長為x，則下底面的寬為＝9－x.由題可知上底面矩形的長為3，寬為2，“芻童”的高為3，所以其體積V＝×3×[(3×2＋x)×2＋(2x＋3)(9－x)]＝－x2＋＋，故當x＝時，體積取得最大值，最大值為－＋×＋＝.故選B. 11．(多選)(2019·濟南模擬)如圖是謝賓斯基三角形，在所給的四個三角形圖案中，黑色的小三角形個數(shù)構(gòu)成數(shù)列{an}的前4項，則(　　) A．a(chǎn)n＝3n－1 B．a(chǎn)n＝2n－1 C．a(chǎn)4＝2

26、7 D．a(chǎn)n－an－1＝2·3n－2(n≥2) 解析：選ACD.黑色的小三角形個數(shù)構(gòu)成數(shù)列{an}的前4項，分別為a1＝1，a2＝3，a3＝3×3＝32，a4＝32×3，因此{an}的通項公式可以是an＝3n－1. 12．(多選)在《增刪算法統(tǒng)宗》中有這樣一則故事：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難；次日腳痛減一半，如此六日過其關(guān)．”則下列說法正確的是(　　) A．此人第二天走了九十六里路 B．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里 C．此人第三天走的路程占全程的 D．此人后三天共走了42里路 解析：選ABD.設(shè)此人第n天走an里路，前n天共走Sn里路．由題意可知，{an}是首

27、項為a1，公比q＝的等比數(shù)列，由等比數(shù)列前n項和公式得S6＝＝378，解得a1＝192. 在A中，a2＝192×＝96，故A正確； 在B中，378－192＝186，192－186＝6，故B正確； 在C中，a3＝192×＝48，>，故C錯誤； 在D中，a4＋a5＋a6＝192×＝42，故D正確． 13．(多選)中國傳統(tǒng)文化中很多內(nèi)容體現(xiàn)了數(shù)學的“對稱美”．如圖所示的太極圖是由黑白兩個魚形紋組成的圓形圖案，充分體現(xiàn)了相互轉(zhuǎn)化、對稱統(tǒng)一的形式美、和諧美．定義：圖象能夠?qū)AO的周長和面積同時等分成兩部分的函數(shù)稱為圓O的一個“太極函數(shù)”，下列命題正確的是(　　) A．對于任意一個圓O，其“太

28、極函數(shù)”有無數(shù)個 B．函數(shù)f(x)＝ln(x2＋)可以是某個圓的“太極函數(shù)” C．正弦函數(shù)y＝sin x可以同時是無數(shù)個圓的“太極函數(shù)” D．函數(shù)y＝f(x)是“太極函數(shù)”的充要條件為函數(shù)y＝f(x)的圖象是中心對稱圖形 解析：選AC.過圓心的直線都可以將圓的周長和面積等分成兩部分，故對于任意一個圓O，其“太極函數(shù)”有無數(shù)個，故A正確； 函數(shù)f(x)＝ln(x2＋)的圖象如圖1所示， 故其不可能為圓的“太極函數(shù)”，故B錯誤； 將圓的圓心放在正弦函數(shù)y＝sin x圖象的對稱中心上，則正弦函數(shù)y＝sin x是該圓的“太極函數(shù)”，從而正弦函數(shù)y＝sin x可以同時是無數(shù)個圓的“

29、太極函數(shù)”，故C正確；函數(shù)y＝f(x)的圖象是中心對稱圖形，則y＝f(x)是“太極函數(shù)”，但函數(shù)y＝f(x)是“太極函數(shù)”時，圖象不一定是中心對稱圖形，如圖2所示，故D錯誤． 二、填空題 14.魯班鎖是中國傳統(tǒng)的智力玩具，起源于古代漢族建筑中首創(chuàng)的榫卯結(jié)構(gòu)，這種三維的拼插器具內(nèi)部的凹凸部分(即榫卯結(jié)構(gòu))嚙合，十分巧妙，外觀看是嚴絲合縫的十字立方體，其上下、左右、前后完全對稱．從外表上看，六根等長的正四棱柱體分成三組，經(jīng)90°榫卯起來，如圖，若正四棱柱體的高為6，底面正方形的邊長為1，現(xiàn)將該魯班鎖放進一個球形容器內(nèi)，則該球形容器的表面積的最小值為________．(容器壁的厚度忽略不計)

30、解析：表面積最小的球形容器可以看成長、寬、高分別為1、2、6的長方體的外接球．設(shè)其半徑為R，(2R)2＝62＋22＋12，解得R2＝，所以該球形容器的表面積的最小值為4πR2＝41π. 答案：41π 15．《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學名著，其中“勾股”章講述了“勾股定理”及一些應用．直角三角形的三條邊分別稱為“勾”“股”“弦”．設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓＋y2＝1的左、右焦點，P是第一象限內(nèi)該橢圓上的一點，若線段PF2，PF1分別是Rt△F1PF2的“勾”“股”，則點P的橫坐標為________． 解析：由題意知半焦距c＝，又PF1⊥PF2，故點P在圓x2＋y2＝3上，設(shè)P(x，

31、y)，聯(lián)立，得得P. 故點P的橫坐標為. 答案： 16．公元前6世紀，古希臘的畢達哥拉斯學派研究過正五邊形和正十邊形的作圖方法，發(fā)現(xiàn)了黃金分割，其比值約為 0．618，這一數(shù)值也可以表示為m＝2sin 18°，若m2＋n＝4，則＝________． 解析：由題設(shè)n＝4－m2＝4－4sin218°＝4(1－sin218°)＝4cos218°， ＝＝＝＝2. 答案：2 17．(2019·高考全國卷Ⅱ)中國有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形狀多為長方體、正方體或圓柱體，但南北朝時期的官員獨孤信的印信形狀是“半正多面體”(圖1)．半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體．半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學的對稱美．圖2是一個棱數(shù)為48的半正多面體，它的所有頂點都在同一個正方體的表面上，且此正方體的棱長為1，則該半正多面體共有________個面，其棱長為________． 解析：依題意知，題中的半正多面體的上、下、左、右、前、后6個面都在正方體的表面上，且該半正多面體的表面由18個正方形，8個正三角形組成，因此題中的半正多面體共有26個面．注意到該半正多面體的俯視圖的輪廓是一個正八邊形，設(shè)題中的半正多面體的棱長為x，則x＋x＋x＝1，解得x＝－1，故題中的半正多面體的棱長為－1. 答案：26?。? - 15 -