《2019年高考數(shù)學 高考題和高考模擬題分項版匯編 專題05 平面解析幾何 理（含解析）》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2019年高考數(shù)學 高考題和高考模擬題分項版匯編 專題05 平面解析幾何 理（含解析）（26頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、專題05 平面解析幾何 1．【2019年高考全國Ⅰ卷理數(shù)】已知橢圓C的焦點為，過F2的直線與C交于A，B兩點．若，，則C的方程為 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】法一：如圖，由已知可設，則， 由橢圓的定義有． 在中，由余弦定理推論得． 在中，由余弦定理得，解得． 所求橢圓方程為，故選B． 法二：由已知可設，則， 由橢圓的定義有． 在和中，由余弦定理得， 又互補，，兩式消去，得，解得．所求橢圓方程為，故選B． 【名師點睛】本題考查橢圓標準方程及其簡單性質(zhì)，考查數(shù)形結合思想、轉(zhuǎn)化與化歸的能力，很好地落實了直觀想象、邏輯推理等數(shù)學素養(yǎng)． 2．【20

2、19年高考全國Ⅱ卷理數(shù)】若拋物線y2=2px(p>0)的焦點是橢圓的一個焦點，則p= A．2 B．3 C．4 D．8 【答案】D 【解析】因為拋物線的焦點是橢圓的一個焦點，所以，解得，故選D． 【名師點睛】本題主要考查拋物線與橢圓的幾何性質(zhì)，滲透邏輯推理、運算能力素養(yǎng)．解答時，利用拋物線與橢圓有共同的焦點即可列出關于的方程，從而解出，或者利用檢驗排除的方法，如時，拋物線焦點為（1，0），橢圓焦點為（±2，0），排除A，同樣可排除B，C，從而得到選D． 3．【2019年高考全國Ⅱ卷理數(shù)】設F為雙曲線C：的右焦點，

3、為坐標原點，以為直徑的圓與圓交于P，Q兩點．若，則C的離心率為 A． B． C．2 D． 【答案】A 【解析】設與軸交于點，由對稱性可知軸， 又，為以為直徑的圓的半徑， ∴，， 又點在圓上，，即． ，故選A． 【名師點睛】本題為圓錐曲線離心率的求解，難度適中，審題時注意半徑還是直徑，優(yōu)先考慮幾何法，避免代數(shù)法從頭至尾運算繁瑣，準確率大大降低，雙曲線離心率問題是圓錐曲線中的重點問題，需強化練習，才能在解決此類問題時事半功倍，信手拈來．解答本題時，準確畫圖，由圖形對稱性得出P點坐標，代入圓的方程得到c與a的關系，可求雙曲線的離心率． 4．【2019年高考全國Ⅲ卷理數(shù)】

4、雙曲線C：=1的右焦點為F，點P在C的一條漸近線上，O為坐標原點，若，則△PFO的面積為 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由， 又P在C的一條漸近線上，不妨設為在上，則， ，故選A． 【名師點睛】本題考查以雙曲線為載體的三角形面積的求法，滲透了直觀想象、邏輯推理和數(shù)學運算素養(yǎng)．采取公式法，利用數(shù)形結合、轉(zhuǎn)化與化歸和方程思想解題．忽視圓錐曲線方程和兩點間的距離公式的聯(lián)系導致求解不暢，采取列方程組的方式解出三角形的高，便可求三角形面積． 5．【2019年高考北京卷理數(shù)】已知橢圓（a＞b＞0）的離心率為，則 A．a(chǎn)2=2b2 B．3a2=4b2 C．a(chǎn)=2b

5、D．3a=4b 【答案】B 【解析】橢圓的離心率，化簡得， 故選B. 【名師點睛】本題考查橢圓的標準方程與幾何性質(zhì)，屬于容易題，注重基礎知識?基本運算能力的考查.由題意利用離心率的定義和的關系可得滿足題意的等式. 6．【2019年高考北京卷理數(shù)】數(shù)學中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，曲線C：就是其中之一（如圖）．給出下列三個結論： ①曲線C恰好經(jīng)過6個整點（即橫、縱坐標均為整數(shù)的點）； ②曲線C上任意一點到原點的距離都不超過； ③曲線C所圍成的“心形”區(qū)域的面積小于3． 其中，所有正確結論的序號是 A．① B．② C．①② D．①②③ 【答案】C 【解析】由得

6、，，， 所以可取的整數(shù)有0，?1，1，從而曲線恰好經(jīng)過(0，1)，(0，?1)，(1，0)，(1，1)， (?1，0)，(?1，1)，共6個整點，結論①正確. 由得，，解得，所以曲線上任意一點到原點的距離都不超過. 結論②正確. 如圖所示，易知， 四邊形的面積，很明顯“心形”區(qū)域的面積大于，即“心形”區(qū)域的面積大于3，說法③錯誤. 故選C. 【名師點睛】本題考查曲線與方程?曲線的幾何性質(zhì)，基本不等式及其應用，屬于難題，注重基礎知識?基本運算能力及分析問題、解決問題的能力考查，滲透“美育思想”.將所給方程進行等價變形確定x的范圍可得整點坐標和個數(shù)，結合均值不等式可得曲線上的點到坐

7、標原點距離的最值和范圍，利用圖形的對稱性和整點的坐標可確定圖形面積的范圍. 7．【2019年高考天津卷理數(shù)】已知拋物線的焦點為，準線為，若與雙曲線的兩條漸近線分別交于點和點，且（為原點），則雙曲線的離心率為 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】拋物線的準線的方程為， 雙曲線的漸近線方程為， 則有， ∴，，， ∴. 故選D. 【名師點睛】本題考查拋物線和雙曲線的性質(zhì)以及離心率的求解，解題關鍵是求出AB的長度.解答時，只需把用表示出來，即可根據(jù)雙曲線離心率的定義求得離心率. 8．【2019年高考浙江卷】漸近線方程為x±y=0的雙曲線的離心率是 A． B．1

8、 C． D．2 【答案】C 【解析】因為雙曲線的漸近線方程為，所以，則，所以雙曲線的離心率.故選C. 【名師點睛】本題根據(jù)雙曲線的漸近線方程可求得，進一步可得離心率，屬于容易題，注重了雙曲線基礎知識、基本計算能力的考查.理解概念，準確計算，是解答此類問題的基本要求.部分考生易出現(xiàn)理解性錯誤. 9．【2019年高考浙江卷】已知圓的圓心坐標是，半徑長是.若直線與圓C相切于點，則=___________，=___________． 【答案】， 【解析】由題意可知，把代入直線AC的方程得，此時. 【名師點睛】本題主要考查圓的方程、直線與圓的位置關系.首先通過確定直線的斜率，進一步得到

9、其方程，將代入后求得，計算得解.解答直線與圓的位置關系問題，往往要借助于數(shù)與形的結合，特別是要注意應用圓的幾何性質(zhì). 10．【2019年高考浙江卷】已知橢圓的左焦點為，點在橢圓上且在軸的上方，若線段的中點在以原點為圓心，為半徑的圓上，則直線的斜率是___________． 【答案】 【解析】方法1：如圖，設F1為橢圓右焦點.由題意可知， 由中位線定理可得，設，可得， 與方程聯(lián)立，可解得（舍）， 又點在橢圓上且在軸的上方，求得，所以. 方法2：（焦半徑公式應用）由題意可知， 由中位線定理可得，即， 從而可求得，所以. 【名師點睛】本題主要考查橢圓的標準方程、橢圓的幾何性質(zhì)

10、、圓的方程與性質(zhì)的應用，利用數(shù)形結合思想，是解答解析幾何問題的重要途徑.結合圖形可以發(fā)現(xiàn)，利用三角形中位線定理，將線段長度用圓的方程表示，與橢圓方程聯(lián)立可進一步求解.也可利用焦半徑及三角形中位線定理解決，則更為簡潔. 11．【2019年高考全國Ⅲ卷理數(shù)】設為橢圓C:的兩個焦點，M為C上一點且在第一象限.若為等腰三角形，則M的坐標為___________. 【答案】 【解析】由已知可得， ，∴． 設點的坐標為，則， 又，解得， ，解得（舍去）， 的坐標為． 【名師點睛】本題考查橢圓標準方程及其簡單性質(zhì)，考查數(shù)形結合思想、轉(zhuǎn)化與化歸的能力，很好地落實了直觀想象、邏輯推理等數(shù)學素養(yǎng)

11、．解答本題時，根據(jù)橢圓的定義分別求出，設出的坐標，結合三角形面積可求出的坐標. 12．【2019年高考全國Ⅰ卷理數(shù)】已知雙曲線C：的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F1的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點．若，，則C的離心率為____________． 【答案】2 【解析】如圖，由得又得OA是三角形的中位線，即由，得∴，， 又OA與OB都是漸近線，得 又，∴ 又漸近線OB的斜率為，∴該雙曲線的離心率為． 【名師點睛】本題結合平面向量考查雙曲線的漸近線和離心率，滲透了邏輯推理、直觀想象和數(shù)學運算素養(yǎng)，采取幾何法，利用數(shù)形結合思想解題．解答本題時，通過向量關系得到和，從而可以得

12、到，再結合雙曲線的漸近線可得進而得到從而由可求離心率. 13．【2019年高考江蘇卷】在平面直角坐標系中，若雙曲線經(jīng)過點（3，4)，則該雙曲線的漸近線方程是 ▲ . 【答案】 【解析】由已知得，解得或， 因為，所以. 因為，所以雙曲線的漸近線方程為. 【名師點睛】雙曲線的標準方程與幾何性質(zhì)，往往以小題的形式考查，其難度一般較小，是高考必得分題.雙曲線漸近線與雙曲線標準方程中的密切相關，事實上，標準方程中化1為0，即得漸近線方程. 14．【2019年高考江蘇卷】在平面直角坐標系中，P是曲線上的一個動點，則點P到直線x+y=0的距離的最小值是 ▲ . 【答案】4 【解

13、析】當直線x+y=0平移到與曲線相切位置時，切點Q即為點P，此時到直線x+y=0的距離最小. 由，得，，即切點， 則切點Q到直線x+y=0的距離為， 故答案為． 【名師點睛】本題考查曲線上任意一點到已知直線的最小距離，滲透了直觀想象和數(shù)學運算素養(yǎng).采取導數(shù)法和公式法，利用數(shù)形結合和轉(zhuǎn)化與化歸思想解題. 15．【2019年高考全國Ⅰ卷理數(shù)】已知拋物線C：y2=3x的焦點為F，斜率為的直線l與C的交點為A，B，與x軸的交點為P． （1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程； （2）若，求|AB|． 【答案】（1）；（2）. 【解析】設直線． （1）由題設得，故，由題設可得．

14、由，可得，則． 從而，得． 所以的方程為． （2）由可得． 由，可得． 所以．從而，故． 代入的方程得． 故． 【名師點睛】本題考查拋物線的幾何性質(zhì)、直線與拋物線的綜合應用問題，涉及平面向量、弦長的求解方法，解題關鍵是能夠通過直線與拋物線方程的聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關系構造等量關系. 16．【2019年高考全國Ⅱ卷理數(shù)】已知點A(?2，0)，B(2，0)，動點M(x，y)滿足直線AM與BM的斜率之積為?.記M的軌跡為曲線C. （1）求C的方程，并說明C是什么曲線； （2）過坐標原點的直線交C于P，Q兩點，點P在第一象限，PE⊥x軸，垂足為E，連結QE并延長交C于點G. （

15、i）證明：是直角三角形； （ii）求面積的最大值. 【答案】（1）見解析；（2）. 【解析】（1）由題設得，化簡得，所以C為中心在坐標原點，焦點在x軸上的橢圓，不含左右頂點． （2）（i）設直線PQ的斜率為k，則其方程為． 由得． 記，則． 于是直線的斜率為，方程為． 由得 ．① 設，則和是方程①的解，故，由此得． 從而直線的斜率為． 所以，即是直角三角形． （ii）由（i）得，，所以△PQG的面積． 設t=k+，則由k>0得t≥2，當且僅當k=1時取等號． 因為在[2，+∞）單調(diào)遞減，所以當t=2，即k=1時，S取得最大值，最大值為． 因此，△PQG面積的最大

16、值為． 【名師點睛】本題考查了求橢圓的標準方程，以及利用直線與橢圓的位置關系，判斷三角形形狀以及三角形面積最大值問題，考查了數(shù)學運算能力，考查了求函數(shù)最大值問題. 17．【2019年高考全國Ⅲ卷理數(shù)】已知曲線C：y=，D為直線y=上的動點，過D作C的兩條切線，切點分別為A，B. （1）證明：直線AB過定點： （2）若以E(0，)為圓心的圓與直線AB相切，且切點為線段AB的中點，求四邊形ADBE的面積. 【答案】（1）見詳解；（2）3或. 【解析】（1）設，則. 由于，所以切線DA的斜率為，故 . 整理得 設，同理可得. 故直線AB的方程為. 所以直線AB過定點. （2）

17、由（1）得直線AB的方程為. 由，可得. 于是， . 設分別為點D，E到直線AB的距離，則. 因此，四邊形ADBE的面積. 設M為線段AB的中點，則. 由于，而，與向量平行，所以.解得t=0或. 當=0時，S=3；當時，. 因此，四邊形ADBE的面積為3或. 【名師點睛】此題第一問是圓錐曲線中的定點問題，第二問是求面積類型，屬于常規(guī)題型，按部就班地求解就可以，思路較為清晰，但計算量不小. 18．【2019年高考北京卷理數(shù)】已知拋物線C：x2=?2py經(jīng)過點（2，?1）． （1）求拋物線C的方程及其準線方程； （2）設O為原點，過拋物線C的焦點作斜率不為0的直線l交拋物

18、線C于兩點M，N，直線y=?1分別交直線OM，ON于點A和點B．求證：以AB為直徑的圓經(jīng)過y軸上的兩個定點． 【答案】（1）拋物線的方程為，準線方程為；（2）見解析. 【解析】（1）由拋物線經(jīng)過點，得. 所以拋物線的方程為，其準線方程為. （2）拋物線的焦點為. 設直線的方程為. 由得. 設，則. 直線的方程為. 令，得點A的橫坐標. 同理得點B的橫坐標. 設點，則， . 令，即，則或. 綜上，以AB為直徑的圓經(jīng)過y軸上的定點和. 【名師點睛】本題主要考查拋物線方程的求解與準線方程的確定，直線與拋物線的位置關系，圓的性質(zhì)及其應用等知識，意在考查學生的轉(zhuǎn)

19、化能力和計算求解能力. 19．【2019年高考天津卷理數(shù)】設橢圓的左焦點為，上頂點為．已知橢圓的短軸長為4，離心率為． （1）求橢圓的方程； （2）設點在橢圓上，且異于橢圓的上、下頂點，點為直線與軸的交點，點在軸的負半軸上．若（為原點），且，求直線的斜率． 【答案】（1）；（2）或． 【解析】（1）設橢圓的半焦距為，依題意，，又，可得，． 所以，橢圓的方程為． （2）由題意，設．設直線的斜率為， 又，則直線的方程為， 與橢圓方程聯(lián)立整理得， 可得，代入得， 進而直線的斜率． 在中，令，得． 由題意得，所以直線的斜率為． 由，得，化簡得，從而． 所以，直線的斜率為或

20、． 【名師點睛】本小題主要考查橢圓的標準方程和幾何性質(zhì)、直線方程等基礎知識．考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì)．考查運算求解能力，以及用方程思想解決問題的能力． 20．【2019年高考江蘇卷】如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓C:的焦點為F1（–1、0），F(xiàn)2（1，0）．過F2作x軸的垂線l，在x軸的上方，l與圓F2:交于點A，與橢圓C交于點D.連結AF1并延長交圓F2于點B，連結BF2交橢圓C于點E，連結DF1． 已知DF1=． （1）求橢圓C的標準方程； （2）求點E的坐標． 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）設橢圓C的焦距為2c. 因為F1(?1，0)，F(xiàn)2(1

21、，0)，所以F1F2=2，c=1. 又因為DF1=，AF2⊥x軸，所以DF2=， 因此2a=DF1+DF2=4，從而a=2. 由b2=a2?c2，得b2=3. 因此，橢圓C的標準方程為. （2）解法一：由（1）知，橢圓C：，a=2， 因為AF2⊥x軸，所以點A的橫坐標為1. 將x=1代入圓F2的方程(x?1) 2+y2=16，解得y=±4. 因為點A在x軸上方，所以A(1，4). 又F1(?1，0)，所以直線AF1：y=2x+2. 由，得，解得或. 將代入，得 ， 因此. 又F2(1，0)，所以直線BF2：. 由，得，解得或. 又因為E是線段BF2與橢圓的交點，所

22、以. 將代入，得. 因此. 解法二：由（1）知，橢圓C：. 如圖，連結EF1. 因為BF2=2a，EF1+EF2=2a，所以EF1=EB， 從而∠BF1E=∠B. 因為F2A=F2B，所以∠A=∠B， 所以∠A=∠BF1E，從而EF1∥F2A. 因為AF2⊥x軸，所以EF1⊥x軸. 因為F1(?1，0)，由，得. 又因為E是線段BF2與橢圓的交點，所以. 因此. 【名師點睛】本小題主要考查直線方程、圓的方程、橢圓方程、橢圓的幾何性質(zhì)、直線與圓及橢圓的位置關系等基礎知識，考查推理論證能力、分析問題能力和運算求解能力. 21．【2019年高考浙江卷】如圖，已知點

23、為拋物線的焦點，過點F的直線交拋物線于A、B兩點，點C在拋物線上，使得的重心G在x軸上，直線AC交x軸于點Q，且Q在點F的右側．記的面積分別為． （1）求p的值及拋物線的準線方程； （2）求的最小值及此時點G的坐標． 【答案】（1）p=2，準線方程為x=?1；（2）最小值為，此時G（2，0）． 【解析】（1）由題意得，即p=2. 所以，拋物線的準線方程為x=?1. （2）設，重心.令，則. 由于直線AB過F，故直線AB方程為，代入，得 ， 故，即，所以. 又由于及重心G在x軸上，故，得. 所以，直線AC方程為，得. 由于Q在焦點F的右側，故.從而 . 令，則m>

24、0， . 當時，取得最小值，此時G（2，0）． 【名師點睛】本題主要考查拋物線的幾何性質(zhì)，直線與拋物線的位置關系等基礎知識，同時考查運算求解能力和綜合應用能力. 22．【遼寧省丹東市2019屆高三總復習質(zhì)量測試理科數(shù)學（二）】經(jīng)過點作圓的切線，則的方程為 A． B．或 C． D．或 【答案】C 【解析】，所以圓心坐標為，半徑為， 當過點的切線存在斜率，切線方程為，圓心到它的距離為，所以有，即切線方程為， 當過點的切線不存在斜率時，即，顯然圓心到它的距離為，所以不是圓的切線. 因此切線方程為，故本題選C. 【名師點睛】本題考查了求圓的切線.本題實際上是過圓上一點求切線，所

25、以只有一條.解答本題時，設直線存在斜率，點斜式設出方程，利用圓心到直線的距離等于半徑求出斜率，再討論直線不存在斜率時，是否能和圓相切，如果能，寫出直線方程，綜合求出切線方程. 23．【廣東省深圳市深圳外國語學校2019屆高三第二學期第一次熱身考試數(shù)學試題】已知橢圓 的離心率為，橢圓上一點到兩焦點距離之和為12，則橢圓短軸長為 A．8 B．6 C．5 D．4 【答案】A 【解析】橢圓的離心率：， 橢圓上一點到兩焦點距離之和為，即，可得：，， ， 則橢圓短軸長為. 本題正確選項為A. 【名師點睛】本題考查橢圓的定義、簡單幾何性質(zhì)的應用，屬于基礎題．解答本題時，利用橢圓的定

26、義以及離心率，求出，然后求解橢圓短軸長即可． 24．【山東省德州市2019屆高三第二次練習數(shù)學試題】已知橢圓（a＞b＞0）與雙曲線（a＞0，b＞0）的焦點相同，則雙曲線漸近線方程為 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依題意橢圓與雙曲線即的焦點相同，可得：，即， ∴，可得， ∴雙曲線的漸近線方程為：， 故選A． 【名師點睛】本題考查橢圓和雙曲線的方程和性質(zhì)，考查漸近線方程的求法，考查方程思想和運算能力，屬于基礎題．解答本題時，由題意可得，即，代入雙曲線的漸近線方程可得答案. 25．【江西省新八校2019屆高三第二次聯(lián)考數(shù)學試題】如圖，過拋物線的焦點的直線交拋物線于點

27、，交其準線于點，若，且，則為 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】設準線與軸交于點，作垂直于準線，垂足為. 由，得：， 由拋物線定義可知：，設直線的傾斜角為， 由拋物線焦半徑公式可得：，解得：， ，解得：， 本題正確選項為B. 【名師點睛】本題考查拋物線的定義和幾何性質(zhì)的應用，關鍵是能夠利用焦半徑公式中的傾斜角構造出方程，從而使問題得以解決. 26．【福建省廈門市廈門外國語學校2019屆高三最后一模數(shù)學試題】雙曲線的焦點是，若雙曲線上存在點，使是有一個內(nèi)角為的等腰三角形，則的離心率是______. 【答案】 【解析】根據(jù)雙曲線的對稱性可知，等腰三角

28、形的兩個腰應為與或與， 不妨設等腰三角形的腰為與，且點在第一象限， 故，等腰有一內(nèi)角為，即， 由余弦定理可得，， 由雙曲線的定義可得，，即， 解得：. 【名師點睛】本題考查了雙曲線的定義、性質(zhì)等知識，解題的關鍵是要能準確判斷出等腰三角形的腰所在的位置.解答本題時，根據(jù)雙曲線的對稱性可知，等腰三角形的腰應該為與或與，不妨設等腰三角形的腰為與，故可得到的值，再根據(jù)等腰三角形的內(nèi)角為，求出的值，利用雙曲線的定義可得雙曲線的離心率. 27．【重慶西南大學附屬中學校2019屆高三第十次月考數(shù)學試題】已知橢圓的左頂點為，離心率為． （1）求橢圓C的方程； （2）過點的直線l交橢圓C于A，

29、B兩點，當取得最大值時，求的面積． 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）由題意可得：，，得，則. 所以橢圓. （2）當直線與軸重合時，不妨取，此時； 當直線與軸不重合時，設直線的方程為：，， 聯(lián)立得， 顯然，，. 所以 . 當時，取最大值.此時直線方程為， 不妨取，所以. 又，所以的面積. 【名師點睛】本題考查橢圓的基本性質(zhì)，運用了設而不求的思想，將向量和圓錐曲線結合起來，是典型考題. （1）由左頂點M坐標可得a=2，再由可得c，進而求得橢圓方程. （2）設l的直線方程為，和橢圓方程聯(lián)立，可得，由于，可用t表示出兩個交點的縱坐標和，進而得到

30、關于t的一元二次方程，得到取最大值時t的值，求出直線方程，而后計算出的面積. 28．【黑龍江省大慶市第一中學2019屆高三下學期第四次模擬（最后一卷)考試數(shù)學試題】已知拋物線的焦點為，直線與軸的交點為，與拋物線的交點為，且. （1）求的值； （2）已知點為上一點，，是上異于點的兩點，且滿足直線和直線的斜率之和為，證明直線恒過定點，并求出定點的坐標． 【答案】（1）4；（2）證明過程見解析，直線恒過定點. 【解析】（1）設，由拋物線定義知， 又，， 所以，解得， 將點代入拋物線方程，解得. （2）由（1）知，的方程為，所以點坐標為， 設直線的方程為，點，， 由得，. 所以，， 所以 ， 解得， 所以直線的方程為，恒過定點． 【名師點睛】本題考查拋物線的定義，直線與拋物線相交，直線過定點問題，屬于中檔題. （1）設點坐標，根據(jù)拋物線的定義得到點橫坐標，然后代入拋物線方程，得到的值； （2），，直線和曲線聯(lián)立，得到，然后表示出，化簡整理，得到和的關系，從而得到直線恒過的定點. 26