《(新課標(biāo) 全國(guó)I卷)2010-2019學(xué)年高考數(shù)學(xué) 真題分類匯編 專題07 立體幾何(2)文(含解析)》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《(新課標(biāo) 全國(guó)I卷)2010-2019學(xué)年高考數(shù)學(xué) 真題分類匯編 專題07 立體幾何(2)文(含解析)(11頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、專題7 立體幾何(2)
立體幾何大題:10年10考,每年1題.第1小題多為證明垂直問題,第2小題多為體積計(jì)算問題(2014年是求高).
1.(2019年)如圖,直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是菱形,AA1=4,AB=2,∠BAD=60°,E,M,N分別是BC,BB1,A1D的中點(diǎn).
(1)證明:MN∥平面C1DE;
(2)求點(diǎn)C到平面C1DE的距離.
【解析】(1)連結(jié)B1C,ME,∵M(jìn),E分別是BB1,BC的中點(diǎn),
∴ME∥B1C,又N為A1D的中點(diǎn),∴ND=A1D,
由題設(shè)知A1B1DC,∴B1CA1D,∴MEND,
∴四邊形MNDE是平行四邊形,
∴MN∥
2、ED,
又MN?平面C1DE,∴MN∥平面C1DE.
(2)過C作C1E的垂線,垂足為H,
由已知可得DE⊥BC,DE⊥C1C,
∴DE⊥平面C1CE,故DE⊥CH,
∴CH⊥平面C1DE,故CH的長(zhǎng)即為C到時(shí)平面C1DE的距離,
由已知可得CE=1,CC1=4,
∴C1E=,故CH=,
∴點(diǎn)C到平面C1DE的距離為.
2.(2018年)如圖,在平行四邊形ABCM中,AB=AC=3,∠ACM=90°,以AC為折痕將△ACM折起,使點(diǎn)M到達(dá)點(diǎn)D的位置,且AB⊥DA.
(1)證明:平面ACD⊥平面ABC;
(2)Q為線段AD上一點(diǎn),P為線段BC上一點(diǎn),且BP=DQ=DA,求三
3、棱錐Q﹣ABP的體積.
【解析】(1)∵在平行四邊形ABCM中,∠ACM=90°,∴AB⊥AC,
又AB⊥DA.且AD∩AC=A,
∴AB⊥面ADC,∵AB?面ABC,
∴平面ACD⊥平面ABC;
(2)∵AB=AC=3,∠ACM=90°,∴AD=AM=,
∴BP=DQ=DA=,
由(1)得DC⊥AB,又DC⊥CA,∴DC⊥面ABC,
∴三棱錐Q﹣ABP的體積V=
===1.
3.(2017年)如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,AB∥CD,且∠BAP=∠CDP=90°.
(1)證明:平面PAB⊥平面PAD;
(2)若PA=PD=AB=DC,∠APD=90°,且四棱錐P﹣
4、ABCD的體積為,求該四棱錐的側(cè)面積.
【解析】(1)∵在四棱錐P﹣ABCD中,∠BAP=∠CDP=90°,
∴AB⊥PA,CD⊥PD,
又AB∥CD,∴AB⊥PD,
∵PA∩PD=P,∴AB⊥平面PAD,
∵AB?平面PAB,∴平面PAB⊥平面PAD.
(2)設(shè)PA=PD=AB=DC=a,取AD中點(diǎn)O,連結(jié)PO,
∵PA=PD=AB=DC,∠APD=90°,平面PAB⊥平面PAD,
∴PO⊥底面ABCD,且AD==,PO=,
∵四棱錐P﹣ABCD的體積為,
由AB⊥平面PAD,得AB⊥AD,
∴VP﹣ABCD=====,
解得a=2,
∴PA=PD=AB=DC=
5、2,AD=BC=,PO=,
∴PB=PC==,
∴該四棱錐的側(cè)面積:S側(cè)=S△PAD+S△PAB+S△PDC+S△PBC
=+++
=
=6+.
4.(2016年)如圖,已知正三棱錐P﹣ABC的側(cè)面是直角三角形,PA=6,頂點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的正投影為點(diǎn)D,D在平面PAB內(nèi)的正投影為點(diǎn)E,連接PE并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)G.
(1)證明:G是AB的中點(diǎn);
(2)在圖中作出點(diǎn)E在平面PAC內(nèi)的正投影F(說明作法及理由),并求四面體PDEF的體積.
【解析】(1)∵P﹣ABC為正三棱錐,且D為頂點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的正投影,
∴PD⊥平面ABC,則PD⊥AB,
又E為D在平面P
6、AB內(nèi)的正投影,
∴DE⊥面PAB,則DE⊥AB,
∵PD∩DE=D,
∴AB⊥平面PDE,連接PE并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)G,
則AB⊥PG,
又PA=PB,
∴G是AB的中點(diǎn);
(2)在平面PAB內(nèi),過點(diǎn)E作PB的平行線交PA于點(diǎn)F,F(xiàn)即為E在平面PAC內(nèi)的正投影.
∵正三棱錐P﹣ABC的側(cè)面是直角三角形,
∴PB⊥PA,PB⊥PC,
又EF∥PB,所以EF⊥PA,EF⊥PC,因此EF⊥平面PAC,
即點(diǎn)F為E在平面PAC內(nèi)的正投影.
連結(jié)CG,因?yàn)镻在平面ABC內(nèi)的正投影為D,所以D是正三角形ABC的中心.
由(1)知,G是AB的中點(diǎn),所以D在CG上,故CD=CG.
7、由題設(shè)可得PC⊥平面PAB,DE⊥平面PAB,所以DE∥PC,因此PE=PG,DE=PC.
由已知,正三棱錐的側(cè)面是直角三角形且PA=6,可得DE=2,PG=,PE=.
在等腰直角三角形EFP中,可得EF=PF=2.
所以四面體PDEF的體積V=×DE×S△PEF=×2××2×2=.
5.(2015年)如圖,四邊形ABCD為菱形,G為AC與BD的交點(diǎn),BE⊥平面ABCD.
(1)證明:平面AEC⊥平面BED;
(2)若∠ABC=120°,AE⊥EC,三棱錐E﹣ACD的體積為,求該三棱錐的側(cè)面積.
【解析】(1)∵四邊形ABCD為菱形,
∴AC⊥BD,
∵BE⊥平面AB
8、CD,
∴AC⊥BE,
則AC⊥平面BED,
∵AC?平面AEC,
∴平面AEC⊥平面BED;
(2)設(shè)AB=x,在菱形ABCD中,由∠ABC=120°,得AG=GC=x,GB=GD=,
∵BE⊥平面ABCD,
∴BE⊥BG,則△EBG為直角三角形,
∴EG=AC=AG=x,
則BE==x,
∵三棱錐E﹣ACD的體積V===,
解得x=2,即AB=2,
∵∠ABC=120°,
∴AC2=AB2+BC2﹣2AB?BCcosABC=4+4﹣2×=12,
即AC=,
在三個(gè)直角三角形EBA,EBD,EBC中,斜邊AE=EC=ED,
∵AE⊥EC,∴△EAC為等腰三角形
9、,
則AE2+EC2=AC2=12,
即2AE2=12,
∴AE2=6,
則AE=,
∴從而得AE=EC=ED=,
∴△EAC的面積S==3,
在等腰三角形EAD中,過E作EF⊥AD于F,
則AE=,AF==,
則EF=,
∴△EAD的面積和△ECD的面積均為S==,
故該三棱錐的側(cè)面積為3+.
6.(2014年)如圖,三棱柱ABC﹣A1B1C1中,側(cè)面BB1C1C為菱形,B1C的中點(diǎn)為O,且AO⊥平面BB1C1C.
(1)證明:B1C⊥AB;
(2)若AC⊥AB1,∠CBB1=60°,BC=1,求三棱柱ABC﹣A1B1C1的高.
【解析】(1)連接BC1
10、,則O為B1C與BC1的交點(diǎn),
∵側(cè)面BB1C1C為菱形,
∴BC1⊥B1C,
∵AO⊥平面BB1C1C,
∴AO⊥B1C,
∵AO∩BC1=O,
∴B1C⊥平面ABO,
∵AB?平面ABO,
∴B1C⊥AB;
(2)作OD⊥BC,垂足為D,連接AD,作OH⊥AD,垂足為H,
∵BC⊥AO,BC⊥OD,AO∩OD=O,
∴BC⊥平面AOD,
∴OH⊥BC,
∵OH⊥AD,BC∩AD=D,
∴OH⊥平面ABC,
∵∠CBB1=60°,
∴△CBB1為等邊三角形,
∵BC=1,∴OD=,
∵AC⊥AB1,∴OA=B1C=,
由OH?AD=OD?OA,可得AD=
11、=,∴OH=,
∵O為B1C的中點(diǎn),
∴B1到平面ABC的距離為,
∴三棱柱ABC﹣A1B1C1的高.
7.(2013年)如圖,三棱柱ABC﹣A1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60°
(1)證明:AB⊥A1C;
(2)若AB=CB=2,A1C=,求三棱柱ABC﹣A1B1C1的體積.
【解析】(1)如圖,取AB的中點(diǎn)O,連結(jié)OC,OA1,A1B.
因?yàn)镃A=CB,所以O(shè)C⊥AB.
由于AB=AA1,,故△AA1B為等邊三角形,
所以O(shè)A1⊥AB.
因?yàn)镺C∩OA1=O,所以AB⊥平面OA1C.
又A1C?平面OA1C,故AB⊥A1C;
(2)
12、由題設(shè)知△ABC與△AA1B都是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,
所以.
又,則,故OA1⊥OC.
因?yàn)镺C∩AB=O,所以O(shè)A1⊥平面ABC,OA1為三棱柱ABC﹣A1B1C1的高.
又△ABC的面積,
故三棱柱ABC﹣A1B1C1的體積.
8.(2012年)如圖,三棱柱ABC﹣A1B1C1中,側(cè)棱垂直底面,∠ACB=90°,AC=BC=AA1,D是棱AA1的中點(diǎn).
(1)證明:平面BDC1⊥平面BDC
(2)平面BDC1分此棱柱為兩部分,求這兩部分體積的比.
【解析】(1)由題意知BC⊥CC1,BC⊥AC,CC1∩AC=C,
∴BC⊥平面ACC1A1,又DC1?平面ACC
13、1A1,
∴DC1⊥BC.
由題設(shè)知∠A1DC1=∠ADC=45°,
∴∠CDC1=90°,即DC1⊥DC,又DC∩BC=C,
∴DC1⊥平面BDC,又DC1?平面BDC1,
∴平面BDC1⊥平面BDC;
(2)設(shè)棱錐B﹣DACC1的體積為V1,AC=1,由題意得V1==,
又三棱柱ABC﹣A1B1C1的體積V=1,
∴(V﹣V1):V1=1:1,
∴平面BDC1分此棱柱兩部分體積的比為1:1.
9.(2011年)如圖,四棱錐P﹣ABCD中,底面ABCD為平行四邊形.∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD.
(1)證明:PA⊥BD;
(2)設(shè)PD=AD=1,
14、求棱錐D﹣PBC的高.
【解析】(1)因?yàn)椤螪AB=60°,AB=2AD,由余弦定理得BD=,
從而BD2+AD2=AB2,故BD⊥AD,
又PD⊥底面ABCD,可得BD⊥PD,
所以BD⊥平面PAD.故PA⊥BD.
(2)解:作DE⊥PB于E,已知PD⊥底面ABCD,
則PD⊥BC,由(1)知,BD⊥AD,又BC∥AD,
∴BC⊥BD.
故BC⊥平面PBD,BC⊥DE,
則DE⊥平面PBC.
由題設(shè)知PD=1,則BD=,PB=2.
根據(jù)DE?PB=PD?BD,得DE=,
即棱錐D﹣PBC的高為.
10.(2010年)如圖,已知四棱錐P﹣ABCD的底面為等腰梯形,
15、AB∥CD,AC⊥BD,垂足為H,PH是四棱錐的高.
(1)證明:平面PAC⊥平面PBD;
(2)若AB=,∠APB=∠ADB=60°,求四棱錐P﹣ABCD的體積.
【解析】(1)因?yàn)镻H是四棱錐P﹣ABCD的高.
所以AC⊥PH,又AC⊥BD,PH,BD都在平PHD內(nèi),且PH∩BD=H.
所以AC⊥平面PBD.
故平面PAC⊥平面PBD.
(2)因?yàn)锳BCD為等腰梯形,AB∥CD,AC⊥BD,AB=.
所以HA=HB=.
因?yàn)椤螦PB=∠ADB=60°,
所以PA=PB=,HD=HC=1.
可得PH=.
等腰梯形ABCD的面積為S=ACBD=2+,
所以四棱錐的體積為V=×(2+)×=.
11